Метрологическая надёжность СИ

Часто пользуются «правилом трех сигм», т.е. доверительным  интервалом +/-3s, для которого доверительная  вероятность составляет 99,73%. На этом основании можно сформулировать следующее правило: если при многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера сомнительное значение результата измерения отличается от среднего значения больше чем на 3s, то с вероятностью 0.997 оно является ошибочным и его следует отбросить. Это правило называется «правилом трех сигм». 

Пример: одной  из причин рассеяния результатов  радиотехнических измерений служит «шум» первых каскадов усиления в  измерительных преобразователях. Напряжение «шума» является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения вероятности с нулевым средним значением и дисперсией, равной мощности «шума», выделяемой на сопротивлении 1 Ом. 

Определить, не содержится ли ошибок в следующих  экспериментальных данных, полученных при измерении мгновенного значения шумового напряжения (в мВ) при отсутствии полезного сигнала: -4,2; 0,3; 5,7; -1,6; -7,2; 3,9; 2.2; -0.1; 1,4, если мощность «шума», выделяемая на нагрузке 1 Ом, равна 4мкВт. 

Решение. Среднее  квадратическое отклонение мгновенного  значения шумового напряжения составляет 2 мВ. По «правилу трех сигм» нужно признать, что в пятом случае допущена какая-то ошибка. 

Можно, конечно, принимать решения и с меньшей  вероятностью. В рассмотренном примере  с вероятностью, например, 0,99, допущена ошибка и в третьем случае. На практике, однако, преимущественное распространение получило «правило трех сигм». Условием его применимости служит уверенность в том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности. 

2.2.3. Случайная погрешность среднего значения 

Чтобы избежать недостоверности случайной погрешности  единичного замера, можно усреднить  несколько измерений. Полученное таким  образом среднее значение представляет собой все же случайную величину, так как n измеренных значений представляют лишь выборку из генеральной совокупности. Это среднее значение в свою очередь имеет нормальное распределение и то же самое математическое ожидание M, но среднеквадратичное отклонение у него меньше, чем при единичном измерении.  

Между среднеквадратичным отклонением среднего значения и среднеквадратичным отклонением единичного измерения имеется следующее соотношение:  

Усреднение позволяет  уменьшить доверительную границу  погрешности при заданной доверительной  вероятности пропорционально 1/ . 

Последнее соотношение устанавливает связь между теоретическими значениями и s, в большинстве случаев не имеющимися в наличии. Ведь среднеквадратичное отклонение s могло бы быть вычислено по очень большому, теоретически бесконечно большому числу измеренных значений. Если число измерений невелико, то для s вычисляют оценку S по тем же самым n измеренным значениям, по которым определяется среднее значение xср. Но в этом случае и доверительная граница уже не могут быть определены из соотношения для . Определение этих величин осуществляется на основе t – распределении Стьюдента. То есть при небольшом объеме экспериментальных данных среднее арифметическое значение результата измерения, подчиняющееся нормальному закону распределения вероятности, само подчиняется закону распределения вероятности Стьюдента (псевдоним В.С. Госсета) с тем же средним значением. При увеличении n распределения вероятности Стьюдента быстро приближается к нормальному, становясь почти неотличимым от него уже при n > 40…50. 

Рис. 2.1. t – распределение Стьюдента: вероятность события

для различного числа степеней свободы 

В соответствии с вышеизложенным порядок действий при обработке небольшого объема экспериментальных данных следующий: 

1. Выбирают доверительную  вероятность P (например, 95,99% и т.п.).

2. Рассчитывают  среднее значение по формуле  

3. Определяют :  

где   n –  объем выборки;

n-1 = nf – число  степеней свободы. 

4. По рис. 5.1 определяют  коэффициент Стьюдента: c = f(P, nf).

5. Определяют  доверительные границы погрешности  среднего значения xср: 

При совсем незначительном количестве экспериментальных данных (n < 10…15) и принятой гипотезе о том, что результат измерения подчиняется  нормальному закону распределения  вероятности, выявление ошибок по «правилу трех сигм» не производится. Как видно из рис. 5.1, доверительный интервал при фиксированной доверительной вероятности с уменьшением объема экспериментальных данных расширяется; точность измерений, следовательно, снижается, приближаясь к точности однократного измерения.