Метрологическая надёжность СИ

3.2. Дополнительная  погрешность – составляющая погрешности  средства измерений, возникающая  дополнительно к основной погрешности  вследствие отклонения какой-либо  из влияющих величин от нормального  ее значения или вследствие  ее выхода за пределы нормальной  области значений. Дополнительная погрешность может быть вызвана изменением сразу нескольких влияющих величин. Дополнительная погрешность – это часть погрешности, которая добавляется (алгебраическое сложение) к основной в случаях, когда измерительное устройство применяется в рабочих условиях.  

Рабочие условия  обычно таковы, что изменения значений влияющих величин для них существенно  больше, чем для нормальных условий, т.е. область рабочих условий включает в себя область нормальных условий.  

В некоторых  случаях основная погрешность измерительных устройств определяется также для рабочей области изменения значений влияющих величин. В этих случаях понятие дополнительной погрешности теряет смысл. 

4. По условиям  и режиму измерений. 

4.1. Статическая  погрешность средства измерений, статическая погрешность – погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную. 

4.2. Динамическая  погрешность средства измерений  – погрешность средства измерений,  возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины. 

5. По форме  значения измеряемой величины. 

5.1. Аддитивная  погрешность средства измерений  (погрешность нуля) – погрешность,  остающаяся постоянной при любых  значениях измеряемой величины. Аддитивная погрешность возникает в случае смещения реальной функции преобразования относительно номинальной на одну и ту же величину.  

Если аддитивная погрешность является систематической, то она может быть устранена. Для  этого в измерительных устройствах  имеется специальный настроечный узел (корректор) нулевого значения выходного сигнала. 

Если аддитивная погрешность является случайной, то ее нельзя исключить, реальная функция  смещается по отношению к номинальной  во времени произвольным образом. При  этом для реальной функции преобразования можно определить некоторую полосу, ширина которой остается постоянной при всех значениях измеряемой величины. Возникновение случайной аддитивной погрешности обычно вызвано трением в опорах, контактным сопротивлением, дрейфом нуля, шумом и фоном измерительного устройства.  

5.2. Мультипликативная  погрешность (погрешность чувствительности) – погрешность линейно возрастающей  или убывающей измеряемой величины. Графически появление мультипликативной  погрешности интерпретируется поворотом реальной функции преобразования относительно номинальной. Если мультипликативная погрешность является случайной, то реальная функция преобразования представляется полосой.  

Причиной возникновения  мультипликативной погрешности  обычно является изменение коэффициентов преобразования отдельных элементов и узлов измерительных устройств. 

5.3. Погрешность  линейности – систематическая  погрешность, при которой отличие  реальной и линейной номинальной  функций преобразования вызвано  нелинейными эффектами. 

Причинами данной погрешности могут быть конструкция (схема) измерительного устройства и нелинейные искажения функции преобразования, связанные с несовершенством технологии производства. 

5.4. Погрешность  гистерезиса (погрешность обратного  хода) – систематическая погрешность, выражающаяся в несовпадении реальной функции преобразования измерительного устройства при увеличении (прямой ход) и уменьшении (обратный ход) измеряемой величины. 

Погрешность гистерезиса  является наиболее существенной и трудноустранимой, причинами ее возникновения могут быть: люфт и сухое трение в механических передающих элементах, гистерезисный эффект в ферромагнитных материалах, явление поляризации в электрических, пьезоэлектрических и электрохимических элементах, явление упругого последействия в упругих чувствительных материалах и др. 

2.2. Основы теории измерений. Основной постулат метрологии 

Любое измерение  по шкале отношений предполагает сравнение неизвестного размера  с известным и выражение первого  через второе в кратном или  дольном отношении. 

Главной особенностью измерительной процедуры является то, что при ее повторении отсчет каждый раз получается разным. На основании  громадного опыта практических измерений, накопленного к настоящему времени, может быть сформулировано следующее  утверждение, называемое основным постулатом метрологии: отсчет является случайным числом. На этом постулате, который легко поддается проверке и остается справедливым в любых областях и видах измерений, основана вся метрология. 

Для изучения свойств  случайных событий в больших объемах используют аппарат теории вероятностей и математической статистики. При этом рассматривается появление случайных погрешностей как случайных событий при многократно повторяемых наблюдениях. 

Для дальнейшего  рассмотрения теории случайных погрешностей кратко приведем основные термины и понятия теории вероятностей и математической статистики. 

