Статистические методы анализа среднего уровня и вариации производственных показателей предприятия

Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет. Рассчитаем модальный стаж работы в модальном  интервале от 3 до 5 лет: Мо = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (года).

Если  размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Статистическая  медиана

Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы.

Если X задан дискретно, то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания, тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).

Например, имеются данные о возрасте студентов-заочников  в группе из 10 человек - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 лет. Эти данные уже упорядочены  по возрастанию, а их количество N=10 - четное, поэтому медиана будет  находиться между X с номерами 0,5*10=5 и (0,5*10+1)=6, которым соответствует значения X₅=21 и X₆=23, тогда медиана: Ме = (21+23)/2 = 22 (года).

Если X задан в виде равных интервалов, то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:

где Ме – медиана; 
Х_НМе – нижняя граница медианного интервала; 
h_Ме – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей); 
f_Ме – частота медианного интервала; 
f_Ме-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

В ранее  рассмотренном примере при расчете  модального стажа (на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет) рассчитаем медианный стаж. Половина общего числа работников составляет (10+20+5)/2 = 17,5 и находится в интервале  от 3 до 5 лет, а в первом интервале  до 3 лет - только 10 работников, а в  первых двух - (10+20)=30, что больше 17,5, значит интервал от 3 до 5 лет - медианный. Внутри него определяем условное значение медианы: Ме = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (года).

Также как и в случае с модой, при  определении медианы если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Показатели  вариации

Вариация - это различие значений величин X у отдельных единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, линейный коэффициент вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, квадратический коэффициент вариации.

Размах  вариации

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

Недостатком показателя H является то, что он показывает только максимальное различие значений X и не может измерять силу вариации во всей совокупности.

Cреднее линейное отклонение

Cреднее линейное отклонение - это средний модуль отклонений значений X от среднего арифметического значения. Его можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой - получим среднее линейное отклонение простое:

Например, студент сдал 4 экзамена и получил  следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4. Рассчитаем среднее линейное отклонение простое: Л = (|3-4|+|4-4|+|4-4|+|5-4|)/4 = 0,5.

Если  исходные данные X сгруппированы (имеются  частоты f), то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим среднее линейное отклонение взвешенное:

Вернемся к примеру про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4 и среднее линейное отклонение простое = 0,5. Рассчитаем среднее линейное отклонение взвешенное: Л = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Линейный  коэффициент вариации

Линейный коэффициент вариации - это отношение среднего линейного отклонение к средней арифметической:

С помощью  линейного коэффициента вариации можно сравнивать вариацию разных совокупностей, потому что в отличие от среднего линейного отклонения его значение не зависит от единиц измерения X.

В рассматриваемом  примере про студента, который  сдал 4 экзамена и получил следующие  оценки: 3, 4, 4 и 5, линейный коэффициент  вариации составит 0,5/4 = 0,125 или 12,5%.

Дисперсия

Дисперсия - это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифметического значения. Дисперсию можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой - получим дисперсию простую:

В уже  знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил  оценки: 3, 4, 4 и 5, ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4. Тогда дисперсия простая Д = ((3-4)²+(4-4)²+(4-4)²+(5-4)²)/4 = 0,5.

Если  исходные данные X сгруппированы (имеются  частоты f), то расчет дисперсии выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим дисперсию взвешенную:

В рассматриваемом  примере про студента, который  сдал 4 экзамена и получил следующие  оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию  взвешенную: Д = ((3-4)²*1+(4-4)²*2+(5-4)²*1)/4 = 0,5.

Если  преобразовать формулу дисперсии (раскрыть скобки в числителе, почленно разделить на знаменатель и привести подобные), то можно получить еще  одну формулу для ее расчета как  разность средней квадратов и  квадрата средней:

В уже  знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил  следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию методом разности средней  квадратов и квадрата средней: 
Д = (3²*1+4²*2+5²*1)/4-4² = 16,5-16 = 0,5.

