Во  время описанного процесса, начиная  с r = 13.92 у системы Лоренца появляется предельное инвариантное множество, но до r = r₀ оно не является устойчивым, т. е. не притягивает к себе траектории. При r ∈ (r₀,50] это множество Λ становится "устойчивым". Это и есть собственно аттрактор Лоренца. Представление о том как он выглядит может дать рис. 10, на котором изображена одна траектория системы Лоренца при r = 28: при t→ +∞ она стремится к аттрактору. Траектория делает по несколько оборотов то вокруг неустойчивой стационарной точки X₁, то вокруг неустойчивой стационарной точки X₂, меняя их "случайным образом" (см. рис. 3).

     Известно, что аттрактор Лоренца обладает следующими свойствами (обоснование этих свойств к настоящему моменту содержит эмпирические этапы, основанные на результатах численных расчетов).

     Во-первых, Λ является аттрактором в том смысле, что существует открытое в R³ множество A такое, что Λ = ∩_t≥0 g^tA (здесь g^t — оператор сдвига по траекториям системы Лоренца). Другими словами, все траектории, начинающиеся в A (в данном случае в качестве A можно взять все R³, исключая начало координат), притягиваются к Λ.

     Во-вторых, в Λ имеется всюду плотное  множество периодических траекторий, причем каждая из них неустойчива.

     В-третьих, траектории, лежащие в Λ, экспоненциально  разбегаются и поэтому при  сколь угодно малом возмущении начальных  данных в задаче Коши для системы Лоренца решения на большом интервале времени могут различаться очень сильно. Это делает описываемый системой Лоренца процесс в некотором смысле недетерминированным.

В-четвертых, известно, что локально аттрактор Лоренца устроен как произведение канторова совершенного множества на отрезок.

Аттракторы, обладающие перечисленными свойствами, обнаружены сейчас во многих динамических системах. Их обычно называют странными аттракторами.

     С тем, что происходит в системе Лоренца при больших r ясности пока нет. В некоторых интервалах изменения параметра обнаружены устойчивые периодические решения. Интересное явление наблюдается при r ∈ [210, 234] и r ∈ [145, 149]. При r = 234 система Лоренца имеет устойчивый цикл, который при уменьшении rиспытывает бифуркацию удвоения периода, теряя устойчивость и порождая устойчивый цикл двойного периода. При дальнейшем уменьшении r новый цикл также теряет устойчивость и от него, в свою очередь, ответвляется цикл двойного периода и т. д. Таким образом, возникает бесконечная последовательность {r_k} значений параметра, при котором система Лоренца испытывает бифуркацию удвоения периода. Эта последовательность удовлетворяет недавно открытому закону универсальности Фейгенбаума:

где δ = 4.6692... — универсальная постоянная, которая, по современным представлениям, по-видимому, не зависит от конкретной динамической системы, испытывающей бесконечную  последовательность бифуркаций удвоения периода.

 

Хаотические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

     Оптимальным вариантом для решения дифференциальных уравнений являются численные методы. Наиболее распространенные из них – метод Эйлера и метод Рунге — Кутты.

     Метод Эйлера — наиболее простой численный  метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые  описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым  методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

     Формально, методом Рунге — Кутта является модифицированный и исправленный метод  Эйлера, они представляют собой схемы  второго порядка точности. Наиболее часто используется и реализована  в различных математических пакетах  стандартная схема четвёртого порядка.

     На  данный момент идет разработка генератора хаоса на микроконтроллере, используя  численное решение диф.уравнений. Планируется использовать его для шифрования данных. 

Описание метода Эйлера

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

 где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале (x₀,b]. На этом интервале введем узлы

Приближенное  решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле

Эти формулы  обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности

     Метод Эйлера является методом первого  порядка. Если функция f непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной y в D, то имеет место следующая оценка погрешности

где h — средний шаг, то есть существует C > 0 такая, что .

     Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для  обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение метода Эйлера

     Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем. 

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

     Вычисления  по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.

Прогноз:   .

Коррекция:   .

     Модифицированный  метод Эйлера с пересчетом имеет  второй порядок точности, однако для  его реализации необходимо дважды вычислять  правую часть функции. Заметим, что  метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор). 

Классический метод Рунге — Кутты 4 порядка

Метод Рунге — Кутты 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Рассмотрим  задачу Коши

     Тогда приближенное значение в последующих  точках вычисляется по итерационной формуле:

где h — величина шага сетки по x. Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

     Этот  метод имеет четвёртый порядок  точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h⁴) (ошибка на каждом шаге порядка O(h⁵)).

Прямые методы Рунге — Кутты

     Семейство прямых методов Рунге — Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты 4 порядка. Оно задаётся формулами

где h — величина шага сетки по x и вычисление нового значения проходит в s этапов:

Конкретный  метод определяется числом s и коэффициентами b_i,a_ij и c_i. Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу

     Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия для . Если требуется, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие

где  — приближение, полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.

     Метод Ру́нге — Ку́тты непосредственно обобщается на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений путём записи системы и метода в векторной форме.

Пример программы

y" + 4y = cos(3x) | y(0) = 0.8, y'(0) = 2, x = [0,1], h = 0.1

y" = cos(3x) - 4y

замена y'=z

получаем  систему y' = z = g(x,y,z)

z' = cos(3x) - 4y = f(x,y,z) 

Литература

1. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. - М.: Наука, 1992, 541 с.
2. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе.- М.: Меркурий Пресс, 2000, 366с.
3. Кузнецов С.П. Динамический хаос.- М.: Физматлит, 2001, 296с.
4. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990, 272с.
5. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики.- М.: УРСС, 2004, 318с.
6. Магницкий Н.А. Современные методы анализа нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: ВМК МГУ, 2004, 112с.
7. Магницкий Н.А. Хаотическая динамика нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: МАКС Пресс, 2006, 156с.
8. Магницкий Н.А. Методическое пособие по курсу «Основы хаотической динамики». - М: ЛЕНАНД, 2007, 48с.
9. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений – М.: ИЛ, 1958, 474с.
10. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. - М.: Мир, 1989, 240с.
11. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: УРСС, 2002, 360с.
12. Введение в численные методы http://www-sbras.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/ode_unicode/