Имитационное моделирование. Метод Монте-Карло

Любопытно, что теоретическая  основа метода была известна давно. Более  того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную—очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в  княжестве Монако, знаменитого своим  игорным домом.

Идея метода чрезвычайно  проста и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс  с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный  результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так  же и в результате статистического  моделирования мы получаем каждый раз  новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может  нам дать? Сама по себе ничего, так  же как, скажем, один случай излечения  больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий  искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан  обычными методами математической статистики. После такой обработки могут  быть получены любые интересующие нас  характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии  случайных величин и т. д. При  моделировании случайных явлений  методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом  исследования, заставляем ее «работать  на нас».

Нередко такой прием оказывается  проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены,  где процесс — явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

В сущности, методом Монте-Карло  может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного  попадания равной 1 — (1/2)³ = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем»,  статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, герб—за попадание, решку — за «промах». Опыт считается  «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N  произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен.

Метод Монте-Карло- это численный  метод решения математических задач  при  помощи моделирования случайных  величин.

 

 

1.5. Преимущества и недостатки имитационного моделирования

 

Следовательно, имитационное моделирование – не теория, а  методология решения проблем. Более  того, имитационное моделирование является только одним из нескольких имеющихся в распоряжении системного аналитика важнейших методов решения проблем. Поскольку необходимо приспосабливать средство или метод к решению задачи, а не наоборот, то возникает естественный вопрос: в каких случаях имитационное моделирование полезно?

Необходимость решения задач  путем экспериментирования становится очевидной, когда возникает потребность  получить о системе специфическую  информацию, которую нельзя найти  в известных источниках. Непосредственное экспериментирование на реальной системе  устраняет много затруднений, если необходимо обеспечить соответствие между  моделью и реальными условиями; однако недостатки такого экспериментирования  иногда весьма значительны:

-может нарушить установленный порядок работы фирмы;

-если составной частью системы являются люди, то на результаты экспериментов может повлиять так называемый хауторнский эффект, проявляющийся в том, что люди, чувствуя, что за ними наблюдают, могут изменить свое поведение;

-может оказаться сложным поддержание одних и тех же рабочих условий при каждом повторении эксперимента или в течение всего времени проведения серии экспериментов;

-для получения одной и той же величины выборки (и, следовательно, статистической значимости результатов экспериментирования) могут потребоваться чрезмерные затраты времени и средств;

-при экспериментировании с реальными системами может оказаться невозможным исследование множества альтернативных вариантов.

По этим причинам исследователь  должен рассмотреть целесообразность применения имитационного моделирования  при наличии любого из следующих  условий:

1.Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся многие модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.

2.Аналитические методы  имеются, но математические процедуры  столь сложны и трудоемки, что  имитационное моделирование дает  более простой способ решения  задачи.

3.Аналитические решения  существуют, но их реализация  невозможна вследствие недостаточной  математической подготовки имеющегося  персонала. В этом случае следует  сопоставить затраты на проектирование, испытания и работу на имитационной  модели с затратами, связанными  с приглашением специалистов  со стороны. 

4.Кроме оценки определенных  параметров, желательно осуществить  на имитационной модели наблюдение  за ходом процесса в течение  определенного периода. 

5.Имитационное моделирование  может оказаться единственной  возможностью вследствие трудностей  постановки экспериментов и наблюдений  явлений в реальных условиях (напримером, изучение поведения космических  кораблей в условиях межпланетных  полетов).

6.Для долговременного  действия систем или процессов  может понадобиться сжатие временной  шкалы. Имитационное моделирование  дает возможность полностью контролировать  время изучаемого процесса, поскольку  явление может быть замедлено  или ускорено по желанию (например, исследования проблем упадка  городов).

Дополнительным преимуществом  имитационного моделирования можно  считать широчайшие возможности  его применения в сфере образования  и профессиональной подготовки. Разработка и использование имитационной модели позволяет экспериментатору видеть и испытывать на модели реальные процессы и ситуации. Это в свою очередь  должно в значительной мере помочь понять и прочувствовать проблему, что стимулирует процесс поиска нововведений.

Применение имитационных моделей дает множество преимуществ по сравнению с выполнением экспериментов над реальной системой и использованием других методов.

Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.

Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.

Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.

Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.

Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.

 Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.

Однако имитационное моделирование наряду с достоинствами имеет и недостатки:

-разработка хорошей имитационной модели часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат;

-может оказаться, что имитационная модель неточна (что бывает часто), и мы не в состоянии измерить степень этой неточности;

-зачастую исследователи обращаются к имитационному моделированию, не представляя тех трудностей , с которыми они встретятся и совершают при этом ряд ошибок методологического характера.

И, тем не менее, имитационное моделирование является одним из наиболее широко используемых методов при решении задач синтеза и анализа сложных процессов и систем.

 

2. Практическая часть

 

Задача. Фирма провела исследования, что за последние 100 месяцев объем продаж колебался от 4 до 10 новых телевизоров. Частота различных объемов продаж показаны в таблице.

Объем продаж в месяц	Частота
4 5 6 7 8 9 10	5 20 10 25 13 21 6

Продажа будет идти в тех  же объемах еще 12 месяцев. Время пополнения заказа на поставки распределяется следующим  образом.

Время поставок, месяцев	Вероятность
1	0,23
2	0,31
3	0,19
4	0,27

Каждый раз заказывается 20 телевизоров и делается новый  заказ, когда запас снижается  до 9 телевизоров. Новый заказ можно  делать только после выполнения предыдущего.

Проимитируйте эту стратегию  в течение 12 месяцев.

Считается, что:

1. Начальный запас составляет 25 телевизоров;
2. Затраты на хранение одного телевизора составляют в месяц 500 руб.;
3. Одна упущенная продажа приносит убыток 50 тыс. руб.;
4. Один заказ обходится в 30 тыс. руб.;

Сколько заказов придется сделать за 12 месяцев?

С какими издержками связана  данная стратегия?

Решение:

Построим таблицы интегрального распределения вероятности и установим интервалы случайных чисел для объема продаж (Таблица 1) и времени поставок (Таблица 2).

Таблица 1

Относительная и накопленная  частоты и интервал случайных чисел для объема продаж

Объем продаж	Частота	Относительная частота	Накопленная частота	Интервал случайных чисел
4	5	0,05	0,05	0-5
5	20	0,2	0,25	6-25
6	10	0,1	0,35	26-35
7	25	0,25	0,6	36-60
8	13	0,13	0,73	61-73
9	21	0,21	0,94	74-94
10	6	0,06	1,00	95-100

 

Таблица 2

Интегральное распределение  вероятности и интервал случайных  чисел для времени поставок

Время поставок	Вероятность	Интегральная вероятность	Интервал случайных чисел
1	0,23	0,23	0-23
2	0,31	0,54	24-54
3	0,19	0,73	55-73
4	0,27	1,00	74-100