Модель оцеки капитальных активов

Такое упрощенное выражение для среднеквадратического  отклонения можно использовать только при условии, что r =1.

Если коэффициент  корреляции равен - 1, то активы связаны  отрицательной линейной зависимостью. Рис. 4 показывает, что когда r = - 1, можно  составить такой портфель, риск которого будет нулевым. Если портфель на 100% состоит из активов вида В, то мы находимся в точке В. По мере того как мы заменяем часть активов В на А, и риск, и ожидаемая доходность снижаются до тех пор, пока не достигнута точка С и риск портфеля не стал равным нулю. Если в портфель включается все больше активов типа А, инвестор катится вниз по отрезку СА. Риск увеличивается, ожидаемая доходность падает.

Любая точка  отрезка СА доминирована одной или несколькими точками на отрезке СВ (т.е. во всех отношениях хуже их). Ни один инвестор не захочет иметь такое количество активов типа А, при котором его портфель находится на отрезке СА.

Рис. 4. Отрицательная линейная зависимость

Коэффициент корреляции может принимать значения от - 1 до +1. Рис.5 показывает область возможных  портфелей при различной величине r . Если r = 0, то область допустимых портфелей  — это кривая, проходящая внутри треугольника АВС. Если сначала все наши инвестиции состоят только из В, замена части активов В на активы А уменьшит риск. Если r < 0, то потенциал снижения риска еще выше. Это не удивительно: ведь риск А меньше, чем риск В.

Рис.5. Две ценные бумаги и разные значения коэффициента корреляции r

Однако предположим, что сначала наш портфель полностью  состоит из А, а затем мы добавили в него активы типа В, риск которых больше, чем риск А, и доходность выше, чем у А. Если r < 1, то существуют такие комбинации А и В, что доходность всего портфеля в целом выше, чем у А, а дисперсия ниже, чем у А. Поэтому любой инвестор, для которого полезность портфеля зависит только от ожидаемой доходности и дисперсии, предпочтет именно такой портфель. Это замечательный результат. Хотя ожидаемая доходность портфеля всегда не более чем средневзвешенная ожидаемых доходностей входящих в него ценных бумаг, дисперсия доходности всего портфеля может оказаться меньше, чем средняя из дисперсий его компонентов. Вот почему выгодна диверсификация.

В формировании портфеля область допустимых значений включает в себя все портфели, которые  только можно сконструировать из доступных ценных бумаг. Если все  доступные ценные бумаги рискованные (с ненулевой дисперсией), то область  допустимых значений будет расположена  справа от вертикальной оси или на оси (если коэффициент корреляции равен - 1, существует комбинация, расположенная  на вертикальной оси). Если сделки с  ценными бумагами без покрытия на срок не допускаются, то корреляция, равная в точности - 1, при обычных условиях на рынке акций будет невозможна.

1.3 Инвесторы

Осторожный инвестор хочет, чтобы ожидаемая доходность увеличивалась при увеличении риска (риск определен как дисперсия  исходов).

Метод САРМ основан  на предположении, что инвесторы, максимизирующие прибыль, 1) осторожны; 2) измеряют риск инвестиционного портфеля как дисперсию доходности инвестиционного портфеля и 3) их кривые безразличия (все комбинации ожидаемых доходностей и дисперсий, которые имеют одинаковую полезность для инвестора) имеют вид, показанный на рис.6. По определению, любая точка на кривой безразличия U₁ одинаково желательна для инвестора; следовательно, так как в точке В ожидаемая доходность выше, а риск такой же, как и в точке А, осторожный инвестор предпочтет точку В точке А. Наконец, точка В лежит на кривой безразличия U₁, а все точки кривой U₁ более предпочтительны, нежели точки кривой U₀. Точка В предпочтительнее по сравнению с точкой С, так как ее ожидаемая доходность такая же, а риск меньше.

1.3.1 Анализ портфеля, состоящего из ценных бумаг,

свободных от риска

До сих пор  мы указывали, что инвестор, имеющий  некоторые ожидания, должен определить для себя набор эффективных портфелей  и затем выбрать из них тот, который лежит на кривой безразличия  с наивысшей полезностью. Наши наблюдения касались только индивидуальных портфелей. У нас нет сведений о том, каким  образом на рынке происходит обмен  ожидаемой доходности на риск.