Если  значения X - это доли совокупности, то для расчета дисперсии используют частную формулу дисперсии доли:

.

Cреднее квадратическое отклонение

Выше  уже было рассказано о формуле средней квадратической, которая применяется для оценки вариации путем расчета среднего квадратического отклонения, обозначаемое малой греческой буквой сигма:

Еще проще  можно найти среднее квадратическое отклонение, если предварительно рассчитана дисперсия, как корень квадратный из нее:

В примере  про студента, в котором выше рассчитали дисперсию, найдем среднее квадратическое отклонение как корень квадратный из нее: .

Квадратический  коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации - это самый популярный относительный показатель вариации:

Критериальным значением квадратического коэффициента вариации V служит 0,333 или 33,3%, то есть если V меньше или равен 0,333 - вариация считает слабой, а если больше 0,333 - сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной, а средняя величина - нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                      Примеры к теоретической части:                     

     Задача: Запасы материала на предприятии в I квартале составили 300 м², во II квартале 350 м². Плановая потребность в материале за квартал составляет 300 м².                     

Определить:

1) средний  запас материала на предприятии;

2) обеспеченность материалом, в днях;

3) запасаемость;

4) коэффициент  оборачиваемости;

5) коэффициент закрепления;

6) среднюю  продолжительность оборота, в  днях. 

Решение:

1) Средний  запас: 

Определим среднесуточную потребление материала:

2) Обеспеченность  предприятия материалом в днях:

3) Запасаемость:

4) Коэффициент  оборачиваемости: 

5) Коэффициент  закрепления: 

6) Среднюю  продолжительность оборота, в  днях.:

                             
 
 

ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ 

                               Задание № 1                              

Имеются следующие данные по 30 строительным организациям региона (выборка 10%-ная механическая) об объеме выполненных работ и численности рабочих за год:

№ предприятия	Численность рабочих, чел.	Объем выполненных  работ, млн.руб.
1	110	19
2	123	17
3	133	24
4	142	25
5	135	25
6	128	21
7	131	23
8	139	28
9	126	20
10	138	26
11	115	22
12	108	16
13	129	21
14	140	23
15	98	16
16	125	17
17	114	18
18	118	25
19	98	14
20	140	22
21	160	25
22	124	18
23	117	23
24	80	12
25	112	20
26	143	25
27	102	17
28	127	21
29	132	24
30	130	23

 

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения строительных      организаций
2. По объему выполненных работ, образовав 4 группы с равными       интервалами.

2.  Постройте графики ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.

3. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4.    Вычислите среднюю величину по  исходным данным. Сравните ее  величину с аналогичным показателем п. 3. Объясните причину их несовпадения. Сделайте выводы.

 Для начала определим содержание и кратко опишем  применяемые методы:

     Статистическая группировка в зависимости от решаемых задач подразделяются на типологические, структурные аналитические. Статистическая  группировка позволяет дать характеристику размеров, структуры и взаимосвязи изучаемых явлений, выявить их закономерности. Важным направлением в статистической сводке является построение рядов распределения, одно из назначений которых состоит в изучении структуры исследуемой совокупности, характера и закономерности распределения.

     Ряд распределения – это простейшая группировка, представляющая собой распределение численности единиц совокупности по значению какого-либо признака.

Ряды  распределения, в основе которых  лежит качественный признак,  называют атрибутивным. Если ряд построен по количественному признаку, его называют вариационным.

При построении вариационного ряда с равными  интервалами определяют его число групп ( )  и величину интервала ( ).

Оптимальное число групп может быть определено по формуле Стерджесса:

     ,                                   

где - число единиц совокупности.

Величина  равного интервала рассчитывается по формуле:

                                            

где k – число выделенных интервалов.

     Средняя – является обещающей характеристикой совокупности единиц по качественно однородному признаку.

В статистике применяются различные виды средних: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структурные средние – мода и медиана. Средние, кроме моды и медианы, исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Выбор формы средней зависит от исходных  данных и содержание определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная.