Бифуркации

     К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних  выделяют бифуркации, что изучает  теория бифуркаций.

     Бифуркация (от лат. Bifurcus — раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.

     Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств  системы, т.н. катастрофический скачок. Момент прыжка (раздвоение при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.

     Хаос  может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение:

Xn+1=CXn-С(Хn)2,

где С — внешний параметр. Откуда вывод, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Пример. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. 
Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn +1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Ущерб животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом С(Хn)².

     Результатом расчетов являются следующие выводы:

При С<1 популяция с ростом n вымирает;

В области  1<С<3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0=1-1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C=3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная;

     В диапазоне 3 <С <3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих областях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;

При C> 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы  становится хаотическим. Отсюда вывод — заключительным состоянием физических систем, эволюционируют, является состояние динамического хаоса.

Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке. 
 

 
 
Рисунок 1 — Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения

Xn+1=CXn-С(Хn)² 
 
 Динамические переменные Xn принимают значения, сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

     Таким образом, состояние системы в  момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие  может привести к выбору дальнейшего  пути движения, а это, как мы уже  знаем, является главным признаком  хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий). 
Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «Дерево Фейгенбаума».

     

 
 
Рисунок 2 - Дерево Фейгенбаума (расчет на основе измененной лог. формулы)

        Обозначим через значение параметра, при которых происходили удвоения периода. В 1971 г. американский ученый М. Фейгенбаум установил любопытную закономерность: последовательность образует возрастающую последовательность, быстро сходится с точкой накопления 3,5699… Разница значений, соответствующих двум последовательным бифуркация, уменьшается каждый раз примерно с одинаковым коэффициентом:

 

 
 
Знаменатель прогрессии =4,6692 теперь называется постоянной Фейгенбаума.

 
  Что же такое бифуркации в обыденности. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин.

     С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

Странный  аттрактор

     Система уравнений Лоренца — это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка вида

     В ней σ, b и r — параметры. Эта система возникла в задаче о моделировании конвективного течения жидкости, подогреваемой снизу. Такое течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Система (1) получается из нее проектированием на специальное трехмерное подпространство.

     В результате численного интегрирования системы (1) Э. Лоренц обнаружил, что при σ = 10, b = 8/3 и r = 28 у этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий (см. рис. 3, на котором изображена зависимость координаты x₂ одной из траекторий от времени), а, с другой стороны, все траектории притягиваются при t → +∞ к некоторому сложно устроенному множеству — аттрактору (от англ. to attract — притягивать, привлекать).

 
Рис. 3.

     Такое поведение решений ассоциируется  с так называемыми турбулентными (беспорядочными, хаотическими) течениями жидкости. Это породило надежды на продвижение в одной из важнейших проблем современной гидро- и аэродинамики — проблеме описания турбулентности. В частности, этим объясняется бурный интерес ученых к этой системе. К настоящему времени ответ на вопрос: имеет ли отношение к турбулентности система Лоренца и ее аналоги не известен. Хотя здесь есть масса доводов как pro, так и contra.

     Мы  попытаемся описать имеющиеся представления  о появлении и структуре аттрактора в системе Лоренца. Зафиксируем в (1) σ = 10, b = 8/3 и будем увеличивать r, начиная с нуля.

     При r < 1 система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку — начало координат. К ней притягиваются все траектории (см. рис. 4). Здесь же отметим, что начальная стадия нашего анализа (вплоть до рис. 6) элементарна и читатель может проделать ее сам. Когда r переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки.

и

     У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (см. рис. 5). У линеаризованных в точках X₁ и X₂ систем все собственные значения отрицательны.

     При возрастании параметра r пара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усы G₁ и G₂ нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек X₁ и X₂, соответственно (см. рис. 6).

     С дальнейшим ростом r стационарные точки X₁ и X₂ поднимаются выше (они лежат в плоскости x₃ = r – 1), а спиралевидные траектории "разбухают". Это происходит до тех пор, пока при r ≈ 13.92 (это значение можно найти только численно) спирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории Γ₁ и Γ₂ (см. рис. 7).

     При возрастании r в этот момент происходит бифуркация гомоклинических траекторий с образованием двух неустойчивых циклов Φ₁ и Φ₂ (см. рис. 8. ). Линейные части операторов последования, отвечающих этим циклам, имеют по одному мультипликатору большему единицы и по одному — меньшему единицы, и следовательно, по одному направлению траектории к этим циклам притягиваются, а по другому — отталкиваются. Выходящие усы G₁ и G₂ нулевой стационарной точки теперь уже не попадают на ее входящий ус (см. рис. 8) — они попадают в области притяжения стационарных точек X₂ и X₁, соответственно (а не X₁ и X₂, как было раньше) и закручиваются около них.

     При r ≈ 24.06 происходит очередная бифуркация и G₁ и G₂ попадают на притягивающие многообразия (неустойчивых) циклов Φ₂ и Φ₁ (см. рис. 9). Следующая бифуркация происходит при r = r₀ = σ(σ + b + 3)/(σ – b – 1) ≈ 24.74. В этот момент у линеаризованных в точках X₁ и X₂ систем появляется пара собственных значений на мнимой оси (при r > r₀ эти собственные значения имеют положительные вещественные части). Стационарные точки X₁ и X₂ поглощают неустойчивые циклы Φ₁ и Φ₂, теряя устойчивость (бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа). Система жестко возбуждается.