Анализ временных рядов

     1.3 Моделирование тенденции временного ряда

 

     Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической  функции, характеризующей зависимость  уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

     Пусть имеются следующие фактические  уровни ряда:  

       у₁, у₂, . . ., у_n. 

     Характер  изменения этих уровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Нашей задачей является нахождение такой простой математической формулы, которая давала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.

     Поскольку зависимость от времени может  принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейный тренд: y_t = a₀ + a₁t;
• гипербола: y_t =a₀ + a₁/t;
• экспоненциальный тренд: y_t = e ^{a + bt} ;
• тренд в форме степенной функции: y_t = at^b;
• парабола второго и более порядков:

 

     y_t = a₀ + a₁t + a₂ t ² + . . . +a_k t ^k . 

     Аналитическое выравнивание есть не что иное, как  удобный способ описания эмпирических данных.

     Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое  выравнивание , могут быть сведены  к следующим:

1. Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию:

 

     y_t = a₀ + a₁ t,  

     где y_t считается как у, выровненный по t.

     2) Если приросты приростов уровней, то есть ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:  

     y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ² . 

     Показатели  а₀, а₁ и а₂ представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами: а₀ –начальный уровень; а₁ – начальная скорость ряда и а₂ – ускорение или вторая скорость.

     3) Если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производится по показательной (экспонентной функции): 

     y_t = a₀ a₁^t. 

     В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y _{t –1} тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

     При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения тенденции  обычно осуществляется экспериментальным  методом , то есть путём сравнения  величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у – у_t). Величина этих отклонений и лежит в основе расчёта остаточной дисперсии: 

       (1.3.1)

     Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.

     1.4 Метод наименьших квадратов

 

     Для нахождения аналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровней временного ряда, применяют различные способы. Один из таких способов – метод наименьших квадратов - основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей: 

      (у₁ – у₁)² + (у₂ – у₂)² + . . . + (у_n – y_n)² = S.  

     S должно быть наименьшим (минимальным)

     Принцип, положенный в основу метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическом виде следующим образом: 

     ∑ (y – y_t)² = min. (1.4.1) 

     Из  курса математического анализа  известно, что при нахождении минимума функции нужно найти частные производные и приравнять их к нулю. Найдём минимум функции, используя уравнение параболы.

     Имеем:  

     ∑ (y – y_t )² = S; (1.4.2)

     заменяем: 

     y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ²  

     и получаем:

     ∑( y - a₀ - a₁ t - a₂ t ² )² = S. 

     Находим частные производные функции  S сначала по параметру а₀, а затем по а₁ и а₂, и приравниваем их к нулю. 

      ; 

      ; (1.4.3) 

      . 

     Преобразовывая, получаем: 

        ;

       ; (1.4.4)

       . 

     Полученная  система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров а₀ , а₁ и а₂ при выравнивании по параболе второго порядка.

     При выравнивании по показательной функции y_t = a₀ a₁^t параметры а₀ и а₁ определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путём решения системы нормальных уравнений: 

        ; (1.4.5)

       .

     1.5 Приведение уравнения тренда к линейному виду

 

     Если  тренд представляет собой нелинейную функцию, то методы линейного регрессионного анализа для оценки его параметров неприменимы. Но к некоторым нелинейным функциям мы можем применить такие преобразования, которые приведут нас к линейному уравнению.

     Если  наш тренд представлен степенной  линией регрессии, то есть он имеет  вид: 

     y_t = a₀t^a1, (1.5.1) 

     то  логарифмируя обе части равенства, получим: 

     ln y_t = ln a₀ + a₁ ln t.  

     Отсюда  видно, что, введя новые переменные  

     z = ln y_t , x = ln t,  

     мы  получим уравнение вида 

     z = b₀ +a₁x, 

     где b₀ = ln a₀. Это обычное линейное уравнение.

     Если  линия тренда – парабола второго  порядка 

     y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ² , 

     то заменой вида: х₁ = t, x₂ = t ²,

     мы получим линейную функцию двух переменных: 

     y_t = a₀ + a₁ х₁ + a₂ х₂ . 

     Оценку  параметров такой функции можно  провести методами линейного регрессионного анализа для множественной регрессии. [5, c.29]

     Далее приведём основные понятия регрессионного анализа, которые используются для оценки параметров.

     1.6 Оценка параметров уравнения регрессии

 

     Уравнение регрессии всегда дополняется показателем  тесноты связи. При использовании  линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_yt. Существуют разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции. Некоторые из них приведены ниже: 

       , (1.6.1)  

     или

     

      . (1.6.2) 

     Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах:

             -1 ≤ r_yt ≤ 1. 

     Следует иметь в виду, что величина линейного  коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в её линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю ещё не означает отсутствия связи между признаками.

     Для оценки качества подбора линейной функции  рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r_yt², называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у_t, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака: 

       (1.6.3) 

     где  

        

     общая дисперсия результативного признака у; 

       

     остаточная  дисперсия, определяемая, исходя из уравнения  регрессии  

     у_t = f(t).

     Соответственно  величина 1 – r ² характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных, не учтённых в модели факторов.

     Уравнение нелинейной регрессии, так же как  и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции R: 

       (1.6.4) 

     Иначе, индекс корреляции можно выразить как 

       

     Величина  данного показателя находится в  границах: 

     0 ≤ R ≤ 1, 

     чем ближе к единице, тем теснее связь  рассматриваемых признаков, тем  более надёжно найденное уравнение регрессии.

     Парабола  второго порядка, как и полином более высокого порядка, при лианеризации принимает вид уравнения множественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадёт с индексом корреляции.

     Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны  с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции. Так, для степенной функции у_х = ах^b после перехода к логарифмически линейному уравнению lny = lna + blnx может быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений переменных х и у, а для их логарифмов, то есть r_lnylnx. Соответственно квадрат его значения будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для у, а для его логарифмов: 

      .