Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп

Рассмотрим теперь произвольную группу G и ее подгруппу H. Группа G действует на множестве смежных классов по подгруппе H умножением справа: (Hg₁)g₂ = H(g₁g₂). Таким образом, существует транзитивное представление φ : G → Sym_G/H. Если H не содержит отличных от единичной нормальных подгрупп группы G, то это представление является точным. В частности, если H = {e} то представление G → Sym_G/{e} = Sym_G всегда является точным и называется регулярным представлением группы G. Таким образом, любую группу можно рассматривать как группу подстановок. Оказывается, любое транзитивное представление группы G можно получить таким образом.

Вывод.

Множество чисел является группой по сложению, если оно замкнуто относительно операций сложения и вычитания, и группой по умножению – если оно замкнуто относительно операций умножения и деления (кроме деления  на ноль).

Свойства групп:

1) в произведении из  n элементов группы скобки можно расставлять произвольно.

2)

3)

4)

5)уравнение ax=b (ya=b) имеет в группе G (*) единственное решение.

6) "a,b,cÎG выполняются законы сокращения a·b=a·cÞb=с (b·a=c·aÞb=c)

Определение 2.8

Непустое множество G(*) называется группой, если: 1) (ассоциативность);

2) уравнение ax=b (ya=b) разрешимы в G однозначны.

 

Теорема2.1

Определения 2.1 и 2.8 эквивалентны.

Определение 2.9

:

1) а¹=а;

2) аⁿ=а*а*…*а(n раз), ;

3) а⁰ ;

4) а^-n=а^-1*а^-1*…*а^-1(nраз), ).

Свойства 2.1

1)a^т× а ^п = а ^т+n = а ^п+т= а  ⁿ×  а ^т,

2) (aⁿ)^m=a^n*m

Замечание 2.1

(aⁿ)^-1=a^-n.

Определение 2.10

Все группы являются подгруппами  групп перестановок, с точностью  до изоморфизма.

G = ρ(G)

Вывод:

В связи с этим, группы возникают как группы симметрии.

Например, рассмотрим правильный треугольник.

 

(рис. 2.1)

Данный пример – группа третьего порядка.

Теперь построим группу из 6-и элементов. На рисунке 2.2 мы видим вписанный шестигранник. Данная группа состоит из 6-и элементов.

 

 

(рис. 2.2)

В свою очередь, существует группа также из 6-и элементов, но полученная путём вращения и симметрического  отображения, относительно биссектрис, правильного треугольника (изображённого на рис. 2.1).

Попробуем доказать, что  данные группы различны. Для этого  построим таблицы. Рассмотрим группу из 6-и элементов (правильный шестиугольник  – рис. 2.2)

 

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

(табл. 2.1)

Из таблицы 2.1 видно, что данная группа коммутативна.

Рассмотрим теперь группу G(▲) (рис. 2.1), состоящую из следующих элементов: Ɛ, δ, δ² τ₁, τ₂ τ₃

Построим таблицу:

+	Ɛ	δ	δ²	τ1	τ2	τ3
Ɛ	Ɛ	δ	δ²	τ1	τ2	τ3
Δ	δ	δ²	Ɛ	τ2	τ3	τ1
δ²	δ²	Ɛ	δ	τ3	τ1	τ2
τ1	τ1	τ3	τ2	Ɛ	δ²	δ
τ2	τ2	τ1	τ3	δ	Ɛ	δ²
τ3	τ3	τ2	τ1	δ²	δ	Ɛ

(табл. 2.2)

Из данной таблицы 2.2 видно, что данная группа не коммутативна, т.е. две группы,  состоящие из одинакового количества элементов, не совпадают.

