Абсолютные и относительные погрешности

1.2.              Абсолютные и относительные погрешности

Пусть X — истинное значение некоторой величины, а х — ее известное приближение. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения определяется разностью X-х. Обычно знак этой ошибки не имеет определяющего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:

                                                                                                                (1.1)

Величина называется абсолютной погрешностью приближенного значения х.

Во многих случаях число X неизвестно и абсолютная погрешность не может быть вычислена по формуле (1.1). Однако наряду с приближенным значением х вычислителю обычно бывает известна верхняя оценка абсолютной величины ошибки, т.е. такое (по возможности наименьшее) число  х, для которого справедливо

                                                                                                                (1.2)

Число ∆x в этом случае называют границей абсолютной погрешности (или предельной абсолютной погрешностью) приближения х.

Таким образом, граница абсолютной погрешности приближенного числа х — это всякое число  x, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Пример 1.1. Возьмем в качестве приближенного значения числа  =3,141592... рациональное число  =3,14. Тогда ошибка приближения          представляет собой бесконечную дробь, малопригодную для практического использования. За границу абсолютной погрешности приближения   можно, например, принять число   =0,002.

Неравенство (1.2) позволяет установить приближения к X по недостатку и по избытку

                            или                                                                       (1.4)

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки к значению X (когда оно неизвестно—к приближению х).

Границей относительной погрешности  приближенного числа х называется отношение предельной абсолютной погрешности  к модулю значения х:

                                                                                                                (1.5)

Формула (1.5) позволяет при необходимости находить абсолютную ошибку через относительную:

                                                                                                                (1.6)

1.3.              Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра. .

Пример 1.2. а) Пусть a=2,91385, а =0,0097; в числе а верны цифры 2, 9, 1;

б) возьмем в качестве приближения к числу  =3,141592... число  =3,142. Тогда  (см.рис. 1)

||<0,001 = , откуда следует, что в приближенном значении  =3,142 все цифры являются верными. 

Рис. 1

Если теперь условиться записывать приближенные данные только верными цифрами, то тогда по одной только записи числа в виде десятичной дроби можно будет судить о точности этого числа. Пусть, к примеру, записано приближение а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, стоящая в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять  =0,001, т. е.

а=16,784±0,001.

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Учитывая приведенное выше соглашение о записи приближенных данных, можно сказать короче: значащими цифрами числа являются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1.3. а) 0,2409 — четыре значащие цифры; б) 24.09 — четыре значащие цифры; в) 100,070 — шесть значащих цифр.

1.4. Округление чисел

— это замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр. При этом возникает погрешность округления.

В ручных вычислениях, в том числе при расчетах на ЭКВМ в пределах ее разрядной сетки, используется способ симметричного округления, приводящий к меньшей величине ошибки округления, которое производится по следующим правилам:

1.              Если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5,то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения.

2.              Если первая слева из отбрасываемых цифр больше 5,то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

3.              Если первая  слева   из   отбрасываемых  цифр равна 5, и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

  4.  Если первая слева из отбрасываемых цифр равна 5, а остальные отбрасываемые цифры — нули, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная, и остается без  изменения, если она  четная   (правило четной цифры).

Пример 1.5.    Округлить   до   десятых:    1)  137,347137,3;  2)   248,961249,0; 3)   301,852301,9; 4)   286,350286,4;   5)286,45286,4.

Абсолютная погрешность числа , полученного в результате округления приближенного значения x, складывается из абсолютной погрешности первоначального числа x и погрешности округления.

Пример 1.6. Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны. Округлим а до сотых:=16,40. Погрешность округления =0,005. Для нахождения полной погрешности нужно сложить с погрешностью исходного значения а, которая находится из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, = + =0,001+0,005=0,006.

Из правил симметричного округления следует, что погрешность округления не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда. В этом случае на понятие «верная цифра» накладывают более сильное требование.

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходят половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример 1.7. Пусть, в приближенном значении а = 10,93 все цифры верны в строгом смысле. Это означает, что можно принять = 0,005.

1.5.              Ошибки арифметических действий

Рассмотрим формулы для учета распространения ошибок исходных данных на результат при выполнения основных арифметических действий.

1.5.1.              Сложение и вычитание

Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных значений не превышает суммы абсолютных погрешностей этих значений.

Действительно S=X+X — сумма точных чисел, среди которых могут быть как положительные, так и отрицательные, a s=x+x— сумма их приближений. Составим разность:

S-s=(X-x)+(X-x), или, переходя к модулям:   |S-s||X-x|+|X-x|,

т. е.   или, тем более:  

Отсюда следует, что можно принять:

,                                                                                                  (1.7)

т. е. границей абсолютной погрешности алгебраической суммы можно считать сумму границ абсолютных погрешностей слагаемых.

Пример 1.8. С помощью ЭКВМ найдем сумму приближенных значений: 0.348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0.0849; 0,0214; 0,000354, у каждого из которых все цифры являются верными. С учетом принудительного округления получается результат: s = 602,25805. Для оценки его точности вычислив сумму погрешностей слагаемых:

.