Рис.6. Кривая безразличия  для двух инвесторов

1.3.2 Граница эффективности

На рис.7 показаны три портфеля. Ожидаемая доходность отложена по оси Y, а среднеквадратическое отклонение доходности — по оси X. На основе данных рис.7 заключаем, что

1. портфель 2 предпочтительнее  портфеля 1 (одинаковый риск и  более высокая средняя доходность);

2. портфель 3 предпочтительнее  портфеля 1 (одинаковая ожидаемая  доходность при меньшем риске).

Рис. 7. Выбор портфелей

Любой портфель, расположенный в области, ограниченной векторами а и b, предпочтительнее, чем портфель 1. Полезность увеличивается, если двигаться вверх, налево или  по диагонали вверх и налево. Если сравнивать портфели 2 и 3, то мы не сможем сделать окончательный выбор  между ними. Доходность портфеля 2 выше, но и риск больше. Выбор будет  зависеть от предпочтений инвесторов.

Если предположим, что существует ценная бумага, свободная  от риска, и разовьем теорию портфеля дальше так, чтобы она охватывала и такую ситуацию, мы сможем глубже понять проблему. Правительственные  облигации, которые инвесторы держат до момента погашения, по сути своей  являются именно таким надежным активом. Таким образом, каждому инвестору  доступна ценная бумага, свободная  от риска. Здесь слова "свободная  от риска" указывают только на отсутствие риска неуплаты, но не относятся  к другим типам риска.

Рассмотрим свободную  от риска ценную бумагу, процент  по которой совпадает со стоимостью денег во времени (например, доходность казначейского векселя США за один период). Если приобретены два портфеля, один — состоящий только из ценных бумаг, свободных от риска, а другой — из более рискованных ценных бумаг, имеющих хождение на рынке (с параметрами ), ожидаемая средняя доходность и среднеквадратическое отклонение различных портфелей будут расположены на прямой, проходящей через точки r_f и М, как показано на рис. 8. Эта линия прямая потому, что коэффициент корреляции доходности ценной бумаги, свободной от риска, и доходности любой другой рискованной или свободной от риска ценной бумаги всегда равен нулю. Точка М — это точка касания прямой, проходящей через r_f, с границей эффективности, определенной без учета безопасных активов. Хотя существуют и другие портфели, состоящие из комбинации эффективных портфелей и безрисковых активов (другие точки на границе эффективности ЕЕ), ни один из них не является столь же желательным, как портфели, расположенные на линии r_f М. Линия r_f М называется линией рынка капитала (capital market line).

Рис. 8. Линия рынка капитала и граница эффективности

Если инвестиционный портфель на 100% адекватен портфелю в точке М, то доходность вложений инвестора будет равна r_m, а риск s _m. Если часть активов портфеля М заменить на безопасные ценные бумаги, то отрезок r_f М определяет область допустимых комбинаций ожидаемой доходности и риска.

Если инвестор пополняет инвестиционные ресурсы  путем привлечения заемного капитала под процент, равный r_f, и вкладывает полученные деньги в портфель М, то на луче, продолжающем отрезок r_f М вправо, расположены все возможные комбинации ожидаемой доходности и риска. Так как капитал взят под процент r_f и инвестирован под процент r_m, где r_m > r_{f ,} заем увеличивает ожидаемую прибыль, но и риск портфеля тоже растет.

Выберем точку  на кривой ЕЕ, отличную от М. Заметьте, что при том же риске можно добиться и более высокой ожидаемой ставки доходности, если комбинировать портфель М и вложения в ценные бумаги, свободные от риска, находясь при этом на линии r_f М. Линия r_f М предлагает ряд инвестиционных возможностей, каждая из которых по крайней мере столь же желанна, как и любая точка на границе эффективности (как и любой набор инвестиционных возможностей, за исключением вложений в активы, свободные от риска).

Различные инвесторы (с разной степенью осторожности, с  разным отношением к риску) будут  держать оптимальные портфели, которые  находятся в различных точках линии рынка капитала, но все оптимальные  портфели будут состоять из комбинации активов, свободных от риска, и портфеля М, который называется рыночным портфелем (market portfolio).

