Анализ временных рядов

     Между тем при расчёте индекса корреляции используются суммы квадратов отклонений признака у, а не их логарифмов. С  этой целью определяются теоретические значения результативного признака, то есть , как антилогарифм рассчитанной по уравнению величины и остаточная сумма квадратов как . Индекс корреляции определяется по формуле 

       

     В знаменателе расчёта R²_yx участвует общая сумма квадратов отклонений фактических значений у от их средней величины, а в расчёте r²_{lnx lny} участвует . Соответственно различаются числители и знаменатели рассматриваемых показателей:  

      - в индексе корреляции и

      - в коэффициенте корреляции.

     Вследствие  близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициент корреляции.

     Несмотря  на близость значений R и r или R и r в нелинейных функциях с преобразованием значения признака у, следует помнить, что если при линейной зависимости признаков один и тот же коэффициент корреляции характеризует регрессию, как следует помнить, что если при линейной зависимости признаков один и тот же коэффициент корреляции характеризует регрессию как , так и , так как , то при криволинейной зависимости для функции y=j(x) не равен для регрессии x=f(y).

     Поскольку в расчёте индекса корреляции используется соотношение факторной  и общей суммы квадратов отклонений, то имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину для нелинейных связей называют индексом детерминации.

     Оценка  существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надёжности коэффициента корреляции.

     Индекс  корреляции используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера: 

       

     где - индекс детерминации;

     n – число наблюдений;

     m – число параметров при переменных х.

     Величина  m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а ( n – m - 1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

     Для степенной функции  m = 1 и формула F – критерия примет тот же вид, что и при линейной зависимости: 

       

     Для параболы второй степени y = a₀ + a₁ x + a₂ x² +εm = 2 и 

       (1.6.5) 

     Расчёт  F-критерия можно вести и в таблице дисперсионного анализа результатов регрессии, как это было показано для линейной функции.

     Индекс  детерминации можно сравнивать с  коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина коэффициента детерминации меньше индекса детерминации. Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

     Практически, если величина разности между индексом детерминации и коэффициентом детерминации не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия R² , вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:

  (1.6.6) 

     m _{|R- r|} - ошибка разности между R² и r² , определяемая по формуле 

        

     Если  t _факт >t _табл , то различия между рассматриваемыми показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Практически, если величина t < 2, то различия между R_yx и r_yx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии, даже если есть предположения о некоторой нелинейности рассматриваемых соотношений признаков фактора и результата.

     1.7 Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

 

     Существует  несколько подходов к анализу  структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.

     Простейший  подход- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий: 

       Y= T + S + E. 

     Эта модель предполагает, что каждый уровень  временного ряда может быть представлен  как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

       Y = T∙S∙E. 

     Эта модель предполагает, что каждый уровень  временного ряда может быть представлен  как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

     Построение  аддитивной и мультипликативной  моделей сводится к расчету значений трендовой, циклической и случайной компонент для каждого уровня ряда.

     Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений или
6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.

     Если  полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного  ряда и других временных рядов.[5, c. 67]

 

      1.8 Стационарные временные ряды 

     После удаления тенденции (тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Его можно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у₁, у₂, . . . или . . ., у_-1, у₀, у₁, . . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

     Несмотря  на полную произвольность вероятностных  моделей последовательностей случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.

     Одним из таких упрощений является свойство стационарности. Будем считать, что поведение множества случайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени.

     Случайный процесс y(t) с непрерывным параметром времени можно определить для 0 ≤ t < ∞ или -∞ < t < ∞ и рассматривать с привлечением вероятностной меры на пространстве функций y(t). Выборка из такого процесса состоит из наблюдений в конечном числе точек времени , или из непрерывных наблюдений в интервале времени.

     Наблюдение  процесса, часто называемое реализацией, есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счётного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.

     Практически мы интересуемся вероятностями, которые  связаны с конечным числом случайных  величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения. [24, c. 88]

     1.9 Применение быстрого преобразования Фурье к стационарному временному ряду

 

       Одно из назначений преобразования  Фурье- выделять частоты циклических  составляющих временного ряда, содержащего случайную компоненту.

     Пусть число данных N представимо в виде N = N₁ N₂. Тогда можно записать  

       t = t₁ + (t ₂-1)N₁ , t₁ = 1, . . ., N₁ , t₂ = 1, . . ., N₂ ;

       j = j₁ + j ₂N₂ , j₁ = 0, . . ., N₂ – 1 , j₂ = 0, . . ., N₁ - 1; 

     Отметим, что a_{N – j} = a_j и b_{N – j} = - b_j . Искомые коэффициенты являются соответственно действительной и мнимой частями суммы: 

     

       (1.9.1)

 

        

     Для их отыскания вычислим сначала величины  

      

        

     Для каждой пары ( j₁, t₁ ) , j₁ = 0, . . ., N₂ – 1 и t₁ = 0, . . ., N₁ . Поскольку 

       и ,  

     то  существует около N₁N₂/2 = N/2 таких пар. После этого находятся действительная и мнимая части суммы (1.9.1): 

      

        

     для j = 0,1, . . ., [N/2]. Число операций умножения приближённо равно N₂N в первых суммах и 2N₁N во вторых суммах, так что число операций умножения в целом составляет примерно N (N₂ + 2N₁). В то же время число произведений в определении коэффициентов a_j и b_j , j=0,1, . . ., [N/2] примерно равно N². [20, c.98], [21, c.78]

 

      1.10 Автокорреляция остатков. Критерий Дарбина- Уотсона 

     Для каждого момента (периода) времени  t = 1 : N значение компоненты e_t для аддитивной модели определяется как  

       , 

     где - сумма циклической и трендовой компонент, а для мультипликативной модели: 

        

     где - произведение циклической и трендовой компонент.

       Ошибки измерений нам неизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.

     Рассматривая  последовательность остатков как временной  ряд , можно построить график их зависимости  от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки e_t должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов часто встречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

     Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых в модель.