Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Апреля 2012 в 08:36, курсовая работа
Актуальность: зачастую мы сталкиваемся с необходимостью вычисления значений сложных функций, но научиться этому возможно только в высших учебных заведениях. Данная работа будет полезна тем, кто хочет изучить теорию приближения функций и вычислять значения сложных функций .
Ведение…………………………………………………………………………......3
1.Теоретическая часть………………………………………………………....…..5
1.1. Многочлен Тейлора………………………………………………………….-
1.2. Разложение функций по формуле Тейлора……………………………...…8
1.3. Примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора……….10
1.3.1. Функция f(x)= ex……………………………………………….…-
1.3.2. Функция f(x)= sin x ……………………………………………………11
1.3.3. Функция f(x) = cos(x)…………………………………………………12
1.3.3. Функция f(x) = ln(1 + x)………………………………………..13
1.3.5.Функция f(x) = (1 + x)a………………………………………………….-
2. Практическое применение формулы Тейлора………………………….........14
Заключение……………………………………………………………………......16
Список используемых источников……………………
Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции f(x) в точке x0 имеет вид:
P(x)= f (x0)+ f ′(x0) (x-x0)+ · (x-x0)2+…+ · (x-x0)n.
В частном случае при x0=0, формула приобретает вид более простой вид:
f(x) = f (0) + f ′(0)·(x) + · (x-x0)2+…+ · (x-x0)n+ Rn(x),
Эта формула
называется формулой Маклорена.
1.2. Разложение функций по формуле Тейлора
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть связано со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.
Разность между функцией f(x) и её многочленом Тейлора называется n-м остатком, или n-м остаточным членом; обозначим этот остаток через Rn(x)= f(x)- P(x).
Формула f(x)= P(x)+ Rn(x), в более развёрнутой форме имеющая вид
f(x) = f (x0) + f ′(x0) (x-x0) + · (x-x0)2+…+ · (x-x0)n+ Rn(x), называется формулой Тейлора для функции f(x) в точке x0 , а представление функции f(x) в таком виде - её разложением по формуле Тейлора.
Если считать, что остаток Rn(x) мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула
f(x)≈ f (x0)+ f ′(x0) (x-x0)+ · (x-x0)2+…+ ! · (x-x0)n,
дающая возможность
для приближённого нахождения значений
функции f(x).
1.3. Примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора
1.3.1. Функция f(x)= ex
Рассмотрим функцию f(x)= ex. Все её производные совпадают с ней:
f (k)(x)=ex , так что коэффициенты Тейлора в точке x0=0 равны
, k=0,1,2,3,…,n.
Поэтому формула Тейлора для f(x)= ex такова:
.
Пример: Найдем значение числа е.
В полученной выше формуле положим х = 1:
Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003
Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451
Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
На графике (см. Приложение 1) показаны значения числа е с точностью
в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.
Как видно, для
достижения точности, достаточной для
решения большинства
1.3.2. Функция f(x)= sin x
Рассмотрим функцию f(x)= sin x. Её производные чередуются в таком порядке: , , , ,
а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке x0=0 также возникает повторение: f(0)=0, , , , и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами n=2k-1 равны 1 при n=1,5,9,…, то есть при k=1,3,5,…, и -1 при n=3,7,11,…, то есть при k=2,4,6,… .
Таким образом, при всех и коэффициенты Тейлора равны
Получаем формулу Тейлора для синуса:
Чтобы получить
наиболее точное значение функции при
наименьшем количестве членов разложения
надо в формуле Тейлора в качестве
параметра а выбрать такое число,
которое достаточно близко к значению
х, и значение функции от этого числа легко
вычисляется.
Для примера вычислим значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = .
Применим разложение
в ряд Тейлора, ограничившись
тремя первыми членами
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
На графике (см. Приложение 2) показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.
На графиках (см. Приложение 4) представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.
1.3.3. Функция f(x) = cos(x).
Для функции f(x) = cos(x) производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке x0=0 имеют то же чередование:
, , , , , …
Нетрудно видеть, что f (n)(0)=0 при n=2k-1, k=1,2,3,…, f (n)(0)=(-1)k при n=2k, k=0,1,2,… .
Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид
1.3.4. Функция f(x) = ln(1 + x)
Нахождение формулы для производной произвольного порядка от функции f(x) = ln(1+x). Имеет место разложение
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.
ln1,5 = 0,405465108108164381
1.3.5.Функция f(x) = (1 + x)a
Разложим функцию f(x) = (1 + x)a; (a - действительное число).
Тогда:
Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то R(n) = 0, тогда
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Разложение различных функций по формулам Тейлора приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.
2. Практическое применение формулы Тейлора
Первым этапом разработки является анализ представления некоторых функций по формуле Тейлора. Ранее было доказано, что для программы можно ограничиться шестью-семью членами ряда для числа e в степени х и пятью-шестью членами ряда для натурального логарифма. А так как известна его связь с десятичным логарифмом, а именно:
то написание программы для вычисления десятичных логарифмов существенно упрощается. Программа считает значение натурального логарифма, а затем переводит его значение в значение десятичного логарифма.
Далее идет разработка логической структуры программы. Для большей наглядности используются вложенные циклы (это делает программу нагляднее и проще в использовании). Программа работает так чтобы от человека, использующего программу, требовалось только ввести номер требуемой функции и аргумент (x) для этой функции.
В конце разработки программы переводятся результаты из экспоненциальной формы представления числа в привычную форму вещественного числа.
Программа
имеет ограничение в
Заключение
В ходе исследования:
В результате проведённого исследования доказано, что на основе знаний теории по формуле Тейлора и знаний языка программирования Pascal, можно составить программу вычисляющую значения e в степени x, натурального логарифма, а так же десятичного логарифма с минимальным расхождением от действительных значений. Также подтверждено, что такой программой возможно и удобно пользоваться практически (для учеников школ и высших учебных заведений) в расчетах, не требующих очень высокой точности.
Список используемых источников
Изд. 13-е, стер. – М.: Наука., 1964.-444с.
Приложение
Приложение
1