Процесс выбора оптимального портфеля состоит из двух этапов. На первом этапе находят  рыночный портфель — точку М. Если ожидания всех инвесторов совпадают, то все инвесторы будут держать часть одного и того же рыночного портфеля. Второй этап — нахождение оптимальной точки на линии r_f M . Это оптимальная комбинация рыночного портфеля М и свободных от риска активов. Эти два этапа основаны на теореме о разделении (separation theorem), которую впервые предложил Тобин (Tobin).

Рыночный портфель состоит из всех видов рискованных  активов, взятых в пропорции, соответствующей  их доле на рынке. Общая цель всех инвесторов — достичь максимальной диверсификации, и они стремятся включить в  свой портфель ценные бумаги всех видов, какие только есть. В понятие "ценная бумага" здесь включаются обыкновенные акции и все остальные ценные бумаги, которые имеют хождение на рынке. Таким образом, варранты, конвертируемые облигации, привилегированные акции  тоже будут включены в портфель.

Принимая решение  о размещении своих капиталов  в активы, инвесторы не пытаются предсказать будущее изменение  стоимости каждой отдельно взятой ценной бумаги, но используют уже готовые  рыночные оценки. Таким образом, если доля обыкновенных акций компании Х  в общем объеме всех акций на рынке  составляет 0.35%, то акции Х должны составлять 0.35% той части инвестиционного  портфеля, которая состоит из акций. Инвестор буквально покупает "кусочек  рынка капитала". Получившийся в  результате набор инвестиций будем  называть рыночным портфелем.

САРМ предполагает, что вследствие высокой диверсифицированности рыночного портфеля и осторожности большинства инвесторов цены на ценные бумаги, входящие в рыночный портфель, находятся на таком уровне, что инвестор не может добиться более высокой доходности при том же или более низком уровне риска от каких бы то ни было иных инвестиций. Однако уровень риска рыночного портфеля может быть слишком высоким или слишком низким для конкретного инвестора. Инвесторы могут снизить рискованность своих вложений, продолжая инвестировать в рыночный портфель и дополнительно покупая активы, свободные от риска.

Вне зависимости  от места расположения оптимального портфеля на графике каждый инвестор (кроме тех, что находятся на левой  границе отрезка) компенсирует риск таким уровнем доходности, который  соответствует углу наклона прямой, т.е. наклон кривой безразличия инвестора в точке касания с линией эффективного портфеля равен углу наклона прямой. Такой предельный уровень доходности, представляющий собой компромисс между риском и доходом, равен . Такое компромиссное решение доступно каждому инвестору.

Если инвестор может брать в долг под процент  r_f и согласен подвергать себя риску, большему, чем s _m, то состояние его описывается движением вверх по лучу, продолжающему отрезок r_f М. Использует ли инвестор заемный капитал (движение вправо от точки М) или вкладывает капитал в ценные бумаги, свободные от риска (движение влево от точки М), — зависит от его склонности к риску. Но все инвесторы будут держать рыночный портфель за исключением тех, что купят только активы, свободные от риска.

При выборе портфеля были использованы два критерия: ожидаемая  доходность и среднеквадратическое отклонение портфеля. Рассматривая риск конкретной ценной бумаги, в качестве меры риска мы выберем ковариацию доходности по этой ценной бумаге и  доходности рыночного портфеля.

1.4 Линия рынка капитала

Пусть r_f представляет собой процент, который можно заработать на государственных ценных бумагах со сроком погашения через 1 период. Для инвестора, горизонт планирования которого равен одному периоду, приобретение государственных ценных бумаг сроком на один период не будет связано с риском невозврата капитала. Назовем такие государственные ценные бумаги "безрисковыми активами" (default-free asset), так как мы рассматриваем исключительно риск неуплаты. Теперь рассмотрим возможные портфели, которые можно было бы составить, комбинируя рыночный портфель с такими государственными ценными бумагами. Пусть наш воображаемый инвестор вложил долю a своих активов в рыночный портфель и долю (1 - a ) - в государственные ценные бумаги. Пусть a > 0. Обозначим через , ожидаемую доходность на каждый вложенный в рыночный портфель доллар. Аналогично пусть s _m обозначает среднеквадратическое отклонение доходности r_m, рыночного портфеля. Тогда ожидаемая доходность инвестиционного портфеля задана уравнением:

(1)

а среднеквадратическое отклонение — выражением:

(2)