Пусть G — произвольная группа, H — ее подгруппа и g — произвольный элемент группы G. Множество Hg = {hg | h   H} называется смежным классом (правым смежным классом) элемента g. Введем отношение g₁ ≡ g₂ (mod H) на множестве элементов группы G по правилу:g₁ ≡ g₂ (mod H) в том и только в том случае, если Hg₁ = Hg₂. Использование обозначения, сходного с отношением делимости для целых чисел (см. выше) неслучайно, поскольку отношение делимости является частным случаем равенства смежных классов. Действительно, в качестве группы G берется множество   целых чисел по сложению, а в качестве подгруппы H берется подмножество k  чисел, которые делятся на k. Очевидно, что определенное нами отношение является эквивалентностью, множество классов эквивалентности обозначается через G / H, мощность |G / H| множества классов эквивалентности обозначается еще как |G : H| и называется индексом подгруппы H в группе G. Очевидно, что для любого g   G справедливо |Hg| = |H|, откуда мы сразу получаем важную теорему Лагранжа: |G| = |G : H| · |H|, в частности порядок подгруппы всегда делит порядок группы.

На множестве G / H можно естественным образом определить операцию умножения:Hg₁ · Hg₂ : = Hg₁ · g₂. Для того чтобы определение было корректным, т. е. чтобы выполнялось равенство множеств Hg₁ · Hg₂ = {h₁g₁ · h₂g₂ | h₁, h₂   H} и Hg₁ · g₂ = {hg₁ · g₂ | h   H}, необходимо и достаточно, чтобы для любого g   G выполнялось равенство g^–1Hg = {g^–1hg = h | h   H} = H (это условие мы будем коротко записывать H^G   H). Выражение g^–1Hg называется сопряжением с помощью элемента g и часто обозначается H^g. Выражение gHg^–1 = H^g–1 мы будем записывать ^gH. Подгруппа H, удовлетворяющая условию H^G   H, называется нормальной подгруппой группы G (обозначается H   G), а получившаяся группа G / H называется факторгруппой группы G по подгруппе H. Понятия нормальной подгруппы и факторгруппы являются одними из важнейших в теории групп, поскольку позволяют частично сводить изучение групп к меньшим группам (частично, так как по данным H и G / H группа G определяется неоднозначно). Группа, не содержащая нормальных подгрупп, называется простой.

Очевидно, что пересечение любого количества подгрупп вновь является подгруппой. Это позволяет нам  определить подгруппу, порожденную множеством M, как наименьшую подгруппу, содержащую подмножество M, т. е. пересечение всех подгрупп группы G, содержащих множество M. Подгруппа, порожденная множеством M, будет обозначаться  M . Легко проверить, что  M  является множеством всевозможных произведений элементов из M и обратных к ним. Группа, порожденная одним элементом a называется циклической, а ее порядок | a | : = |a| называется порядком элемента a. Легко проверить, что порядок элемента — это такое наименьшее число n, для которого   равно e. Из теоремы Лагранжа следует, что порядок элемента всегда делит порядок группы.

Определение 2.11

Группа называется циклической, если она порождается одним элементом. Такая группа имеет вид a^m

a^m* aⁿ= a^m+n

причём может получиться a^k=e.

Следствие 1.

В    группе G, отличной от единицы, существует подгруппы тоже не единичные.

_g G

g _e

Следствие 2.

Если группа G имеет простое число элементов, то она циклическая и все эти группы изоморфны. Это согласно теоремы Лагранжа. Т.е. примерами таких групп являются группы, состоящие из 2,3,5,7,11 и т.д. элементов.

 

Глава III.

§1. Подгруппы. Примеры. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Теорема о гомоморфизмах  для групп.

Мы уже знаем определение  гомоморфизма и изоморфизма, исходя из предыдущей главы.

Определение 3.1

Непустое подмножество Н  группы G(*)называется  подгруппой группы G,если Н является группой относительно операции(*).

Теорема 3.1.

Ø подмножество Н гр. G является подгруппой группы G ó выполняется =>условие: 1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H;

2) h Hh^-1 H.

Теорема 3.2.

Ø подмножество Н гр. G является подгруппой гр. Góдля элементов выполняется условие 3) h₁,h₂ H, h₁· H.

Доказательство на основе Т. 3.1.:

Дано:

Ø=H G(·), G – группа, Н подгруппа группы G.

Доказать:

1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H. 2) h H, h^-1 H.

Решение:

Из того что Н подгруппа  группы G(·) =>H(·)-группа => 1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H. 2) h H, h^-1 H | h·h^-1 H.

