Донецкий Национальный Университет
Реферат на тему: ”Эффективность
математики ”
Подготовила:
Студентка математического
факультета
Донецк 2011 г.
Содержание:
Введение.
1. Математика и ее отличие
от других дисциплин. Роль математики
как науки
2. Эффективность математики.
3. Известные математики про
эффективность математики.
4. Заключение.
5. Список литературы.
Введение.
Данная тема была выбрана
так как для того, чтобы иметь представление
о математике, как науке, необходимо
понять что такое математика и в чём её
эффективность. Данная тема актуальна,
потому что, математика и используются
во всех сферах современного информационного
общества. Компьютеризация общества, внедрение
современных информационных технологий
в доминирующие отрасли хозяйства требуют
опережающего развития математической
грамотности, а для этого необходимо знать,
в чём заключается эффективность математики.
Исторически арифметика и геометрия выросли,
как известно, из практики, из необходимости
решения практических задач земледелия,
мореплавания, астрономии, сбора налогов,
распределения урожая и т.п. Это была математика
решения практических нужд, математика
этапа зарождения науки, математика исследования
количественных свойств и отношений. Роль
математики растёт не только в “точных”
науках, например, физике, но и в “неточных”,
например, социологии. Без математики
невозможно полностью и адекватно описать,
исследовать, понять многие явления не
только природы и познания, но и общества,
социально-экономических областей.
Математика – уникальная наука. Она способствует
выработке адекватного представления
и понимания знания. “Ни одно человеческое
исследование не может называться истинной
наукой, если оно не прошло через математические
доказательства” – писал Леонардо да
Винчи. Появление математики как систематической
науки оказало в свою очередь громадное
влияние на другие науки, вплоть до философии,
которая было ограничено мифологическими
и антропоморфными, неустойчивыми и фантастическими
представлениями и объяснениями. Математика
стала не просто практически полезным
аппаратом, а инструментом выявления внутренней
сущности явлений и процессов.
XVI - XVII в.в. появились такие новые математические
теории, как теория вероятностей, математическая
статистика которые затем в XVIII веке стали
использоваться в различных областях
науки и практики.
Основой развития математики в XX веке
стал сформировавшийся математический
язык цифр, символов, операций, геометрических
образов, структур, соотношений для формально-логического
описания и исследования действительности.
Язык математики – это искусственный
язык, со всеми его недостатками и достоинствами.
Он часто точнее, адекватнее и глубже отображает
реальность, чем это делается в рамках
других наук. Чем чаще наука прибегает
к языку математики, тем больше она эволюционирует,
тем более глубокие связи и отношения
она сможет изучить.
1. Математика
и ее отличие от других дисциплин.
Роль математики как науки.
Математика, в отличие
от большинства других дисциплин, имеет
предметом своего изучения не непосредственно
вещи, составляющие окружающий нас
внешний мир, а количественные отношения
и пространственные формы, свойственные
этим вещам. Этой особенностью математической
науки объясняются те хорошо известные
методические трудности, которые встают
перед преподавателем математики и
которых почти не знают преподаватели
других наук: перед учителем математики
стоит нелегкая задача - преодолеть
в сознании учеников возникающее
со стихийной неизбежностью представление
о “сухости”, формальном характере,
оторванности этой науки от жизни
и практики.
Но этой же особенностью математической
науки, в значительной мере объясняется
и специфика научной дисциплины, занятой
изучением не самих вещей, а лишь отношений
между ними, и потому необходимо требующая
поднятия на некоторую ступень абстракции,
- такая дисциплина, очевидно, лишь в редких
случаях способна давать учителю повод
к эффективному воздействию на формирование
характера и мировоззрения учащихся, на
регулирование их поведения. Этим, несомненно,
объясняется то, что в исследованиях, посвященных
вопросам воспитательной функции школьного
обучения, об уроках математики обычно
вовсе не говорится или говорится очень
мало. Функцию математики,
как языка знаний замечали в древности.
Галилею принадлежат знаменитое выражение:
“Философия написана в грандиозной книге
– вселенной, которая открыта нашему пристальному
взгляду. Но понять эту книгу может лишь
тот, кто научился понимать её язык и знаки,
которыми она изложена. Написана же она
на языке математики…”.
Важно всегда помнить утверждение Л.Д.
Кудрявцева: “…нельзя обучить приложениям
математики, не научив самой математике».
Математика реализует не только мировоззренческие,
но воспитательные, культурные и эстетические
функции.
