X_j

     По-друге, розглядаючи МГБ по рядках для кожної галузі-виробника, бачимо, що валова продукція будь-якої галузі дорівнює сумі матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, і кінцевої продукції даної галузі:

     X_i

Підсумовуючи  за j систему рівнянь

     

Аналогічно, підсумовуючи за i систему рівнянь

     

Звідси  легко помітити, що

     

     Це  рівняння показує, що в міжгалузевому  балансі виконується принцип  еквівалентності матеріального  та вартісного складу національного доходу. 
 
 
 
 
 
 
 

     2.Економіко-математична модель міжгалузевого балансу 

     Основу  інформаційного забезпечення моделі міжгалузевого балансу становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є базою економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу.

     Припускається гіпотеза, згідно з якою для виробництва одиниці продукції в j-й галузі необхідна певна кількість витрат проміжної продукції і-ї галузі, що становить a_ij, і ця величина не залежить від обсягів виробництва в j-й галузі та є досить стабільною величиною в часі. Величини a_ij називають коефіцієнтами прямих матеріальних витрат та обчислюють таким чином:

     

     Якщо  ввести до розгляду матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А = (а_ij), вектор-стовпчик валової продукції X та вектор-стовпчик кінцевої продукції Y:

     

     то  система рівнянь у матричній  формі матиме вигляд

     X = AX + Y .

     Систему рівнянь, чи у матричній формі, називають економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьєва, моделлю «витрати — випуск»). За допомогою цієї моделі можна виконати три варіанти обчислень:

• задаючи в моделі обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i), можна визначити обсяги кінцевої продукції кожної галузі (Y_i):

     Y = (E – A)X,

     де  Е — одинична матриця n-го порядку;

• задаючи обсяги кінцевої продукції всіх галузей (Y_i), можна визначити обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i):

     X = (E – A)^–1Y;

• для низки галузей задаючи обсяги валової продукції, а для решти — обсяги кінцевої продукції, можна відшукати величини кінцевої та валової продукції всіх галузей.

       У попередніх формулах Е позначає одиничну матрицю n-го порядку, а (Е – А)^–1 — матрицю, обернену до матриці (Е – А).

     Якщо  визначник матриці (Е – А) не дорівнює нулеві, тобто ця матриця не вироджена, тоді існує матриця, обернена до неї. Позначимо цю матрицю через В:

     B = (Е – А)^–1.

     Систему рівнянь у матричній формі  можна записати:

     X = BY .

     Елементи  матриці В позначатимемо через b_ij , тоді з матричного рівняння для будь-якої і-ї галузі можна отримати співвідношення:

     

     Із  співвідношення випливає, що валова продукція постає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, ваговими коефіцієнтами тут є b_іj, котрі показують, скільки всього необхідно виробити валової продукції і-ї галузі для випуску у сферу кінцевого використання одиниці продукції j-ї галузі. На відміну від коефіцієнтів прямих витрат a_ij , коефіцієнти b_іj називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат, і вони включають у себе як прямі, так і опосередковані витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, використаних безпосередньо на виготовлення певних обсягів даного продукту, то опосередковані стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукції не прямо, а через інші (проміжні) засоби виробництва.

     Коефіцієнти повних матеріальних витрат b_ij показують, який обсяг продукції j-ї галузі необхідно виробити, щоб з урахуванням прямих і опосередкованих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

     Коефіцієнти повних матеріальних витрат можна застосовувати, коли необхідно визначити, як вплинуть на валовий випуск певної галузі деякі зміни щодо обсягів випуску кінцевої продукції всіх галузей:

     

     де DX_i та DY_j — зміни (прирости) обсягів валової й кінцевої продукції відповідно.

     Здійснюючи  аналіз моделі міжгалузевого балансу, потрібно розглянути основні властивості матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А. Ці коефіцієнти за визначенням є невід’ємними, отже, матриця А в цілому є невід’ємною: А ³ 0. Процес відтворення не можна було б здійснити, якщо б для власного відтворення в галузі витрачався більший обсяг продукту, ніж створювався. Звідси очевидно, що діагональні елементи матриці А менші ніж одиниця: a_ii <1, i = 1, ..., n.

     Система рівнянь міжгалузевого балансу  відображає реальні економічні процеси, в котрих сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків; таким чином, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів вектора Х, який є невід’ємним вектором: X > 0. Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує такий невід’ємний вектор Х, що X > AX.

     Очевидно, що ця умова означає існування невід’ємного вектора кінцевої продукції Y > 0 для моделі міжгалузевого балансу.

     Щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, аби виконувалася одна з перелічених нижче умов:

1. матриця (Е – А ) має бути невід’ємно оберненою, тобто повинна існувати обернена матриця (Е – А) ^–1 ³ 0;
2. матричний ряд має збігатися, A^k ® 0, k ® ¥, а його сума дорівнює оберненій матриці (Е – А)^–1;
3. найбільший за модулем l розв’язок (власне значення) характеристичного рівняння має бути строго меншим від одиниці;
4. усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, що утворені елементами перших рядків і перших стовпчиків цієї матриці порядку від 1 до n, мають бути додатними.

     Більш простою, але лише достатньою ознакою  продуктивності матриці А є обмеження на величину її норми, тобто на величину найбільшої із суми елементів матриці А в кожному стовпчику. Якщо норма матриці А строго менша від одиниці, то ця матриця є продуктивною. Дана умова є лише достатньою, і матриця А може виявитися продуктивною й у разі, якщо її норма буде більшою за одиницю.

     Найбільший  за модулем корінь характеристичного  рівняння, наведеного в третій умові продуктивності матриці А (позначимо його через l^*), може слугувати за оцінку загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, величина (1 – l^*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більшим є (1 – l^*), тим більшими є можливості досягнення інших цілей, окрім поточного виробничого процесу. Іншими словами, чим вищим є загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більшим — максимальне за модулем власне значення (l^* ) і нижчим — рівень продуктивності, і навпаки, чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим меншим є максимальне по модулю власне значення (l^* ) і вищою продуктивність.

     Проаналізуймо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е – А)^–1. Елемент цієї матриці b_ij показує, скільки всього необхідно виробити продукції і-ї галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

     Дамо  інше означення коефіцієнта повних матеріальних витрат з огляду на те, що окрім прямих витрат існують опосередковані витрати тієї чи іншої продукції для виробництва продукції даної галузі. Розгляньмо для прикладу формування витрат електроенергії на випуск стального прокату, обмежуючись технологічним ланцюжком «руда—чавун—сталь—прокат». Витрати електроенергії для отримання прокату зі сталі називатимемо прямими витратами, ті самі витрати для отримання сталі з чавуну — опосередненими витратами 1-го порядку, а витрати електроенергії для отримання чавуну з руди — опосередкованими витратами електроенергії на випуск сталевого прокату 2-го порядку тощо. Отже, можна дати таке означення:

     Коефіцієнтом  квазіповних матеріальних витрат c_ij називають суму прямих і опосередкованих витрат продукції і-ї галузі для виробництва одиниці продукції j-ї галузі через проміжні продукти на всіх попередніх стадіях виробництва. Якщо коефіцієнти опосередкованих матеріальних витрат k-го порядку позначати через , то має місце формула:

     

     a якщо ввести до розгляду матрицю  коефіцієнтів квазіповних матеріальних витрат C = (c_ij) та матриці коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат різних порядків , то поелементну формулу можна подати в матричній формі:

     

     З огляду на змістовну суть коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат можна записати такі математичні співвідношення:

     

     за  використання котрих матрична формула  набирає вигляду

     

     Якщо  матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А є продуктивною, то з другої умови продуктивності існує матриця В = (Е – А)^–1, яка є сумою збіжного матричного ряду:

     

     Порівнюючи вирази дістанемо:

     В = Е + С,

     або в по елементному записі:

     

     Це  визначає економічний сенс, що пояснює  відмінність між коефіцієнтами (елементами) матриць В та С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують лише витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В включають у себе, окрім витрат, також одиницю кінцевої продукції, котра виходить за сферу виробництва. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3. Міжгалузеві балансові моделі в аналізі економічних показників 

     Різноманітні  модифікації моделі міжгалузевого  балансу виробництва й розподілу  продукції в народному господарстві дозволяють розширити коло показників, що їх охоплює модель. Розгляньмо застосування міжгалузевого балансового методу для аналізу таких важливих економічних показників, як праця, фонди, ціни.

     Важливими аналітичними можливостями даного методу є, зокрема, визначення прямих і повних витрат праці на одиницю продукції  та розроблення на підставі цього  балансових продуктово-трудових моделей; вихідною моделлю тут слугує звітний між продуктовий баланс у натуральному вираженні.