Обратное утверждение:

Дано:

Ø≠H G(·), G – группа, Н подгруппа группы G, 1) h₁,h₂ H, h₁·h₂ H. 2) h H, h^-1 H.

Доказать:    H(·)-подгруппа.

Решение:

Чтобы показать на основе определения, что Н является подгруппой:

1) =>H(·)-группоид;

2) h₁,h₂,h₃ H => (H G) h₁,h₂,h₃ G => (h₁·h₂)·h₃=h₁(h₂·h₃) =>H(·) – полугруппа;

3) По п. 2 из условия  получаем: h H, h^-1 H =>h·h^-1 H =>e H (e-единственный элемент). e H | h H, h·e=e·h=h;

4) По условию 2, h H h^-1 H =>hh^-1 G =>hh^-1 e. Т.о. h H h^-1 H | hh^-1=e. Т.о. Н-группа

Ø≠H G(·)  =>H(·) – подгруппа группы G.

Ко 2ой теоремы: h₂ H ≤H

h₁ H        =>h₁· H.

Одним из важнейших примеров подгрупп является  понятие циклической  подгруппы группы G.

Пусть а произвольный элемент  гр. G. Обозначим через (а) множество всех H<G (Н подгруппа группы G).

Теорема 3.3

(а)<G.

Доказательство.

1) a^m, aⁿ (a)   a^m·aⁿ=a^m+n (a) замкнуто относительно операции сложения.

m, n z =>m+n z. (a) – группоид;

2) Показать обратный элемент.  a^m (a)

m z=>-m z     =>a^-m (a)

a^m·aⁿ=a^m+(-m)=a⁰=e.   На основе Т. 3.1. (a)<G.

Определение 3.2

Множество (а) всех целых  степенней элементов группы G называют циклической подгруппой группы G.

Примеры:

1. Множество Q^*(·) – коммутативные группы  Q^*=Q\{0}. 2 Q(2)={2ⁿ|n z} = {… , 1, 2, 4, …}

(2)<Q^*. Этот пример ∞ подгруппы.

2. С^*(·) – коммутативные группы. Выберем элемент: i C^*, тогда (i)={iⁿ|n z}={i, 1, 1, i} либо {1, i, -1, -i}

i¹=i          n=4k         i^4k=(i⁴)^k=1

i²=-1        n=4k+1     i^4k+1=i^4k·i=i

i³=-1        n=4k+2     i^4k+2=i^4k·i²=-1

i⁴=1         n=4k+3     i^4k+3=i^4k·i³=-i         (i)-{i, -1, 1, i}, 1=i⁰

i⁵=i n z(i)<С^* (пример конечной подгруппы).

 

§2. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Определение 3.3

Отображение φ гр. G(·) в G( ) называют гомоморфным, если для элементов a,b Gφ(a·b)=φ(a) φ(b).

a,b G, φ(a·b)=φ(a) φ(b)

т.е. образ произведения равен  произведению образов.

 

Определение 3.4

Отображение φ гр. G в G΄называют гомоморфным отображением, если выполняется условие (1) и выполняется условие (2) для элемента G΄или группу G΄ a G | φ(a)=a΄(2). φ называют изоморфным, если выполняется условие 1, 2 ( a G΄ a G | φ(a)=a΄) и условие (3) a,b G, φ(a)=φ(b)=>a=b(3). [a≠b=>φ(a)≠φ(b)]

Примеры:

С*(·)-группа ненулевых комплексных  чисел; R₊(·)-группа  положительных действительных чисел.

Построим отображение  С по =>правилу φ:С^*→R₊

α=a+bi,  φ(α)= R₊β=c+di,

φ(β)= R₊α·β = (ac-bd)+(ad+bc)i

φ(α·β)= =φ(α)·φ(β).

φ-гомоморфизм. ЗначитR⁺(·) - группа.

Свойства  гомоморфизмов:

Пусть φ-гомоморфизм группы G в группе G΄ (φ:G→G΄). Будем рассматривать группы по умножению:

1) Отображение φ переводит единственный элемент группы G в единственный элемент группы G΄.

