Группы автоморфизмов линейной алгебры

    Обратно, пусть  (Aut A ), т. е. Aut A . Тогда

,

и потому 

      Следовательно, Der A . 

    Теорема доказана

    Пусть, в частности, A является алгеброй Ли g односвязной группы Ли G. Поскольку на категории односвязных групп Ли функтор Ли вполне унивалентен, любой автоморфизм g g алгебры Ли  g реализуется некоторым автоморфизмом GG группы Ли G. Это показывает, что группа автоморфизмов AutG односвязной группы Ли G изоморфна группе автоморфизмов Aut g ее алгебры Ли:

     g

    Перенеся  посредством этого изоморфизма  гладкость из Aut g в AutG, мы определим AutG как группу Ли. При этом в силу сказанного выше алгеброй Ли AutG будет алгебра Ли Der g: 

     Чтобы получить аналогичный результат для произвольной связной группы Ли , рассмотрим ее универсальную накрывающую группу . Мы знаем, что функториально зависит от , и поэтому любой автоморфизм единственным образом определяет некоторый автоморфизм , для которого имеет место коммутативная диаграмма

    

    

    

    

    Тем самым определяется (очевидно, мономорфное) отображение

    Aut Aut.

    Образ  этого мономорфизма состоит из автоморфизмов , для которых из равенства следует равенство . Это условие в точности равносильно требованию, чтобы автоморфизм переводил в себя ядро K = Ker накрытия . Поэтому множество всех таких автоморфизмов замкнуто и потому является подгруппой группы Ли Aut и, значит, группой Ли. Перенеся эту структуру группы Ли в группу Aut , мы определим последнюю группу как группу Ли.

    Тем самым доказано, что группа автоморфизмов произвольной связной группы Ли является группой Ли. 
 
 
 
 
 
 

    Глава 2. ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ КЛАССИЧЕСКИХ АЛГЕБР 

    §1. Группа автоморфизмов  алгебры комплексных  чисел R (i).

    Как правило, во всех наших алгебрах A будет фиксирован некоторый базис. Поэтому группу ортогональных операторов A A мы можем отождествлять с группой ортогональных матриц. В силу этого отождествления для группы AutA автоморфизмов нормированной алгебры A будет иметь место включение

    AutA, где dim A.

              Более того, поскольку каждый  автоморфизм Ф: AA   однозначно восстанавливается по индуцированному им линейному отображению A A (если , где а A, то Ф), мы можем отождествляя Ф с , считать, что

                        AutA,                                           (1)

          В частности, это  верно при A, когда. Следовательно, поскольку , группа Aut является группой второго порядка , состоящей из тождественного автоморфизма и автоморфизма комплексного сопряжения.

          Для алгебры Ли  Der A (Aut A) дифференцирований алгебры A из включения  (1) следует, что

    Der A,

где алгебра Ли кососимметрических матриц порядка . Поэтому, в частности, Der.

    Впрочем, равенства Aut и Der легко получить и непосредственно. Покажем это

    Базис алгебры R (i): . Общий вид записи числа: z=a + bi, где i²= -1. Найдем матрицу вида:

    

.

    Используя структурные константы алгебры  комплексных чисел, составляем уравнения:

    1) i =1, j=1, , k=1;

    a) s=1; .

    b) s=2; .

    2) i =1, j=2, , k=2;

    a) s=1; .

    b) s=2; .

    3) i =2, j=1, , k=2;

    a) s=1; .

    b) s=2; .

    4) i =2, j=2, , k=1;

    a) s=1; .

    b) s=2; .

    Обозначим = , тогда получим систему уравнений:

    

          Решая полученную систему, получаем:

      

    Значит, группа автоморфизмов алгебры комплексных  чисел записывается матрицей:

    , где t = 1.   

    §2. Группа автоморфизмов  алгебры двойных  чисел 

    R (е).

    Базис алгебры R (е): . Общий вид записи числа: z = a + bе, где е²= 1.

    Проводя аналогичные рассуждения с п.1, будем искать матрицу вида ( ). Для ее нахождения также составляются уравнения, вводится обозначение: = и в итоге получается следующая система уравнений:

    

          Решая эту систему, получаем:

          

          Значит, группа автоморфизмов  алгебры двойных чисел представляется матрицей:

    , где t = 1. 

    §3. Группа автоморфизмов  алгебры дуальных чисел R (ε). 

    Базис алгебры R ( ): . Общий вид записи числа: z=a+b , где ²=0.

    При нахождении группы автоморфизмов алгебры  дуальных чисел получается следующая  система уравнений:

    

      Значит, группа автоморфизмов алгебры дуальных чисел представляется матрицей:

    

, где .

    §4. Группа автоморфизмов тела кватернионов Q 

    Базис алгебры . Общий вид записи числа: , где 1²=1; .

    Группа  автоморфизмов тела кватернионов представляет собой матрицу вида:     

    .

    Составляем  систему из 4³ = 64 уравнений, преобразовывая ее и вводя обозначение:

    

,

получаем  следующую систему уравнений:

    

    Из  полученной системы можно сделать  вывод, что группа автоморфизмов  тела кватернионов представляет собой множество матриц вида:

     , где  - ортогональная матрица. 
 

    §5. Алгебра октав 

    п.1.Понятие октавы

        Неассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего “живого” нет. Среди неассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона. По мере рассмотрения будем давать так же и общие свойства неассоциативных алгебр в целом. Впервые алгебра октав была рассмотрена Кэли он рассматривал нашу алгебру над полем действительных чисел, а Диксон рассмотрел над общим полем поэтому алгебру октав называют алгеброй Кэли- Диксона.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Октавой называется число гиперкомплекс-ной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

     Q₁ + E Q₂

    Здесь обозначены: - октава, Q - кватернионы,  E - мнимая единица . Эта мнимая единица умножается на мнимые единицы кватернионов i, j, k некоммутативно. При умножении на мнимые единицы кватернионов образуются дополнительно три несоставных мнимых единицы.  

    п.2. Таблица Кэли для алгебры октав

    Правило произведения мнимых единиц (1 ,i, j, k, E, I, J ,K) может быть представлено таблицей: