Шпаргалкапо "Эконометрике"

       - предсказанное (расчетное) значение зависимой переменной.

Коэффициент  детерминации  показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе  к 1, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R

R= =      2,6                                 

Данный  коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. Важным моментом является проверка значимости  построенного уравнения в целом и отдельных параметров. Оценить значимость уравнения регрессии – это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y

Оценка  значимости уравнения регрессии  производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Если расчетное значение с n₁= k  и n₂ = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель,  больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

                                                                                    (2.7)

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n- k -1), где k – количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины  ( ) называется стандартной ошибкой: 

                                                                                                          (2.8) 

значимость отдельных коэффициентов регрессии проверяется по t-статистике путем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

                                        ,                                                             (2.9)

где S_aj — это стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии a_j. Величина S_aj представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной оценки дисперсии и j -го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений.

                    

 где   -  диагональный элемент матрицы .

Если  расчетное значение t-критерия с (n - k - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Проверка  выполнения предпосылок МНК.

Рассмотрим  выполнение предпосылки  гомоскедастичности, или равноизменчивости случайной составляющей (возмущения).

Невыполнение  этой предпосылки, т.е. нарушение условия  гомоскедастичности возмущений означает, что дисперсия возмущения зависит от значений факторов. Такие регрессионные модели называются моделями с гетероскедастичностью возмущений.

Обнаружение гетероскедастичности

Для обнаружения  гетероскедастичности обычно используют  тесты, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда -  Квандта, тест Глейзера, двусторонний критерий Фишера и другие [2].

При малом  объеме выборки  для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Голдфельда — Квандта.

Данный  тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. При этом делается предположение, что, случайная составляющая распределена нормально.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда -  Квандта необходимо выполнить следующие шаги.

1.Упорядочение п наблюдений по мере возрастания переменной х.

2.Исключение  средних наблюдений ( должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений).

3.Разделение совокупности на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора ) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

4.Определение остаточной суммы квадратов для первой регрессии и второй регрессии  .

5.Вычисление отношений (или ).  В числителе должна быть большая сумма квадратов. 

   Полученное  отношение имеет F распределение со степенями свободы k1=n1-k   и   k2=n-n1-k,  (k– число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

     Если         , то гетероскедастичность имеет место.

       Чем больше величина F превышает табличное значение F -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин. 
 

20. Оценка существенности параметров линейной регрессии.

Проведем  оценку качества построенной моедли:А) оценим значимость уравнения регрессии, иначе ответим на вопрос, соответствует построенная математическая модель фактическим данным и достаточна ли выкюч в уравнение х-фактроров для объяснения изменения результативного показателя.

Для проверки значимости модели уравнения регрессии  используется F-критерий Фишера по γ  вычисляется F расчетное.

,

Fрасч  сравнивается с F крит с 2-я  степенями свободы: υ1 = n-1,  υ2 = n-k-1, где k  - кол-во оцениваемых параметров. /k=1/

Если Fрасч > с F крит, то уравнение считается  значимым, в противном случае ур-ие не значимо.

Надежность  получаемых оценок а и b зависит от ошибки ε.

Нужно найти среднюю квадратическую ошибку

, где

Для значимого  ур-я регрессии строят интервальные оценки параметров a и b.

Интервальная  оценка параметра a, есть:

Замечание: если интервальные границы в разные по знаку, то такие уравнения в прогнозировании использовать нельзя, т.е. непонятно какое направление. 

 Оценка  существенности параметров линейной  регрессии.

Проверка  значимости параметров проводится на основе t-критерия Стьюдента. Вначале рассчитывают стандартную ошибку модели S_e. . Затем определяют стандартные ошибки каждого параметра уравнения: .

Если  t_табл< , то соотв. параметр уравнения считают статистически значимым t_табл=t( ;n-k-1). Замечание: используя t-критерий можно опр-ть интервальные оценки для параметров регрессионного уравнения:  
 
 
 
 
 
 
 

18. Оценка влияния факторов на зависимую переменную (коэф-ты эл-ти,бета коэф-ты)

Влияние факторов на зависимую переменную оцениваются с помощью коэффициентов эластичности и β-коэффициентов.

Он показывает на сколько % увеличится результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1%.

, где 

 и 

он показывает на какую величину своего среднего квадратического отклонения изменится  результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1-о свое среднеквадратическое отклонение.

3.

r_j – коэф-т парной корреляции. коэф-т показывает среднюю долю влияния j фактора в совокупном влиянии всех факторов.

К-т  эластичности: . Он показывает, на сколько % изменяется зависимая переменная при изменении фактора j на 1%.

Бета-к-т:

, где  ; – среднеквадратические отклонения.

Бета-к-т  показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_y тзменится зависимая переменная Y с изменением соответствующий независимой переменной X_j на величину среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных переменных. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Анализ эк объектов и прогнозирование с помощью модели множ регрессии.

Уравнение регрессии применяют для расчета  значений показателя в заданном диапазоне изменения параметров. Оно ограниченно пригодно для расчета вне этого диапазона, т.е. его можно применять для решения задач интерполяции и в ограниченной степени для экстраполяции.

Прогноз, полученный подстановкой в уравнение  регрессии ожидаемого значения параметра, является точечным. Вероятность реализации такого прогноза ничтожна мала. Целесообразно определить доверительный интервал прогноза.

Для того чтобы определить область возможных значений результативного показателя, при рассчитанных значениях факторов следует учитывать два возможных источника ошибок: рассеивание наблюдений относительно линии регрессии и ошибки, обусловленные математическим аппаратом построения самой линии регрессии. Ошибки первого рода измеряются с помощью характеристик точности, в частности, величиной . Ошибки второго рода обусловлены фиксацией численного значения коэффициентов регрессии, в то время как они в действительности являются случайными, нормально распределенными.

Для линейной модели регрессии доверительный  интервал рассчитывается следующим образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее U):.

 где    . 
 

32. Регрессионные модели  с переменной структурой (фиктивные  переменные)

Термин  “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т. е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными

При построении регрессионного уравнения используются факторы, являющиеся количественными  характеристиками. Иногда требуется ввести в  модель регрессии некий качественный фактор. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки (пол, образование, принадлежность к какому-либо региону и т.д.). чтобы ввести такие переменные в уравнение, их нужно преобразовать в количественные. Пусть у – цена квартиры, х - общая площадь квартиры, тогда общий вид регрессионного уравнения примет вид, у=а₀+а₁х. Сконструируем фиктивную переменную, означающую принадлежность квартиры к центральным или периферическим частям города. . Тогда получается уравнение 2-ухфакторной регрессии: y=a₀+a₁x+a₂z. В этом уравнении параметр а₂ показывает, на сколько дороже квартира в центре по сравнению с периферией города. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. Многомерный статистический анализ. Задачи классификации объектов: кластерный анализ, дискриминантный анализ.

МСА – одно из направлений развития одномерной статистики. В наст. вр. в условиях рыночной экономики методы многомерного анализа актуальны, т.к. соответствуют многовариантному подходу. В МСА выделяют 3 группы методов: 1. факторный анализ, 2. кластерный анализ, 3. дискриминантный анализ. Факторный анализ предназначен для выявления в данной совокупности латентных (неявных) признаков, характеризующих систему. Экономическая система описывается большим числом показателей, что неудобно для анализа. За счет вращения этих показателей (опр. линейных комбинаций) исходная совокупность данных сокращается за счет замены ее главными факторами. Задачи: 1. отыскание скрытых, но объективно существующих закономерностей; 2. сжатие информации; 3. выделение главных факторов; 4. построение регрессионных моделей.