Доказательство.

Пусть а G, тогда а·е=а. φ(а)=φ(а·е)=φ(а)*φ(е), т.о. =а΄·φ(е^*). Т.о. а΄·φ(е)=а΄ (1), a΄ Gа΄·е΄=d (2). Учитывая, что е΄- группа и единственность единого элемента в группе, делаем вывод: φ(е)=е΄.

2) Для a G (φ(-а)=-φ(а)), т.е. образ обратного элемента = элементу обратному образу, (либо φ(а)^-1)=(φ(а)^-1).

Определение 3.5

Пусть G(·) и G( ) группы. φ:G®G΄ гомоморфизм.

Определение 3.6

Ядром гомоморфизма φ называют множество всех прообразов нейтрального элемента группы G΄данного гомоморфизма.

Определение 3.7

Группа G(·) называется изоморфной группой G( ), если изоморфное отображение 1-й группы во 2-ю. G@G΄.

3) φ(G) является подгруппой группы G΄.

Теорема 3.4

Каждая инвариантная подгруппа является ядром.

Доказательство.

H = Ker(φ)

φ:G® G/H

G^ν®C/H, где g® gH

Ker ν_n=H

Замечание 3.1

Не любая подгруппа инвариантна.

Рассмотрим пример:

Возьмём группу S₃ = G(▲), рассмотрим её подгруппы:

{e, δ, δ²}

{e, τ₁}

{e, τ₂}

{ e, τ₃}

δ τ₁ τ₁ δ

δ  τ₁ δ τ₁  - не инвариантна

ч.т.д.

Определение 3.8

Группа называется абелевой, если она коммутативна.

_{в абелевых группах  все подгруппы  инвариантны.}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод

В нашей работе мы преследовали цель изучить группы малых порядков и абелевы группы.

Предметом  исследования в нашей работе являлись группы малых порядков,  абелевы группы и их свойства.

Нами  были  изучены  и проанализированы  работы  известных  учёных математиков и топологов.

Исследованиями  в   данной области занимались: Гердт И.В., Куликов А.И., Александров П. С.

Таким образом, анализ литературы проводился на основе книг, учебных  пособий, публикаций из газет и журналов.

Объектом исследования являлись  гомоморфизмы и изоморфизмы групп и алгоритм построения групп малых порядков.

В ходе научного исследования мы  рассмотрели понятие группы, примеры групп, их простейшие свойства

Основными результатами работы можно считать  следующие:

1.Изучение  темы в научно-методической  литературе.

2.Описание истории возникновения  теории групп.

3.Описание  абелевых групп.

4.Характеристика групп гомоморфизмов  и изоморфизмов.

 

 

 

Литература.

1. Александров П. С. Введение в теорию групп. - М.: Наука, 1980.
2. Власова Л.И. Об определяемости групп группами гомоморфизмов . Вестник МГУ. Математика, механика. – 1979.
3. Гердт И.В. Малые абелевы группы . Фундамент, и прикл. мат. - 2007.
4. Гриншпон Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп . Изв. вузов. Математика. - 1998.
5. Завало С. Т., Костарчук В. Н., Хацет Б. И. Алгебра и теория чисел. Ч. 2. - Киев: Вища школа. Головное издательство, 1980.
6. Иванов А.В. Прямые суммы и полные прямые суммы абелевых групп . Абелевы группы и модули. Томск, 1980.
7. Коргалеев М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, - М.: Наука, 1983..
8. Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М., 1977.
9. Куликов А.И. Алгебра и начала анализа. –М., 1996.
10. Куратовский К. Теория множеств . К. Куратовский, А. Мостовский. - М.: Мир, 1970.
11. Крылов П.А. Об абелевых группах без кручения . Абелевы группы и модули. Томск, 1980.
12. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. - М.: Наука, 1977.
13. Маркушевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М.: Наука, 1979..: Факториал, 1997.
14. Мишина А.П. Абелевы группы . Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. - М.: ВИНИТИ, 1967.
15. Себельдин A.M. О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения . Абелевы группы и модули. Томск, 1976.
16. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы . - М.: Мир, 1974.