Роль математики состоит, в частности,
в том, что она помогает вникать в суть
явлений и процессов, происходящих в окружающем
нас мире, выявлять, описывать и исследовать
как внешние связи, так и внутренние связи
системы.
“Не зная математики, нельзя
знать, ни прочих наук, ни мирских дел.
И что ещё хуже, люди, в ней
не сведущие, не ощущают собственного
невежества, а потому не ищут от него
лекарства. И напротив того, знакомство
с этой наукой подготовляет душу и возвышает
её ко всякому прочному знанию, так что,
если кто познал источники мудрости, касающиеся
математики, и правильно применил их к
познанию прочих наук и дел, тот сможет
без ошибок и без сомнений, легко и по мере
сил постичь и все последующие науки”
(Р.Бэкон).
2. Эффективность
математики.
Непостижимая эффективность
математики заслуживает отдельного
обсуждения. Математика – наука
о количественных отношениях и пространственных
формах действительного мира – появилась
как набор полезных правил и формул
для решения практических задач,
с которыми люди сталкивались в повседневной
жизни. Ее начали создавать еще цивилизации
Древнего Египта и Вавилона около 3
тысячелетия до н.э. Но только приблизительно
в 6 веке до н.э. древние греки уловили
возможность использования математики
в качестве инструмента для получения
новых знаний. Речь идет о неоднократно
подтвержденных научной практикой
случаях, когда результат сначала
предсказывается на бумаге, а только
потом специально поставленным экспериментам
удается найти новое – доселе
не известное человеку. Так, например,
из расчета траекторий движения небесных
тел обнаруживались неизвестные
планеты и их спутники; на бумаге
было предсказано искривление светового
луча при его прохождении в
окрестности тела большой массы.
Достоверных документов, способных
рассказать, что заставило греков
прийти к новому пониманию математики
и ее роли, не сохранилось. Существуют
лишь более или менее правдоподобные
догадки историков. По одной из них,
греки обнаружили противоречия в
результатах по определению площади
круга, полученных в Вавилоне, и стали
выяснять, какой из результатов верен.
По другой, новая дедуктивная математика
ведет историю от Аристотелевой логики,
возникшей в пылу дискуссий на общественно-политические
темы. По-видимому, математика как логический
вывод и средство познания природы появилась
в связи с тем, что к 6 веку до н.э. сложилось
миропонимание, сводящееся к следующему:
природа построена рационально, а явления
протекают по точному плану, который в
конечном плане является математическим.
Человеческий разум всесилен, а поэтому
упомянутый план можно познать. Основанием
к оптимизму являлось, например, осознание
общности формы Луны, мяча и еще целого
ряда предметов, открытие зависимости
высоты звука, издаваемого струнами, от
их длины и того, что гармонические созвучия
издают струны, длины которых относятся
как некоторые целые числа. В результате
подобных наблюдений родились два основополагающих
утверждения:
1) природа устроена на
математических принципах,
2) числовые соотношения
– основа, единая сущность и
инструмент познания порядка
в природе.
3. Известные математики
про эффективность математики.
Морис Клайн.
Автор показывает, что математика
как метод познания физического мира обладает
исключительной мощью и эффективностью,
причем эта эффективность столь высока,
что вызывает удивление у всякого, кто
хоть однажды попытался найти ей какое-то
разумное объяснение.
Математика позволяет
достаточно точно и хорошо описывать
явления внешнего мира (экспериментальные
явления и наблюдения) в самых
различных областях знаний. Означает
ли это, что мир устроен по математическим
законам, а значит и ненаблюдаемые
физические сущности, привлекаемые нами
для математического описания наблюдаемых
явлений (например, "силы", "поля"
и т.д.) действительно существуют?
Нет, не значит. Например, для описания
одних и тех же явлений можно
использовать различный математический
аппарат и во всех случаях (в том
числе и тогда, когда описание
ложно по физической сути, но соответствует
наблюдениям) математика как таковая
оказывается эффективной вне
зависимости от истинности используемых
физических гипотез, которые она
описывает. В чем
же тогда причина такой поразительной
эффективности математики?
О мере и порядке. Декарт
утверждал: "Мне неизвестна иная
материя телесных вещей, как только
всячески делимая, могущая иметь
фигуру и движимая, иначе говоря,
только та, которую обозначают названием
величины и принимают за объект доказательств..."
В этом - причина эффективности
математики, к области которой
относятся только те науки, " в
которых рассматривается либо порядок
либо мера, ... не входя в исследование никаких
частных предметов".
