Трехмерное параметрическое моделирование

 

    Точечные  оценки девяти генеральных параметров , можно вычислить по формулам

;

;

;

    Затем вычисляются оценки условных средних  квадратических отклонений при фиксировании одной компоненты, частных коэффициентов  корреляции, условных средних квадратических отклонений при двух фиксированных  компонентах и множественных  коэффициентов корреляции, используя  формулы, соответствующие формулам для вычисления параметров генеральной совокупности:

    ; ; ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Проверка  значимости множественного коэффициента детерминации (следовательно, и ) осуществляется с помощью F- распределения.

    Вычисляется 

    Затем с заданным уровнем значимости и числами степеней свободны (числителя) и (знаменателя) находят . Если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , т.е. значимо отличается от нуля. Если коэффициент незначим, связь между случайной величиной Z и случайной величиной (x, y) отсутствует.

    Конечно, проверку значимости коэффициентов  связи начинать с частных коэффициентов  корреляции не обязательно. Можно в  некоторых случаях сократить  такую проверку, например если незначим, то коэффициенты и становятся незначимыми. Далее, если незначим, то (множественный коэффициент корреляции незначимо отличается от абсолютной величины парного коэффициента корреляции).

    Для значимых множественных коэффициентов  корреляции можно получить оценки уравнения  регрессии.

    Например, пусть  значимо отличается от нуля, тогда оценкой соответствующего уравнения регрессии служит 

    При этом коэффициенты регрессии вычисляются  по формулам:

     

и является оценкой Mz/(x, y).

    Напомним, что если какой – либо частный  коэффициент корреляции незначим, то соответствующий коэффициент плоскости  регрессии также незначим. Поэтому, если позволяют условия практического  анализа точки зрения надежности статистических выводов, предпочтительнее рассматривать модель взаимозависимости признаков такую, для которой множественный коэффициент детерминации – наибольший (и, конечно значимый): ему соответствует максимальное число значимых частных коэффициентов детерминации (корреляции).

    Для значимых параметров связи представляет интерес найти интервальную оценку с надежностью 

    Интервальная  оценка для  находится с помощью статистики Фишера  

    По  таблице указанного преобразования находят величину Z/ Затем вычисляют точность интервальной оценки для MZ воспользовавшись тем фактом, что статистика Z(r) распределена приближенно нормально с параметрами MZ и DZ 

    где является решением уравнения и находится по таблице интегральной функции Лапласа.

    Затем вычисляют границы интервальной оценки для MZ по формуле

    ()

    и наконец, доверительные границы  для  получают по таблице обратного преобразования Фишера.

    Для значимого множественного коэффициента корреляции интервальная оценка также  находится с помощью Z – преобразования Фишера, с дисперсией, приблизительно равной для достаточно больших значений n.

    Имеются графики и таблицы (Эзекиела и Фокса; К. Крамера) для получения интервальных оценок по значениям .

    Определение доверительных интервалов для коэффициентов  плоскости регрессии производится исходя из статистик 
 

    которые имеют t – распределение Стьюдента с v = n – 3 степенями свободы. Для этого достаточно решить относительно оцениваемого коэффициента регрессии неравенства где находится по таблице Стьюдента.

    Для значимых частных и множественных  коэффициентов детерминации можно  указать более предпочтительные точечные оценки, чем выборочные коэффициенты, например,  

• оценка  для 

 

• оценка  для .

2. Пример  расчета коэффициентов  корреляции и проверки гипотез для трехмерной регрессионной модели

    Имеются данные по двадцати банкам о размере  прибыли в дененежных единицах (результативная переменная y), объемах выданных кредитов в денежных единицах (факторная переменная x) и размере уставного капитала в денежных единицах (факторная переменная z)

    Данные  по двадцати банкам о размере прибыли, объемах выданных кредитов и размере  уставного капитала в денежных единицах

    

    Исходя  из предположения о линейной зависимости  между переменными составим систему  нормальных уравнений для определения  параметров уравнения множественной  регрессии:

    

    Для решения данной квадратной системы  линейных уравнений используем метод  Крамера.

    Для этого вычислим общий определитель системы:

    

    

    Аналогично  вычисляем частные определители, заменяя при этом соответствующий  столбец столбцом свободных членов:

    

    Определим коэффициенты регрессионного уравнения  по формулам:

    

    Таким образом, уравнение регрессии описывающее  зависимость прибыли банка от объема выданных кредитов и размера  уставного капитала, выглядит следующим  образом:

    y=−0,236+0,09x−  0,17 z.

