Оглавление

Введение 2

Теоретические положения 3

2. Задачи 5

2.1 Задачи, связанные с физическим смыслом производной. 5

2.2 Задачи, связанные с геометрическим смыслом производной . 7

Заключение 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                  

  

Введение

Изучая тему «Производная»  в курсе алгебры и начала анализа, мы имели возможность убедиться  в том, что она имеет большое  прикладное значение. Тема используется при исследовании функций и построение графиков, при решении задач на максимум и минимум, при изучении тем «Интеграл», «Дифференциальные, уравнения».

В своей работе я  хочу остановиться более подробно на задачах, решение которых ведется  с помощью понятий: физический смысл  производной; геометрический смысл  производной.

Целью моей работы является актуализация знаний по теме «Производная»  с тем, чтобы наиболее качественно  подготовится к экзамену по математике за курс средней школы, а также  к дальнейшему обучению на экономическом  факультете УРГСХА.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                        Теоретические положения

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и

пусть x – произвольная точка этой окрестности. Если отношение

имеет предел при x®x0, то этот предел называется производной функции f в точке .

Физический смысл производной

Физический смысл  производной второго порядка  проясняется из того, что если первая производная f’(x) задаёт мгновенную скорость изменения значений f(x) в момент времени x в момент времени f’(x), задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений f(x).

Геометрический  смысл производной – производная от данной функции f(x) при данном значении x0 аргумента равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в соответствующей точке.

Уравнение касательной

Пусть дана функция  f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f(x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f(x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной. Уравнение касательной к графику функции

 Y=

Формулы дифференцирования  основных функций:

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Основные правила  дифференцирования

Пусть  , тогда: 

 

А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику  тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).

Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f(x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f(x0) — значение самой функции.

2. Задачи

2.1 Задачи, связанные с физическим смыслом производной.

 №1   Точка движется по  координатной прямой согласно закону

X (t) = . В какой момент времени скорость точки будет равна 9?

Решение:

Мы знаем, что скорость точки равна производной  функции x(t)= .По условию задачи.

(t) = (t) = =8t – 3 т. к (t)=9, то имеем уравнение

8t-3=9

8t=12|/8

T=1.5 (с)

Ответ: скорость точки будет равна 9 в 1,5 секунды.

№2  Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)=. Вычислите ускорение точки в момент времени t=2 c.

Решение:

Мы знаем, что ускорение есть вторая производная  функции x(t)=,

X (t)==

(t)= = 12 t- 10

Итак,  a=(t) = 12t-10 , находим a(2c)=12*2-10=14м/с.

Ответ: ускорение  точки в момент времени t=2 равно 14м/с.

№3     Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)=. В какой момент времени ускорение точки будет равна 6?

Решение :

Мы знаем, что ускорение есть вторая производная  функции x(t)=

 (t) =3 (t)

(t)= ( (t)) = (=6t-6=a(t)

Итак a(t)=6t-6 по условию задачи оно равно 6, следовательно решаем уравнение .

6t-6=6

6t=12

T=2

Ответ: a=6м/с при t=2с

№4           Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)=-+9t. В какой момент времени скорость точки будет минимальна?

Решение:

Найдем производную  функции  == -12t+9

 Итак, (t)=-12t+9. Найдем производную скорости.

  (t)== 6t-12

Решим уравнение  (t)=0

6t-12=0

6t=12/6

T=2 (стационарная точка функции) (t) определить вид экстремума

(1)=6*1-12=-6<0

На интервале (0;+) функция имеет только одну стационарную точку и это точка минимума, следовательно, именно в ней функция принимает наименьшее значение.

Ответ: скорость точки будет минимальна при t=2с

2.2 Задачи, связанные с геометрическим смыслом производной .

№1. Написать уравнение касательной к графику функции

y = в точке графика с абсциссой x=.

Решение:

Находим производную  функции

= = =

1. y(=- Cos2 =- Cos=1+1-1=1
2. ()=+2 =22*1-2=2
3. Подставляем найденные значения в уравнение касательной

Y= получим,

Y=1+2(x

Y=1+2x-1

Y=2x

Ответ: y=2x

№2  Напишите уравнение касательной к графику функции y = ln (2x-1)+Sin -2

В точке  графика с абсциссой x=1

Решение:  

Y= ln(2x-1)+Sin -2

=1

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной

Y=

Y=-1+2(x-1)

Y=-1+2x-2

Y=2x-3

Ответ: Y=2x-3

№3    Напишите уравнение касательной к графику функции , параллельно прямой y=2x+7

Решение:

В этой задаче не дано значит мы должны найти. Геометрический, смысл производной состоит в том, что значение производной в точке – есть угловой коэффициент касательной. А т.к касательная должна быть параллельно прямой  y=2x+7, это =2

Найдем:

==

 

 

 

 

 

  , следовательно подставляем найденные значения в уравнение.

 

 

 

 

Ответ:

 № 4    В каких точках графика функции

Касательная к этому  графику образует с положительным направление оси Ox угол?

Решение:  Найдем производную функции.

 

 

Мы знаем, что 

, следовательно

 

Решим уравнение 

 

 

 

 

 

Ответ:

№5  Напишите уравнение касательной к графику функции в точке ее минимума.

Решение: Найдем точку  min функции

 

Найдем стационарные точки функции решив уравнение

  =0

 

 

-

 

     

                   

                      X=0 стационарная точка  
 

(1)=4*ln4-*ln2=4*ln4-4*ln2