В теории вероятностей случайным называется такое событие, которое может произойти или  не произойти при осуществлении  определенного комплекса условий. Для измерений это понятие можно трансформировать так, что при повторных наблюдениях в одинаковых условиях каждая из множества возможных незначительных причин случайных изменений результата может или появиться, или нет.  

Если обозначить истинное значение измеряемой величины через а, то можно написать следующее равенство:  

 

где   i –  номер наблюдения, хi – результат  наблюдения; di – случайная погрешность. 

Вероятность наступления  события А есть отношение числа  появлений события А (m) к общему числу событий (n):  

 

Вероятность является численной оценкой объективной  возможности появления события. Вероятность достоверного события = 1, а вероятность невозможного события = 0. 

Определение вероятности  подсчетом оказывается крайне затруднительным  в определенных случаях. Обычно применяется статистический метод определения вероятности события, который опирается на то, что в результате длительных наблюдений явлений массового характера, было установлено, что то или иное событие сохраняет устойчивую частоту появления по отношению к общему числу всех рассматриваемых событий. Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов можно утверждать, что частота появлений событий будет сколь угодно мало отличаться от их вероятности.  

2.2.1. Законы распределения  случайных величин 

Дискретной случайной  величиной называют такую величину, возможные значения которой представляют собой конечную или бесконечную  последовательность чисел. Чтобы охарактеризовать дискретную случайную величину, необходимо знать возможные ее значения и вероятность каждого из этих значений. В качестве примера рассмотрим ситуации, возникающие при бросании двух игральных костей. Сумма очков может принимать значения от 2 до 12. Вероятность разных значений суммы будет разная. Сумма 2 выпадет только при одной комбинации, 3 – при двух и т.д. Все возможные комбинации и соответствующие вероятности появления каждой из них сведем в таблицу: 

 

Расположив возможные  значения случайной величины по возрастанию  на горизонтальной оси, а по вертикальной отложив вероятность их появления, получим график распределения случайной величины. 

Если рассеяние  результата измерений одной и  той же физической величины постоянного  размера является следствием множества  причин, вклад каждой из которых  незначителен по сравнению с суммарным  действием всех остальных, то результат измерения при этом подчиняется так называемому нормальному закону, кривые плотности распределения вероятности которого описываются уравнением: 

 

где р(х) – плотность вероятности;

х – значение случайной величины;

а=М(х) – математическое ожидание случайной величины х;

s – среднеквадратичное  отклонение случайной величины  х.

Математическое  ожидание случайной величины – это  сумма произведений всех возможных  значений случайной величины на вероятность  этих значений: 

 

Для непрерывных  случайных величин надо переходить к интегрированию: 

 

Математическое  ожидание при нормальном распределении  соответствует истинному значению измеряемой величины.

Дисперсия D(x) –  мера рассеяния случайной величины. Для дискретной: 

 

Для непрерывной: 

 

Среднеквадратичное отклонение: 

Среднеквадратичное  отклонение удобнее дисперсии в  том смысле, что ее размерность  совпадает с размерностью самой  случайной величины. Среднеквадратичное отклонение часто называют среднеквадратичной погрешностью.

Среднеквадратичное  отклонение соответствует характерной точке кривой нормального распределения. Абсциссам +/-s соответствуют точки перегиба кривой. Вероятность того, что случайные погрешности измерения не выйдут за пределы +/-s, составляет 0,6826.

Среднее арифметическое определяется по формуле: 

 

где  х –  среднее значение,

хi – результат i-го наблюдения,

N – число  наблюдений. 

2.2.2. Доверительный интервал и доверительная вероятность 

Рассматривая  характеристики нормального распределения, мы уже отмечали, что вероятность  появления погрешности, не выходящей за пределы +/-,s составляет 0,6826. В этом случае +/-s рассматривается как граница интервала, в пределах которой с указанной вероятностью лежит отклонение дельта. При нормальном распределении вероятность попадания случайной величины в интервал от -Е до +Е выражается формулой: 

 

где                                             при t>0 
 

Ф(t) называется интегралом Лапласа или доверительной  вероятностью, соответствующей доверительному интервалу +/-Е, а величину 1 – Ф(t) – уровнем значимости. Обычно доверительную вероятность выбирают исходя из конкретных условий. Например, для изготовления какой-либо детали можно считать удовлетворительным значение 0,995 для вероятности того, что отклонение размера не выйдет за пределы заданного интервала. В технике вероятность выражают в процентах – 99,5%. Соответственно, уровень значимости или вероятность того, что детали не будут удовлетворять данному требованию, 0,5%. Это означает, что в среднем будет отбракована 1 деталь из 200. Такая вероятность соответствует доверительному интервалу +/- 2,81.