Кыргызско-Российский Славянский Университет

Кафедра: ЭММ 
 
 

Курсовая  работа

на тему:

Трехмерное  параметрическое  моделирование. 
 
 
 
 
 

Выполнила: ст-ка гр ФК1-08

Камчыбек  кызы Гулбарчын

      Проверил: преподаватель 

Фреюк Д.Г.

 

План

Введение 2

I Трехмерная модель  4

1.1 Основные параметры модели  4

1.2 Оценивание и проверка значимости параметров  12

II Пример расчета коэффициентов корреляции и проверки гипотез для трехмерной регрессионной модели  17

Заключение  26

Список использованной литературы  28 

 

Введение

    Актуальность  темы курсовой работы обособлена тем, что использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.

    Целью курсовой работы является рассмотреть  и изучить корреляционный анализ с более чем двумя параметрами.  В настоящее время корреляционный анализ (корреляционная модель) определяется как метод, применяемый тогда, когда  данные наблюдений или эксперимента можно считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

    Основная  задача корреляционного анализа  состоит в оценке k(k+3)/2 параметров, определяющих нормальный закон распределения k-мерного вектора x, в частности, корреляционной матрицы генеральной совокупности X, по выборке.

    Для значимых парных коэффициентов корреляции имеет смысл указать более  предпочтительные точечные или интервальные оценки.

    Далее следует оценить и проверить  значимость множественных коэффициентов  корреляции или детерминации всевозможных подсистем системы  содержащих три и более различных случайных величин

    Для выяснения «чистых», истинных взаимозависимостей следует проанализировать выборочные частные коэффициенты корреляции.

    Таким образом, основная задача позволяет  определить расположение «облака» точек  в пространстве k измерений, т.е. оценить природу взаимозависимости между наблюдаемыми переменными.

    Дополнительная  задача корреляционного анализа (являющаяся основной в регрессионном анализе) состоит в оценке уравнений регрессии, где в качестве результативного  признака выступает признак, являющийся следствием других признаков (факторов) причин.

 

1. Трехмерная  модель

1.1 Основные параметры модели

    Для изучения основных задач и особенностей корреляционного анализа удобно рассматривать генеральную совокупность трех признаков x, y, и z.

    Трехмерная  непрерывная случайная величина (x, y, z) называется нормально распределенной, если плотность совместного распределения одномерных случайных величин x, y, и z задается в виде exp

где симметрическая положительно определенная матрица парных коэффициентов корреляции, соответствующих частным двумерным распределениям случайных величин (x, y), (x, z), и (y, z);

еделитель матрицы , обобщенная дисперсия случайной величины (x, y, z); 

= матрица, обратная :

= ; – минор матрицы 

= =

= =

= =

= =

= =

= =

матрица - симметрическая, положительно определенная;

  ктор значений нормированных случайных величин

x, y, и z; 
 
 
 
 
 

    Таким образом, трехмерная нормально распределенная случайная величина определяется девятью  параметрами:

    тремя математическими ожиданиями: 

    тремя дисперсиями (или средними квадратическими  отклонениями): 

    тремя парными коэффициентами корреляции: 
 
 

    Следует отметить, что частные одномерные (() , () и ()) распределения компонент, а также условные распределения при фиксировании одной (()/z , ()/y, ()/x) и двух (x/y,z; y/x,z; z/x,y) компонент являются плоскостями и прямыми соответственно.

    Для трехмерной (и других многомерных) корреляционной модели важную роль играют частные  и множественные коэффициенты корреляции или детерминации (коэффициент детерминации равен квадрату соответствующего коэффициента корреляции).

    Частным коэффициентом корреляции между x и y при фиксированных остальных компонентах (т.е. z) является выражение 

    Остальные частные коэффициенты корреляции и определяют путем замены соответствующих индексов в приведенных формулах.

