Эффективность математики

Специфика математической абстракции, особенности ее конструирования  вызвали к жизни философский  вопрос о существовании объектов математики: множеств, чисел, точек. Имеется  два альтернативных подхода.

Сторонники реализма (Гёдель, Черч) полагают, что существование математических объектов (чисел, множеств, …) надо признать столь же действительным, как и бытие окружающих нас материальных тел. Эрмит, например, придерживается точки зрения, что “математические объекты существуют вне нас в силу той же необходимости, как объекты реального мира, и мы их встречаем или открываем и изучаем точно так же, как это делают физики, химики, зоологи”. Такой подход, считают реалисты, позволяет обращаться с математическими объектами как с чем-то осязаемо данным, воспринимаемым. Иное понимание обязывало бы, по их мнению, принять математический объект в качестве “недозволенной мысленной надстройки над восприятием единичных вещей” и лишало бы математиков права оперировать ими.

Другое объяснение дают сторонники номинализма (Гудмэн, Куайн), которые заявляют: существует только то, что существует реально (на самом деле, имеет пространственно-временную координату). Во внешнем мире нет, таким образом, ни чисел, ни множеств, ни классов, их нельзя поэтому встретить подобно тому, как мы обнаруживаем телесные объекты. С этим пониманием связаны многие неудобства чисто математического характера, поскольку математик лишается права оперировать с объектами как с чем-то чувственно достоверным, наглядным, объективным.                                  Поскольку природу математики и ее взаимосвязь с физическим миром оценивают по-разному, нельзя обойти молчанием вопрос о том, почему математика вообще действенна. Необходимо признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физически реальных явлений - будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, не говоря о сотнях других достижений, - требуют какого-то объяснения.                                                                                                             Итак, наука стоит перед двойной загадкой. Почему в тех случаях, когда физическое явление понято нами и мы приняли соответствующие аксиомы, сотни следствий, полученных из них, оказываются столь же применимыми к реальному миру, как и сами аксиомы? Согласуется ли природа с человеческой логикой? Не менее важен и другой вопрос: почему математика эффективна при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас? От этих вопросов невозможно отмахнуться. Слишком многое в современной науке и технике зависит от математики.                                    Ученым вплоть до XVIII в. ответы на эти вопросы казались простыми и ясными. Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, исследователи видели в математике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, средневековые философы превратили Бога в непогрешимого математика, стоящего над всем миром, тем самым как бы отождествляя поиск математических законов природы с религиозными исканиями. Более того, математическое знание становилось в чем-то выше Священного писания, поскольку по поводу толкования тех или иных мест в Священном писании возникало немало разногласий, тогда как относительно математических истин не могло быть ни малейших споров.           Суть того, во что неколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы.                                                       Хотя многие математики продолжали верить в божественное сотворение мира по единому плану и видели основную функцию математической науки в поисках способов расшифровки божественного замысла. Чем успешнее развивалась математика того времени, чем многочисленнее становились ее достижения, тем в меньшей степени занятие математикой нуждалось в религиозном вдохновении.                                                                                    “К концу XVIII века математика представляла собой как бы величественное двухтысячелетнее дерево, прочно стоящее на почве реальности с могучими корнями и мощными ветвями, возвышавшееся над всеми остальными областями знания”. Убеждение в том, что природа основана на математических принципах, было прочно, как никогда. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, и сама математика считалась инструментом, как нельзя лучше приспособленным для решения этой задачи.                                 Но даже если математика утратила свое место в цитадели истины, в физическом мире она прочно удерживала свои позиции. Нельзя было обойти или недооценить главного: математика была и остается превосходным методом исследования открытия и описания физических явлений.

Роль математики в “упорядочении” окружающего мира и овладении  природой начиная с 30-х годов XIX в. возрастала невероятно быстрыми темпами. Кроме того, со времен Ньютона существенно  увеличилась точность, с которой  математики могли описывать и  предсказывать явления природы. Таким образом, сложилась явно противоречивая, парадоксальная ситуация. С одной  стороны, математика больше не претендует на роль носителя истины. С другой стороны, математика подарила науке множество  открытий, прекрасно согласующихся  с повседневным опытом.Эта проблема неоднократно привлекала к себе большое внимание, в частности, Альберта Эйнштейна, который не раз касался ее в своих статьях, посященных общефилософским проблемам естествознания: “Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного только размышления понять свойства реальных вещей?”                        На вопрос “Почему математика работает?” было предложено несколько различных ответов. Дидро высказал идею, будто математики “подбирают” аксиомы так, чтобы выводимые из них следствия согласовывались с опытом. Великий философ сравнивал математика с игроком: и тот и другой играют, придерживаясь ими же придуманных абстрактных правил. Столь же критическую позицию занимал и Бернар ле Бовье де Фонтенель (1657- 1757). Оспаривая убеждение в незыблемости законов движения небесных тел, он довольно язвительно замечал, что “на памяти” роз ни один садовник никогда не умирал. Подобным образом действуют и математики: берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то в нее вносят надлежащие изменения.