Разберемся с этим утверждением. Две сущности
(по Декарту) имеет предметом своим математика:
меру и порядок. В современном понимании
"мера" есть числовая характеристика,
обладающая свойством аддитивности, т.е.
для которой задана операция сложения.
Таким образом, здесь все уже сказано.
Что такое "отношение порядка" и какие
свойства реальности оно описывает? Коротко
говоря, отношение порядка ("больше"/"меньше")
в физическом мире можно интерпретировать
двумя основными способами:
1) взаимное расположение объектов относительно
выбранной пространственно-временной
оси (или по ходу процесса наблюдения или
перечисления);
2) принадлежность одного
объекта (группы объектов) другому
объекту (группе объектов) как
части по отношению к целому.
Как видно, первый способ тесно
связан с измеримостью величин, а
значит, в этом случае порядок практически
индуцируется соответствующей мерой.
Во втором случае можно также рассмотреть
два подслучая:
1) полностью упорядоченные
множества;
2) частично упорядоченные
множества.
В обоих случаях можно
считать, что рассматривается множество
подмножеств некоторого множества
(целого). Только в первом случае каждое
"меньшее" множество является
строгим подмножеством любого "большего"
(и наоборот), а во втором - множества
могут не только включать друг друга,
но и произвольным образом пересекаться
и даже не пересекаться. В первом
случае порядок опять-таки можно
свести к мере. Например, рассмотрим
множество отрезков положительной
оси числовой прямой, берущих начало
в 0. Принадлежность одного отрезка
другому означает, что он "меньше".
Но тот же самый вывод можно
сделать и на том основании, что
координата его правого конца
или, что то же самое, его длина (мера)
меньше, чем у того, которому он принадлежит.
В случае частично упорядоченных
множеств (т.н. «решеток») для каждых
двух элементов можно указать
только верхнюю и нижнюю границы
(соответственно "наименьшее большее"
и "наибольшее меньшее" этих двух
элементов). Таким образом, порядок
отражает только одно наиболее общее
свойство материи - делимость. И в
этом смысле идея "порядка" является
более общей и первичной, чем
идея "меры". Ведь порядок указывает
лишь на то, что один элемент больше (или
меньше) другого, а мера еще требует уточнить
насколько.
О математической реальности и реальности
нашей математики. Внутри математики существует
собственная "реальность" со своими
объективными законами, которые определяются
принятыми в математике аксиомами и логикой
математического вывода. Математики открывают
эти законы. А во внешнем мире - своя реальность
со своими законами. Эти законы открывают
физики, основываясь на опыте. В чем здесь
разница? Математическая реальность объективна
в том смысле, что любой математический
объект (логарифм, интеграл, функция), определенный
заданным образом, может иметь только
такие, а не иные свойства, вне зависимости
от желания его изобретателя. Но ни из
каких математических соображений не
следует, например, что величина, подлежащая
сохранению в физике это именно масса,
умноженная на квадрат, а не, скажем, на
куб скорости. Математика может описать
много моделей, но лишь некоторые из них
в том или ином приближении приложимы
к реальности физической. Какие - это определяется
опытом.
Таким образом, вопрос о "непостижимой
эффективности математики" распадается
на два главных вопроса. Первый: почему
реальность физическая может быть описана
при помощи моделей из реальности математической?
И второй: насколько реальны в действительности
математические абстракции, используемые
физиками для описания этой физической
реальности? Вот ответ на первый вопрос.
Поскольку физик "воспринимает" физическую
реальность при помощи сравнения и измерения,
а базовые свойства соответствующих математических
операций являются экспериментальными
фактами, установленными на опыте для
сравнимых и измеримых физических характеристик,
то физические закономерности для таких
характеристик обязаны быть истинными
в математике. Грубо говоря, любые мыслимые
связи между измеримыми характеристиками
объектов являются математическими по
определению (самой математики). Обратное
- неверно, то есть не все математически
корректные модели соответствуют реальности
физической.
Ответ на второй вопрос - сложнее. С одной
стороны, математические модели для интерпретации
физического опыта человеческое сознание
строит, подчиняясь стремлению к максимуму
энтропии при обработке информации. И
в этом смысле используемые физиками математические
объекты совершенно не обязаны быть реальными
в физическом смысле. Например, считается,
что модель Коперника-Кеплера «верна»,
а Птолемея «неверна». Но, вообще говоря,
эллипсы Кеплера ни на грамм не более реальны
(материальны) чем эпициклы Птолемея. В
природе таких объектов не существует.