    Для нормального распределения частный  коэффициент корреляции совпадает с парным коэффициентом корреляции между величинами x и y при фиксированном (в двумерном условном распределении )/z). Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции.

    Он  служит показателем линейной связи  между двумя переменными случайными величинами независимо от влияния остальных  случайных переменных. Если частный  коэффициент детерминации меньше, чем соответствующий парный коэффициент детерминации, то взаимозависимость между двумя величинами обусловлена частично (или целиком при равенстве нулю частного коэффициента детерминации) воздействием на эту пару остальных, фиксируемых, случайных величин. Если же, наоборот, частный коэффициент детерминации больше соответствующего парного, то фиксируемые величины ослабляют, затушевывают связь.

    Множественный коэффициент корреляции между одной величиной z и двумя другими величинами (x, y) определяется по формуле: 

    Для трехмерной нормально распределенной случайной величины , z) множественный коэффициент корреляции является мерой связи между одной случайной величиной и двумя остальными. Он заключен между нулем и единицей. При связь между величинами z и (x, y) являются независимыми (в силу нормальности распределения). Множественный коэффициент детерминации показывает долю дисперсии случайной величины z, обусловленную изменением случайных величин (x, y).

    Из  определяющей формулы можно получить следующие неравенства: 

    Отсюда  можно заметить, что коэффициент  множественной корреляции может  только увеличиться, если в модель включать дополнительные признаки – случайные  величины, и не увеличиться, если из имеющихся признаков производить  исключение.

    Далее, если

    Если, например, Последние неравенства можно получить исходя из формул: 
 
 

    Таким образом, наибольшему множественному коэффициенту детерминации соответствуют  большие частные коэффициенты детерминации соответствуют большие частные  коэффициенты детерминации (например, ).

    Приведем  некоторые характеристики, подлежащие корреляционному анализу трехмерной случайной величины. При этом будем  рассматривать лишь по одному условному  распределению (двумерному и одномерному), так как остальные совпадают  с рассматриваемыми с точностью  до перестановки букв.

    Условное  распределение при  заданном z

    Так как это двумерное нормальное распределение (x, y)/z, то оно определяется пятью параметрами (двумя условными математическими ожиданиями и и ): 
 
 
 

    Форма зависимости выражается следующими линиями регрессии в плоскости  Z=:

    ; 

    Коэффициенты  частной регрессии имеют вид: 
 

    причем 

    Условные  средние квадратические отклонения (при двух условиях), характеризующие рассеяние относительно указанных линий регрессии и совпадающие с остаточными средними квадратическими отклонениями, определяются формулами: 
 

    Центр условного двумерного распределения ( ) при изменении Z описывает прямую в пространстве в то время, как условные дисперсии , и условные коэффициенты корреляции остаются постоянными.

    Условные  распределение при  заданном (x, y)

    Это распределение z/(x, y) является одномерным и определяется своими математическими ожиданием и дисперсией (естественно условными):

    Mz/(x, y)=M(z/x)/y=M(z/y)/x;

    Dz/(x,y)=

    Если  точку (x, y) менять, то будем иметь плоскость регрессии z на (x, y)

    Mz/(x, y)

    и остаточную дисперсию относительно плоскости регрессии (совпадающую  с условной дисперсией) 

    Коэффициент множественной регрессии (совпадающий  с соответствующим коэффициентом  частной регрессии), показывает, на сколько единиц своего измерения изменится признак z в среднем, если признак x изменится на единицу своего измерения, а остальные признаки не изменятся. Таким образом, коэффициент регрессии может выступать в качестве норматива.

    Множественный коэффициент корреляции можно вычислить в силу линейной регрессии и как корреляционное отношение z на (x, y): 

    Если, например, , то из последней формулы следует:

 

1.2 Оценивание и проверка значимости параметров

    Пусть дана выборка объемом из трехмерной нормально распределенной генеральной  совокупности  с признаками x, y и z:

,

    Обработку данных будем производить, руководствуясь таблицей: