Абсолютные и относительные погрешности

sin 0,8 =0,72 ±0,04.

1.7. Способы приближенных вычислений

1.7.1.              Систематический учет границ погрешностей

Этот метод предусматривает поэтапный подсчет границ погрешностей всех промежуточных и окончательного результатов по правилам вычисления погрешностей, рассмотренным в предыдущих пунктах.

Пример 1.12. Произвести учет границ абсолютных погрешностей вычислений по формуле

                                                                                                  (1.22)

для приближенных значений х = 3,91 и у = 0,826, у которых все цифры верны в строгом смысле.

Промежуточные результаты, и их погрешности, будем заносить в специальную расчетную таблицу.

Расчетная таблица составляется по виду формулы (табл.1.1). В таблицу вносятся исходные данные: х, у, х, ( и определяются из условия, что у приближенных значений х и у все цифры верны в строгом смысле).

Все предусмотренные формулой вычисления выполняются с параллельным учетом погрешностей. Величины погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр.

С помощью калькулятора получаем: = 1,9773719; далее с учетом формулы (1.16) имеем:

= 0,0012643, т.е.

= 0,0013. Судя по величине погрешности, в полученном значении в строгом смысле верны 3 знака. Округляем это значение до одной запасной цифры: 1,977 (запасная цифра выделена) и вносим его в таблицу. Вслед за этим вычисляется полная погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0013+0,0004 = 0,0017), которая также вносится в таблицу[1]. Все последующие вычисления выполняются аналогично с применением соответствующих формул для погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной цифры, а также округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем:

z=1,69 ±0,01.

1.7.2.              Правила подсчета цифр

При вычислениях этим методом составляется обычная расчетная таблица (см. табл. 1.2). Явного учета погрешностей не ведется; правила подсчета цифр указывают лишь, как нужно вести промежуточные округления, чтобы получить относительно достоверный окончательный результат. Ниже приводятся эти правила.

Таблица 1.2

1.              При сложении и  вычитании двух приближенных чисел следует округлить число с меньшей абсолютной погрешностью (для десятичных дробей — с большим количеством знаков после запятой) так, чтобы в нем осталось на один-два разряда больше, чем в менее точном числе. В результате считать верными  столько десятичных знаков  после  запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков после запятой.

При последовательном сложении и вычитании нескольких приближенных чисел рекомендуется производить действия над числами в порядке возрастания их абсолютных величин (это приведет к меньшей абсолютной погрешности результата).

2.              При умножении и делении двух   приближенных   чисел нужно округлить  число с большим   количеством   значащих цифр так, чтобы в нем было лишь на одну значащую цифру больше, чем в другом числе.

В результате считать верными столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом значащих цифр.

3.              В значениях элементарных функций от приближенных значений аргумента (включая возведение в степень, извлечение корней и др.) в результате можно считать верными столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет значение аргумента.

Уровень достоверности этого правила полезно соотносить со следующим наглядно-интуитивным соображением. Более благоприятным оказывается случай, когда вблизи значения аргумента модуль производной функции меньше единицы (колебания значений функции  меньше соответствующих колебаний аргумента — рис. 2а); менее надежен результат, если функция изменяется быстро (малым колебаниям аргумента соответствуют большие колебания функции — рис. 26).

4.              При записи промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют правила 1—3. В окончательном результате эта запасная цифра округляется.

Применяя правила подсчета цифр, не следует придавать им абсолютного смысла (получаемые в результате применения этих правил одна-две последние «верные» цифры на самом деле могут оказаться сомнительными). Между тем практическая надежность этих правил достаточно высока в результате значительной вероятности взаимопогашения ошибок, не учитываемой при строгом подсчете границ погрешностей.

Рис.2

1.7.3. Метод границ

Этот метод применяется когда не важно получение наиболее близкого к истинному самого значение вычисляемой  величины,  а важно  иметь  абсолютно гарантированные границы ее возможных значений.

Пусть u = f(x, у)—функция, непрерывная и монотонная в своей области определения по каждому из аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, в), где а и в — приближенные значения аргументов, причем совершенно достоверно известно, что

.                                                                                    (1.23)

Здесь НГ, ВГ — обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Нужно найти строгие границы значения f(а, в) при известных границах значений а и в.

Если функция f возрастает по аргументам х и у. Тогда .

Если f возрастает по х и убывает по у. Тогда                  .

Указанный принцип особенно очевиден для основных арифметических действий. Пусть, например, f(x, у)=.х+у. Тогда очевидно, что   .                            (1.24)

для функции f(x, y)=x-у  имеем          ,                                          (1.25)

Аналогично для умножения и деления:

,                                                                      (1.26)

.                                                                      (1.27)

Рассмотренный подход можно применить к выражению с любым числом действий. Например, применяя метод границ для формулы из нашего примера, можно написать:

                                          (1.28)

Рассмотрим таблицу. При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчета цифр с одним исключительно важным дополнением: округление нижних границ производится методом отбрасывания (округление «с недостатком»), а при округлении верхних границ последняя сохраняемая цифра всегда увеличивается на единицу (округление «с избытком»). Окончательные результаты округляются по этому же правилу до последней верной цифры.

Таблица 1.3

В таблице (1.3) приведены вычисления по формуле (1.22) методом границ. Нижняя и верхняя границы для исходных данных х = 3,91 и у = 0,826 получены из условия, что все их цифры верны в строгом смысле с учетом формулы (1.3).

Способ границ связан с систематическим учетом границ погрешностей (п. 1.7.1) следующим образом. Пусть X— точное значение некоторой величины, x — его приближенное значение с известными границами НГ и ВГ .

Примем х равным значению тогда абсолютная погрешность этого приближения (см. рис. 3) будет заведомо не больше, чем полуразность .

Так, то результатам вычислений в табл. 1.3 получаем:

, ,

что дает:   .

[1] Следует иметь в виду, что возможны случаи, когда полученная таким путём полная погрешность может привести к уменьшению количества верных цифр в промежуточном результате и повлечь его корректировку.