Величина ошибки суммы показывает, что в результате уже первый знак после запятой является сомнительным. Округляя результат до одной запасной цифры, получим =602.3; при этом 0,042. Полная погрешность 0,222+0,042=0,264<0,3. Окончательный ответ: 602,3±0,3.

Из рассмотренного примера следуют поучительные выводы:

1) получение на ЭКВМ результата с большим числом значащих цифр еще не означает, что все эти цифры верны (этот вывод полностью распространяется и на ЭВМ, которые могут печатать числовые данные с еще более внушительным количеством цифр);

2) с целью экономии временя целесообразно «уравнивать» точность данных путем округления более точных до точности менее точных (с одной-двумя «запасными» цифрами); так, в рассмотренном примере, учитывая точность данных 345,4 и 235,2, все остальные значения перед набором на клавиатуре ЭКВМ следовало бы округлять до сотых; при таком подходе сразу же обнаруживается, что последнее данное вообще не влияет на результат.

Рассмотрим сумму s=x+x, где приближения x и xимеют одинаковый знак; пусть для определенности x, x> 0. Тогда граница относительной погрешности суммы

                                                                                    (1.8)

Но (i=1,2). Подставляя полученные выражения в (1.8), имеем:

.                                                                      (1.9)

Пусть . Тогда из (1.9) следует, что граница относительной погрешности суммы s не превышает наибольшей из границ относительных погрешностей слагаемых.

Заметим, что, рассматривая разность , вместо (1.8) получим:

                                                                                    (1.10)

Из (1.10) следует вывод: если вычитаемые числа почти одинаковы, то даже при условии, что их собственные ошибки малы, относительная ошибка разности может оказаться большой. Это означает, что, выбирая порядок вычислений, нужно исключать вычитание близких по величине чисел.

1.5.2. Умножение и деление

Пусть — произведение двух приближений, — их частное. Знаки x и x не влияют на величину ошибки, поэтому для простоты примем x, x> 0. Имеем:

ln p=ln+ln, ln q= ln-ln.

Принимая во внимание (1.7), а также используя приближенную формулу

получим:                                               (1.11)

откуда следует:                                                (1.12)

т.е. границей относительной погрешности произведения (частного) можно считать сумму относительных погрешностей сомножителей (делимого и делителя).

Из формул (1.11) легко получаются формулы для границ абсолютных погрешностей произведения и частного:

                                                                                    (1.13)

                                                                      (1.14)

Пример 1.9. Числа 25,7 и 3,6 заданы верными цифрами. Найдем на ЭКВМ их частное: q=7,1388888. Для определения числа верных знаков вычислим

Частное q имеет один верный знак. Округляя до одной запасной, получим:

q=7,1±0,3.      Относительная погрешность 0,0423, или =4,23%.

1.5.3. Возведение в степень и извлечение корня

Пусть , nN. Поскольку возведение в натуральную степень — это   многократное   умножение,    учитывая     (1.12) имеем:                                              (1.15)

Аналогично, если , то . Отсюда:               (1.16)

Формулы для вычисления границ абсолютных погрешностей степени и корня получаются из (1.15) и (1.16) с учетом соотношения (1.6).

1.6.              Погрешность значения функции

Рассмотрим общую формулу для погрешностей функции.

Пусть f—дифференцируемая функция n переменных; — точные значения, — приближенные значения переменных, а (i=1, 2, ..., n) — их абсолютные погрешности. Тогда абсолютная погрешность значения функции в точке ()—это ее приращение . Считая, что погрешности значительно меньше абсолютных величин значений , заменим приращение функции ее дифференциалом:

                                          (1.17)

Неравенство   (1.17)   усиливается  после  замены   абсолютных погрешностей границами абсолютных погрешностей ; .

Отсюда следует, что можно принять

                                                                                                  (1.18)

Формула (1.18) имеет общий характер. Из нее, в частности, могут быть получены все формулы для границ абсолютных погрешностей арифметических действий. Пусть, для примера, f()=. Тогда

что в точности совпадает с формулой (1.13).

Относительную погрешность значения  функции f  можно вычислить по формуле:

                            (1.19)

Для выражения через относительные погрешности  аргументов (1.19) можно переписать в виде:

                                                                                    (1.20)

Пример 1.10. С помощью ЭКВМ получаем = 0,717356. Если 0,8 — точное значение, то в соответствии с точностью вычислительного прибора полученный результат имеет точность . Если же 0,8 — приближенное значение, например, в строгом смысле, то граница абсолютной погрешности значения аргумента =0,05, а погрешность полученного значения синуса (см. (1.18)):

= 0,035.

Отсюда следует, что во втором случае полученное на ЭКВМ значение sin 0,8 = 0,717356 имеет лишь одну верную значащую цифру. Округляя результат с одной запасной цифрой, получаем: