Контрольная работа по "Эконометрике"

    Точечный  прогноз: 

     =3 года, =165 л.с. 

     =9,694-1,624×3+0,080×165=17,968 (тыс. у.е.) 

    Интервальный  прогноз: 

     ,

      

    

    

 

     =0,522 

      

    Пусть 1-a=0,95, тогда t_0,05;13=2,16. 

     =17,968±2.16×0,121=17,968±0,261

     =17.707, =18.229

      

3. Экономическая интерпретация: 

    Так как r_yx1=-0,891, и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основание утверждать, что между переменными Y и X₁ существует достаточно тесная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .

    Коэффициент a₀=25,543 в данном случае не имеет экономического смысла. Он формально определяет цену при x_j=0, т.е. цену нового автомобиля. Коэффициент a₁=-2,755 имеет вполне определенный экономический смысл, поскольку характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста автомобиля на единицу, т.е. при увеличении возраста на 1 год следует ожидать уменьшения цены на 2,755 тыс. у.е.

    Необходимо  особо подчеркнуть, что слова  «следует ожидать прироста цены»  в предыдущем предложении нельзя заменить словами «прирост цены составит», т.к. уравнение регрессии Y от X₁ представляет собой лишь некоторую оценку стохастической зависимости между Y и X₁. Это уравнение характеризует так называемое среднее значение цены автомобиля в зависимости от возраста автомобиля. Слово «среднее» выражает здесь тот факт, что реальное значение цены Y_i, соответствующее некоторому реальному возрасту X_ij, будет находиться в некоторой окрестности значения .

    Значение  r_yx2=0,911 свидетельствует о том, что между Y и X₂ существует достаточно тесная положительная линейная зависимость. Экономический смысл коэффициента b₁=0,125 в уравнении аналогичен смыслу коэффициента a₁=-2,755 в уравнении , т.е. коэффициент b₁=0,125 показывает, какого изменения цены следует ожидать при увеличении мощности двигателя на единицу.

    В результате исследования зависимости  цены от двух факторов - возраста и мощности двигателя, получено уравнение множественной  регрессии .

    Содержательный  смысл найденных коэффициентов  состоит в следующем. Величина a₁= - 1,624 показывает, что при увеличении возраста автомобиля на 1 год и фиксированной (неизменной) мощности двигателя следует ожидать снижения цены автомобиля на 1,624 тыс. у.е. Коэффициент a₂=0,080 показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. и неизменном возрасте следует ожидать увеличения цены на 0,080 тыс. у.е. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №2. Временной ряд. 

В базе данных магазина содержится информация  об объеме ежемесячных  продаж автомобилей за прошлый год, представленная в таблице:

 

 

1.  Представим графически  ежемесячные объёмы продаж автомагазина. На основе визуального анализа  построенного графика, выдвинем  гипотезу о виде зависимости  объема продаж от времени и  запишем её математически. Оценим неизвестные параметры модели методом наименьших квадратов. 

Построим  ломаную кривую изменения объема продаж от времени: 

 

    На  основании наблюдения ломаной кривой выдвигаем гипотезу о линейном тренде. Следовательно, трендовая модель запишется в виде:

     . 

2.  Методом наименьших  квадратов найдём оценку уравнения  линейного тренда: 

    Коэффициенты  этого уравнения находятся по методу наименьших квадратов из системы  нормальных уравнений: 

    

    Составим  расчетную таблицу: 

 
 

    Выразив из системы коэффициенты a₀ и a₁, получим:

     ,

    

    Следовательно, уравнение регрессии будет иметь  вид: 

    

3. Для линии тренда построим доверительную полосу надёжности 0,975. Нарисуем её на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

 

           Построим доверительную полосу  с надежностью 0,975. 

    Доверительные интервалы находятся по формуле 

     , где 

    y_в, y_н – верхняя и нижняя граница доверительного интервала

     - квантиль распределения Стьюдента  с доверительной вероятностью 1-a и числом степеней свободы n-2. При a=0,05 t_0,025;10=2,634

    Значение  S_y определяется по формуле: 

     ,  

    Проведение  расчетов удобно провести в таблице: 
 
 
 
 

 

    Построим  доверительную полосу на графике: 

      
 

    3. По линейному уравнению тренда  найдём точечный и интервальный  прогноз (с надёжностью 0,975) для среднего объёма продаж на конец первого квартала текущего года. 

    Точечный  прогноз находим по уравнению  тренда при t=15:

    

     =185,651+6,143×15=277,802 (тыс. у.е.) 

     ,

      

     =277,802±2,634 ×10,407=277,802±27.409 

     =250.393, =305.210 

Задача  № 3. Проверка моделей  на автокорреляцию и  мультиколлинеарность.

 

1. Для регрессионных  моделей:  и проверим наличие или отсутствие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости a=0.01. 

Составим  расчетную таблицу: