Группы автоморфизмов линейной алгебры

 

или диаграммой взаимных произведений: 

    

        При получении вышеприведенной таблицы произведений мы исходили из правого закона произведения мнимых единиц кватернионов (внутренний круг диаграммы), правого закона произведения новых единиц (внешний круг диаграммы) и правого закона произведения мнимых единиц исходных кватернионов на мнимую единицу E (радиальные линии диаграммы). Так же можно использовать определение октав с левыми правилами произведения. В дальнейшем мы будем полагать, что используются правые правила.

        Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Каковое и использовалось Фробениусом. 

    п.3. Структурные уравнения и структурные константы

    Запишем структурные уравнения алгебры  октав

    

, i, j, k = 1,2,3,4,5,6,7,8.

    Пусть { } – базис, в котором задана октава

    

,

где .

    Найдем  структурные константы. Их должно быть в этом случае , т.е.  512. Перепишем таблицу Кэли в виде: 
 
 
 
 
 
 

       

    Получили 512 структурных констант.  

    §5  Тождества в алгебре октав Ca.

    Подалгебры  алгебры октав Ca. Группа Ли.

       Обратимся    к соответствующей   группе   .  

       Пусть сначала A — произвольная альтернативная алгебра. Заменив в тождестве альтернативности (ab)b=a(bb) элемент b на х+у, раскрыв скобки и приведя подобные члены, мы получим тождество

    

(для  упрощения формул мы вместо  скобок пишем точки). Этот прием получения одного тождества из другого называется поляризацией (или     

линеаризацией).

   Аналогичным образом, поляризовав второе тождество альтернативности b(ba)=(bb)a, мы получим - после переобозначения переменных - тождество

    

.

      Первое тождество означает, что  выражение ах(у)—а(ху) (называемое ассоциатором элементов а, х, у) кососимметрично по х и у, а второе — что оно кососимметрично по а и х. Но тогда это выражение кососимметрично по а и у, что дает третье тождество альтернативности

    

,

при у = а приобретающее вид (ах)а = а(ха) (это тождество называется также тождеством эластичности)

       Если алгебра, подобно алгебре Ca, является, кроме того, метрической алгеброй, то для любых элементов и , где и , будет иметь место равенство , т. е. равенство Следовательно , т. е. . Поляризовав это тождество, мы получим тождество

                                        

.                                       (1)

      Пусть теперь алгебра A нормирована, т. е. в ней выполнено тождество (ab, ab) = (a, a) (b, b). Тогда, поляризовав это тождество сначала по b= х + у, а затем по а = и + v, мы получим тождество

                                       (ux,vy) + (vx,uy) = 2(u,v) (x,y),                                      (2)

имеющее место для любых элементов  u, v, x, у произвольной нормированной алгебры A. (и, значит, в частности, алгебры Ca).

      Нас особенно будет интересовать  подмножество линеала  _,   состоящее из элементов , для которых   . Это множество является 6-мерной сферой, и мы его будем обозначать символом .

      Легко   видеть,   что   тогда   и   только   тогда,   когда   . Действительно, если , то и потому . Следовательно, если , то . Обратно, если  , то , и значит,   , т.е. . Следовательно, , т.е. , а так как , то

    По  линейности отсюда вытекает, что  тогда и только тогда,  когда .

        Пусть теперь H – произвольная унитальная (и потому замкнутая относительно сопряжения) подалгебра алгебры Ca, отличная от алгебры Ca, и пусть — произвольная октава из ортогональная подалгебре H. Тогда для любого элемента октава ортогональна подалгебре H. Действительно, полагая в (2) u=1, v=b, и у=а, где H, и учитывая, что (ибо ) и (по условию), мы немедленно получаем, что для любого элемента .  

    В частности, (ибо ), так что .

    Кроме того, для любых элементов, имеют место равенства

                    

                             

,                                 (3)

                                            

    Действительно, полагая в (1) учитывая, что , a потому и , мы получим равенство 
 
 
 
 

    

,

равносильное  второму из тождеств (3). Аналогично, полагая в (1) 
а = 1, х = а, , мы получим равенство 

    

и, значит, равенство , в силу уже доказанного второго     

тождества равносильное первому из тождеств (3). Наконец, при третье из тождеств (3) приобретает вид    и,  значит,  сводится  ко  второму  тождеству.   По  этом это тождество достаточно доказать лишь при . Но в этом случае, положив в и мы получим, что

    

поскольку при  из (2) вытекает, что Следовательно, в силу уже доказанных тождеств

    Теперь  легко видеть, что алгебра H ассоциативна. Действительно, если то, заменив (1) а на   на с и у на мы получим тождество

    

равносильное  в силу тождеств (3) соотношению ассоциативности  .

    Теперь  мы уже можем доказать нашу основную лемму об автоморфизмах алгебры Ca.

    Произвольный  автоморфизм  , переводит элементы и е в такие элементы  и   из , что ортогонален , а ортогонален , и . Оказывается, что последние условия не только необходимы, но и достаточны для существования автоморфизма :