Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

В связи  с этим возник вопрос о существовании  пределов интегральных сумм, слагаемые  которых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. Получение основополагающих результатов связано здесь с именем Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Тут же Коши дает истолкование непрерывности функции, которое более чем ясно подтверждает ясность этого его утверждения.

Новая постановка задач обоснования математического  анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - но, прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать, надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать общую теорию пределов.

Изучение  разрывных функций и сопоставление  их с функциями непрерывными заставило  признать то, что ранее считалось  невозможным: что предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. Значит, предел не всегда является “последним” значением переменной, но во всех случаях предел есть число, к которому переменная приближается неограниченно. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот с противоречиями и парадоксами не связан.

Коши  преодолел и вторую ограничительную  тенденцию в принятой до него трактовке  понятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь, порой принимая значения, равные её пределу. Это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость. Мы до сих пор следуем пути, намеченному Огюстеном Луи Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX века К. Вейерштрассом.

Работы  Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа. Тем самым подведя итог многовекового развития интегрального исчисления. 

Несобственный интеграл 

Определение:  Пусть.  w

собственная или правая несобственная точка  числовой прямой

Функция f: [a;w)®R интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b] Î [a, w).

Тогда, если  существует    (1):                 

То его величина обозначается   (2)                                                                                                                                    

и  называется несобственным  интегралом функции  f  по промежутку [a,w ).

 Введем  обозначение : f  Î R^<a,b> - функция интегрируема  по Риману в несобственном   смысле по промежутку <a,b>.

Если предел (1) существует и равен конечному  числу, то говорят, что данный интеграл сходится. Если предел (1) не существует или равен бесконечности, то  говорят, что данный интеграл  расходится. Обычный интеграл  Римана (3)

 называется  собственным интегралом. Его значение

соответствует  величине  площади криволинейной  трапеции (см. рисунок 1): 

                            Y                    f(x)

                                             
 

                                               a           b                X

Если  функция  f  неотрицательна  и непрерывна  на промежутке [a,b) (b может быть  бесконечным), то несобственный  интеграл (4)

Равен площади  неограниченного открытого множества  G={(x,y):a<x<b,0<y<f(x)}.Интеграл (5)

назовем несобственным  интегралом   1  рода,  аналогично  определяется  интеграл (6):

       Y                                                                                                      Y 

                             f(x)                                                                          f(x) 
 

       

                     a                              +¥    X                 -¥                                            a             X

             рис., поясняющий интеграл (5)                 рис., поясняющий интеграл (6).

  

Интеграл

где функция  неограниченна в точке b ,но интегрируема по Риману на любом отрезке [a,k]Î[a,b) назовем несобственным интегралом второго рода.(7)

Аналогично  определяется несобственный интеграл на полуинтервале (a,b].(8)

    Y                                                                                            Y

                           f(x)                                                                                          f(x) 
 
 

      0              a               b                   X                                      0                a                     b                  X

            рис., поясняющий интеграл (7)                                                рис., поясняющий интеграл (8) 

Если  же  функция   определена  на интервале  (a,b)  и неограниченна в точках  a и b  и при некотором выборе  точки с  (a,b)  существуют  несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),cÎ(a,b).

При этом существование и значение данного  интеграла не зависит от выбора точки  с.Тогда

                                                                                                                                                                   

        Y

. 

                                      f(x) 
 
 

           0           a k            c                l  b        X 

Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2)

Вообще, если функция f :<a,b>®R  имеет на промежутке <a,b> конечное число особых точек и Т:  a=k1<k2< ……..<kn=b_ такое разбиение <a,b>, что на каждом  из<ki,ki+1>,i=1¸n,особой  точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов  (9):

сходится,  то (10)

сходится. Если хотя бы один из (9) расходится, то и весь (10) расходится. Действительно, расходимость хотя бы одного из участников суммы (10) означает, что данный интеграл (9) либо имеет бесконечную величину (см. пример 3,4),либо не имеет конкретного значения (см. пример 2),тем самым обращая всю сумму (10) либо в бесконечность, либо лишая ее конкретного значения. 

   Y 

 

                                                                f(x) 
 

      0         a=k1       k2………ki…….kn-1                              kn=b(+¥  в данном случае).

       Рис., поясняющий  несобственный  интеграл с несколькими особенностями  (9),(10). 

Несобственный интеграл с несколькими  особенностями 

Если  функция   определена  на интервале  (a,b)  и неограниченна в точках  a и b  и  при некотором выборе  точки с  (a,b)  существуют  несобственные  интегралы  на полуинтервалах (a,c] и[c,b),cÎ(a,b).

При этом существование и значение данного  интеграла не зависит от выбора точки  с. Тогда

                                                                                                                                                                     
 
 
 
 

                                     

       0       a  k       c           l  b        X 
 

Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2)

Вообще, если функция f :<a,b>®R  имеет на промежутке <a,b> конечное число особых точек и Т:  a=k1<k2< ……..<kn=b_ такое разбиение  <a,b>, что на каждом  из<ki, ki+1>, i=1¸n,особой  точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (1) :

cходится,  то

 
 
 

cходится. Если хотя бы один из (1) расходится, то и весь (2) расходится. Действительно, расходимость хотя бы одного из участников суммы (2) означает, что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную величину ,либо не имеет конкретного значения тем самым обращая всю сумму (2) либо в бесконечность, либо лишая ее конкретного значения.

   Y

                                                                f(x) 

      0         a=k1       k2………ki…….kn-1                              kn=b(+¥  в данном случае).

       Рис., поясняющий  несобственный интеграл с несколькими особенностями  . 
 
 
 
 
 

Интегрирование  линейного дифференциального  уравнения с помощью  степенных рядов 

Для решения  дифференциального уравнения: 

(I.1)

где функции  а_i(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t₀ с радиусами сходимости r_i :

     

   i=0,1,2 

необходимо  найти два линейно-независимых  решения j₁(t), j₂(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями: