Решения j_i будем искать в виде степенного ряда:

                 (I.2) 
 

методом неопределенных коэффициентов.

     Для  решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1:   (об аналитическом решении)

Если p₀(x), p₁(x), p₂(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x₀ и p₀(x)≠0, то решения уравнения p₀(x)y^’’ + p₁(x)y^’  + p₂(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде:  y=l₀ + l₁(x-x₀) + l₂(x-x₀)² + … + l_n(x-x₀)ⁿ + … 

Теорема 2:   (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд) 

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x₀ является нулем конечного порядка S функции a₀(x), нулем порядка S-1 или выше функции a₁(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a₂(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

      y= l₀(x - x₀)^k + l₁(x – x₀)^k+1 + … + l_n(x-x₀)^k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным. 

Рассмотрим уравнение:

       (I.3) 

a₀(t) =  t + 2 ; a₁(t) = -1; a₂(t) = -4t³; a₀(t) ≠ 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение  уравнения (I.3) может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = c_n(t-t₀)ⁿ

возьмем t₀ = 0, будем искать решение в виде (t) = c_ntⁿ        (I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

 (t) = nc_nt^n-1, (t) = n(n-1)c_nt^n-2

(2+t)( n(n-1)c_nt^n-2) – ( nc_nt^n-1) – 4t³( c_ntⁿ)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t⁰ :  4c₂ – c₁=0       4c₂-c₁-4c_-3=0

t¹ :       

   

рекуррентное  соотношение имеет вид

         n N, c_-3=0, c_-2=0, c_-1=0             (I.5)

при  n=0,

         n=1,

         n=2,  c₄=0

   n=3,  

   n=m-2,  

Итак,

Найдем радиусы  сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.

Которые имеют  область сходимости (по формуле Даламбера):

а)      

б)        

 Итак, область  сходимости  .

Глава 2 

Примеры 

Пример 1

По определению  интеграл сходится и его величина равна p/4.То есть у площади бесконечной криволинейной трапеции под графиком подынтегральной функции существует предел.(см. рисунок 3): 

Y

  1 

  0      1                    ¥           X 

При мер 2

Не существует   при  b®¥  ---  интеграл   расходится.На этом примере хорошо видна разница понятий «предел не существует» и «предел равен бесконечности» (пример 3).Смотрим на рисунок: в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от  0  до  2,но т.к. b не определено конкретно, то не существует и предела(рисунок 4)

    Y

    1

           +                 +                 +      b?    b?            X

     0      p    -    2p          -                  -   b?      b?     (¥) 
 
 

Пример 3

Þ  интеграл  расходится. А в этом примере площадь под графиком 1/x имеет бесконечно большую величину. При этом(обратите внимание - частая ошибка студентов) 1/x®0 при x®¥.

Для сходимости несобственного интеграла при x®¥ необходимо, но не достаточно стремление  

Пример 4

На концах отрезка  [0,2]  подынтегральная  функция определена.  Но  x=1   -  особая   точка.

Для  сходимости  интеграла  необходима сходимость  интегралов

 

Рассмотрим   сначала

При  b®1  F(b)=ln[(1-x)/(1+x)]  не имеет предела Þ  данный  и,  как следствие, исходный  интегралы расходятся.

Примечание. Если не обратить внимания на особую точку  и применить формулу Ньютона-Лейбница, то можно получить неверный ответ  ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать  несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную  функцию ,найти ее особые точки  и  построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке  [0,2]  выглядит  примерно  так(рисунок 5) 

     Y

 

      1

      0       1      2              X 
 

Пример 5

Несобственный интеграл имеет две особенности    : в точке  x=0  функция  неограниченно  возрастает (собственная особая  точка) ,при   x®+¥  имеем интеграл  по бесконечному  промежутку(несобственная особая точка). Разобьём  интервал  интегрирования  (0;+¥)  так, чтобы   на  каждом промежутке  подынтегральная функция f(x) имела   не  более одной особенности .Например,

(0;  1)  и   (1;+¥).

По определению  исходный  интеграл  

Сходится  тогда, и  только  тогда , когда сходятся  оба интеграла

Первый  из этих интегралов расходится при p ³ 1, второй - при  p £ 1, таким  образом, одновременно оба эти интеграла не сходятся ни при каком значении p. Итак, исходный интеграл расходится при любом значении  p.

  

Пример  6

Исследуем сходимость интеграла 

 

Подынтегральная функция   имеет  на промежутке  интегрирования  ( 0;+¥ )  две особые  точки   x= 0  и (+¥),  следовательно,  необходимо  смотреть сходимость  каждого из  интегралов 

Для  некоторого  a Î (0; +¥ ). Начнём  с  простейших  оценок. Так  как   

Подынтегральная   функция   неотрицательна ,  и , в  силу  признака  сравнения 

Cходится  абсолютно. 

При  x®¥  имеем  

Значит, по  признаку  сравнения   интеграл   и   на  промежутке  (a;+¥) сходится абсолютно, так  как  сходится  интеграл  от  модуля  функции:

Вывод : исходный  интеграл  сходится, причём  абсолютно. 
 
 

Пример  7 

     
 
 

.

Следовательно, расходится весь интеграл, отметим только, что на интервале [3;5) функция сравнения имеет вид 

Часто для нахождения функции сравнения  требуется таблица эквивалентных  замен (следствие из формулы Тейлора) 

При x ® 0

Ln (1+x) ~ x 

Sin x  ~ x 

Tg x  ~  x 

Arcsin x,arctg x  ~  x

Необходимо  помнить  также, что  при x®¥

cos x, sin x  есть  ограниченные   функции, 

Arctg x ®  p/2,  (-p/2   при   x®-¥) 

Arcctg x ®  0     (p при x®-¥) 

При  x ® 0

Arccos x,  arcctg x ® p/2 
 

Напоминание: 

 По   правилу  Лопиталя 

 

Пример  8 

Исходный интеграл ,состоящий из суммы сходящегося  и расходящегося интегралов, тоже расходится.

  

Пример  9 
 

Интеграл  сходится  -  его  значение  стремится  к  -4.

Предел   

 
 

С помощью  примера 9 решим пример 10: 
 
 
 
 
 
 

Пример  10 
 

 
 

 

В  результате  получили  сумму   двух   сходящихся   интегралов   -   следовательно , и  исходный   интеграл   тоже сходится. 
 

Пример  11 

 Интеграл   расходится. 
 

Пример  12