Там есть только движение планет, и нет
никаких "механизмов", которые бы
его осуществляли. Планеты просто движутся.
Материя просто существует. А мы воспринимаем
ее с помощью наших чувств и описываем
с помощью наших абстракций (математических,
если при восприятии используется измерение).
В этом смысле математический порядок
наших представлений о мире - плод деятельности
нашего разума по упорядочиванию имеющихся
фактов. Простая модель содержит меньше
информации, чем более сложная, объясняющая
те же факты. Принцип максимума энтропии
заставляет любые информационные системы
стремиться к уменьшению имеющейся у них
информации. Поэтому математики всегда
предпочитают более простые гипотезы.
Беда модели Птолемея не в том, что она
не соответствовала реальности (ее точность
была выше, чем у системы Коперника!), а
в том, что она была сложна. И именно из
этих соображений была отвергнута.
С другой стороны, если бы измеримые физические
характеристики объектов реального мира
не были бы объективно взаимосвязаны (не
в математической, а в физической реальности!),
то сама природа реальности математической
не позволила бы привнести в восприятие
такого мира математический порядок. Рассмотрим
аналогию Эйнштейна.Эйнштейн писал: "В
нашем стремлении понять реальность мы
отчасти подобны человеку, который хочет
понять механизм закрытых часов... Он может
нарисовать себе некоторую картину механизма,
которая отвечала бы всему, что он наблюдает,
но никогда не может быть уверен в том,
что его картина единственная, которая
могла бы объяснить эти наблюдения".
Тем не менее, если бы работа часов не подчинялась
в действительности никаким законам, то
никакой соответствующий механизм (модель)
таких часов нельзя было бы и помыслить.
Любая модель в этом случае противоречила
бы опыту и опровергалась им. Иными словами:
если бы порядка не было в объективной
реальности, являющейся источником наших
восприятий, то мы не могли бы построить
ее упорядоченный образ в нашем сознании.
Вингер. Две главные идеи, которые
будем рассматривать. Первая идея: математические
представления могут оказаться в совершенно
неожиданной связи. Более того, они часто
приводят к неожиданно удачному и точному
описанию явлений в этой связи. Вторая
идея: именно благодаря упомянутой широте
применения математических представлений
и тому факту, что мы не понимаем причин
такой широты, мы ниоткуда не может узнать,
единственна ли теория, сформулированная
на языке наших математических представлений.
Главная цель - осветить этот вопрос с
нескольких сторон. С одной стороны, невероятная
эффективность математики в естественных
науках есть нечто граничащее с мистикой,
ибо никакого рационального объяснения
этому факту нет. С другой стороны, именно
эта непостижимая эффективность математики
в естественных науках выдвигает вопрос
о единственности физических теорий.
Трудно отделаться от впечатления, что
чудо («В своей аксиоматической форме
математика представляется скоплением
абстрактных форм, причем определенные
аспекты реальности как будто бы в результате
предопределения укладываются в некоторые
из этих форм» Н. Бурбаки. — перев.), представшее
перед нами, не менее поразительно, чем
то, что разум человека смог связать воедино
и без противоречий тысячи аргументов.
Это чудо можно сравнить ещё с двумя чудесами:
существованием законов природы и способностью
человеческого мышления раскрывать их.
Наиболее правдоподобным объяснением
независимого формирования математических
понятий служит утверждение Эйнштейна,
что единственным критерием для принятия
физических теорий должна быть их красота…
Математические понятия, которые стимулируют
мысль бесспорно, обладают красотой. Однако
высказывание Эйнштейна в лучшем случае
относится к характеру теорий, в которые
мы хотим верить, но не имеет отношения
к точности, присущей той или иной теории.
Поэтому мы займемся именно последним
вопросом.
Что думает Вингер о непостижимой эффективности
математики в физике? Математика, безусловно,
эффективна в физике — но, может быть,
тут можно и с другой стороны посмотреть,
сделав поправку на «субъективную объективность»
физики, не рассматривая ее вне нас, человеков.
Физические объекты — не природная данность,
а работа человеческого мышления, как
и математика. Вигнер касается этого, но
только мельком, не углубляясь, когда говорит
о выделении абстракций и пренебрежении
определенными деталями объектов. То есть,
сопоставления, изоморфизмы, можно сказать,
строятся у него между объектами мира
и объектами теории. Жизнь - это искусство
делать верные выводы из неверных посылок.