Ныне предлагается и совершенно другое объяснение эффективности математических методов. Мы не знаем и не можем знать природу. Мы ограничены чувственными восприятиями, но наш разум, наделенный предустановленными структурами (по терминологии Канта “интуитивными суждениями”) пространства и времени, организует эти чувственные восприятия в соответствии с тем, что диктуют присущие ему врожденные структуры. Например, наши пространственные восприятия мы организуем в соответствии с законами евклидовой геометрии потому, что этого требует наш разум. Иначе говоря, мы видим только то, что позволяет видеть наша математическая “оптика”.                                                                                      Жюль Анри Пуанкаре (1854- 1912) предложил еще одно объяснение, в значительной мере выдержанное в духе Канта. Пуанкаре считал, что существует бесконечно много теорий, которые в состоянии адекватно объяснить и описать любую область опыта. Выбор теории произволен, хотя обычно более простой теории отдают предпочтение перед более сложной. Мы изобретаем и используем идеи, которые соответствуют реальности, но и другие теории, если приложить к ним достаточно усилий, также могут оказаться вполне действенными.                                                                     Философ Уильям Джеймс выразил ту же идею: “Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта”.                      Многие математики с готовностью соглашаются, что их наука находит необычайно широкое применение, но признают свою несостоятельность в объяснении этого феномена. Хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла нам доступ к некоторым тайнам природы, чем позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания.Как это ни парадоксально, но именно далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность достичь немалого.

4. Заключение.

Поскольку математика - творение человека и с ее помощью мы открываем  совершенно новые физические явления, люди создают отдельные части  окружающего их мира: тяготения, электромагнитные волны, кванты энергии и т.д. Разумеется, математик работает не в пустоте, а руководствуется данными чувственного опыта и эксперимента.

Наше знание зависит от человеческого разума ничуть не меньше (если не больше), чем от реальностей  окружающего мира. Разум влияет даже на чувственное восприятие. Наука  более не противопоставляет природу  как объект исследования и человека как субъекта, занимающегося ее описанием. Объект и наблюдатель неразделимы.Граница между математическим и эмпирическим знанием не абсолютна. Мы непрестанно вносим коррективы в наши наблюдения и в тоже время видоизменяем наши теории так, чтобы они соответствовали новым наблюдениям и экспериментальным результатам. Цель усилий, предпринимаемых как в развитии теории, так и в совершенствовании эксперимента - всестороннее и непротиворечивое описание физического мира. Математика служит своего рода посредником между человеком и природой, между внутренним миром человека и окружающим его внешним миром. Так мы приходим к бесспорному и неопровержимому выводу математика - поскольку она говорит нам о составляющих физического мира и поскольку наше знание этого мира может быть выражено только в математических понятиях - столь же реальна, как столы и стулья. Граница нашего знания реальности существует, но они постепенно расширяются. Вполне возможно, что человек, введя некоторые ограниченные и даже искусственные понятия, только таким способом сумел “навести порядок” в природе. Созданная нами математика может оказаться не более чем рабочей схемой. Не исключено, что природа в действительности устроена гораздо сложнее и в основе ее нет никакого “плана”. Но и тогда математика как метод исследования, описания и познания природы не знает себе равных. В некоторых областях ею исчерпываются все, что мы знаем. Если она и не есть сама реальность, то по крайней мере подходит к таковой ближе, чем любая другая область человеческой деятельности.                         Хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла нам доступ к некоторым тайнам природы, чем позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания. Как это ни парадоксально, но именно столь далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность достичь немалого. Для мыслящего ученого математическое описание всегда было неиссякаемым источником удивления, рожденного тем, что природа проявляет столь высокую степень соответствия математическим формулам.                                                                          Учитывая всё вышесказанное, сделаем вывод, что математика как метод познания физического мира обладает исключительной мощью и эффективностью, причем эта эффективность столь высока, что вызывает удивление у всякого, кто хоть однажды попытался найти ей какое-то разумное объяснение.

5. Список литературы.

1. Е. Вигнер «Непостижимая эффективность математики в естественных науках (физика наших дней)» УФН 94 (3) (1968) / Е. Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960)

2. Клайн М. Математика. Поиск истины, М.: Мир, 1988.

3. Вейль Г. Математическое мышление, М.: Наука, 1989.

4. Клайн М. Математика: Утрата определенности, М.: Мир, 1984.

5. Сухотин А.К. Философия в математическом познании, Томск: Издательство томского университета, 1977.