    Параметр  регрессии    показывает, что при изменении переменной x на 1 дененежную единицу результативная переменная изменится на 0,09 денежных единиц при фиксированном значении переменной z.

    Параметр  регрессии  показывает, что при изменении переменной z на 1 денежную единицу результативная переменная изменится на 0,17 денежных единиц при фиксированном значении переменной x.

    Рассчитаем  по имеющимся данным уравнение регрессии  в стандартизированном масштабе:

    

    

    Система нормальных уравнений для стандартизированной  модели множественной регрессии  имеет вид:

    

    

    Рассчитаем  вспомогательные характеристики для  определения стандартизированных  коэффициентов:

    

    Таким образом, система нормальных уравнение  будет иметь вид:

    

    Отсюда  найдем стандартизированные регрессионные  коэффициенты:

    

    Уравнение регрессии в стандартизированном  масштабе можно записать следующим  образом:

    

    После того как параметры уравнения  множественной регрессии в стандартизированном  масштабе определены, необходимо перевести  их в масштаб исходных данных по формулам:

    

    Таким образом:

    

    Оцененное уравнение регрессии имеет вид:

    y=−152,9+0,09x+ 0,17z.

    Как видим, оценки данного уравнения  практически не отличаются от оценок, полученных с помощью МНК, кроме  оценки свободного члена . Выяснить, какое уравнение является более точным, можно с помощью сравнения показателей остатков регрессии:

    

    Для первого уравнения регрессии  сумма остатков равна нулю, поэтому  оно является наилучшим.

    Пример  расчета коэффициентов корреляции и проверки гипотез для трехмерной регрессионной модели

    На  основе данных таблицы 2 рассчитаем частные  коэффициенты корреляции для модели трехмерной регрессии.

    Определим коэффициент частной корреляции между получаемой прибылью и объемом  выданных кредитов при фиксированной  величине уставного капитала банка z по формуле:

    

    В качестве вспомогательных величин  рассчитаем парные коэффициенты корреляции:

    

    Тогда:

    

    Рассчитаем  коэффициент частной корреляции между получаемой прибылью y и размером уставного капитала z при фиксированной  величине выдаваемых кредитов x по формуле:

    

    Факторные признаки оказывают определенное влияние  друг на друга. С помощью частного коэффициента корреляции можно оценить  эту взаимосвязь при фиксированном  значении прибыли по формуле:

    

    После расчета всех частных коэффициентов  корреляции множественного уравнения  регрессии необходимо проверить  их значимость. Выдвигается основная гипотеза H0 о незначимости частных  коэффициентов корреляции:

    

    Альтернативной  гипотезой H1 является утверждение о  значимости частного коэффициента корреляции:

    

    Гипотеза  значимости частных коэффициентов  корреляции проверяется с помощью t критерия Стьюдента. Наблюдаемое значение t критерия tнабл вычисляется по формуле:

    

    где n — объем выборочной совокупности (число наблюдений);

    l — число оцениваемых по выборке  параметров.

    Критическое значение t критерия tкрит находится  по таблице распределения Стьюдента  с уровнем значимости α/2 и степенью свободы     (n − l − 1): t крит(α/2; n − l − 1).

    Проверим  значимость частного коэффициента корреляции ryx/z. Наблюдаемое значение t критерия равно:

    

    Критическое значение t критерия

    

    |tнабл| > tкрит, следовательно, между изучаемыми  признаками x и y существует корреляционная  связь при фиксированном значении  переменной z.

    Проверим  значимость частного коэффициента корреляции ryz/x. Наблюдаемое значение t критерия равно:

    

    Так как |tнабл| < tкрит, то данный коэффициент  корреляции является незначимым, и  переменную уставного капитала z можно  вывести из модели без потери для  ее качества.

    Проверим  значимость частного коэффициента корреляции ryz/x. Наблюдаемое значение t критерия равно:

    

    Так как |tнабл| < tкрит, то данный коэффициент  корреляции является незначимым.

    Рассчитаем  множественный коэффициент корреляции для трехмерной модели регрессии  по формуле:

    

    Добавление  в модель новой переменной не изменило коэффициента корреляции.

    Рассчитаем  множественный коэффициент детерминации как квадрат множественного коэффициента корреляции: