Использование игровых моделей в принятии управленческих решений на предприятии

     Стратегия B₂ является доминирующей над стратегией B₃, т.к. каждый элемент третьего столбца меньше или равен соответствующего элемента второго столбца. Значит, игроку B не выгодно пользоваться стратегией B₂, удаляем ее.

     Т.к. каждый элемент третьей строки больше соответствующего элемента четвертой  строки, то вычеркиваем четвертую  строку.

     Стратегия B₄ доминирует над стратегией B₃, значит, она является не выгодной для игрока В, поэтому ее вычеркиваем. В результате получаем матрицу (таблица 5):

     Таблица 5 – Упрощенная матрица прибыли

	В1	В2	В4
А1	4	2	6
А2	3	6	2

 
     

2. Находим верхнюю  и нижнюю цену игры.

         α= max (2, 2) = 2 – нижняя цена игры.

         β = min (4, 6,6) = 4 –верхняя цена игры.

     Т.к. , то игра не имеет седловой точки, значит, оптимальные стратегии игроков А и В будем находить в области смешанных стратегий. При этом цена игры будет находиться в пределах от 2 до 4, т.е. .

     Для определения оптимальных смешанных  стратегий воспользуемся графическим  методом. Для начала составляем задачи: 

          (6)                (7) 

      Поскольку задача (6) содержит две переменные, то ее будем решать графическим методом (рисунок 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 2 – Графическое решение задачи (6)

     Определим множество решений первого неравенства. Оно состоит из уравнения и строгого неравенства . Для решения уравнения построим прямую по двум точкам (4, 0) и (0, 3) и определим область решения неравенства - верхняя полуплоскость (рисунок 2). Аналогичным образом строим области решения двух других неравенств.

     Из  графика видно, что минимум целевой  функции достигается в точке  М, которая является пересечением первой и второй прямой. Находим координаты точки минимума, решив следующую систему уравнений:

  
 

     В результате получим, что , , .

     Тогда по формуле (3) вычисляем ,

 , .

     Далее определим оптимальную смешанную  стратегию 

     В оптимальном плане исходной задачи (6) , поэтому первое и второе ограничение двойственной задачи (7) обращаются в равенства. Кроме того, третье ограничение исходной задачи (6) при подстановке значений и обращается в строгое неравенство. Следовательно, в двойственной задаче (7) соответствующая ему третья переменная равна нулю, т.е. . Для определения остальных двух переменных необходимо решить систему уравнений: 
 
 

     Откуда  находим . Тогда , , . Итак, решение игры найдено:

     ;;      ν=.

     Следовательно, 3/5 части автопарка (60 машин) нужно направить на маршрут А₁, а остальные 2/5 парка (40 машины) на маршрут А₂. Маршруты А₃ и А₄ использовать не рационально. При этом прибыль, независимо от ответа компании В будет составлять 18/5 или 3,6 млн. руб. 

     Задача 2.

     Магазин может закупить в различных пропорциях товары трех типов А₁, А₂ и А₃. Их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния В₁, В₂, В₃.

     Необходимо  определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия максимизации гарантируемой прибыли. Матрица прибыли представлена следующими данными (млн. руб.) (таблица 6).

     Таблица 6 – Исходная матрица прибыли 

     

	В1	В2	В3
А1	2	5	10
А2	8	6	8
А3	12	8	6

 
 
 
 
 

     Решение:

   Проверяем игру на наличие седловой точки. Для этого находим нижнюю и верхнюю цену игры.

α= max (2, 6, 6) = 6 – нижняя цена игры.

     β = min (12, 8, 10) = 8 –верхняя цена игры.

     Т.к. , решением игры будут смешанные стратегии, а цена игры заключена в пределах .

     Доминирования стратегий, как видно по матрице, в данной игре нет, и все элементы платежной матрицы неотрицательны. Так что упрощать матрицу не требуется. Будем решать данную матричную игру путем сведения ее к задаче линейного программирования.

     Прежде  всего, составляем по матрице игры задачи: 

       (8)       и                (9)

                                                        

     Полученные  задачи (8) и (9) являются парой симметричных двойственных задач, поэтому, решив одну из них, мы автоматически получим решение второй.

     Удобнее решить задачу (9) симплекс-методом.

     Прежде  всего, необходимо привести модель к  каноническому виду. В результате получаем: 
 
 

     Далее составляем исходную симплекс-таблицу (таблица 7).

     Таблица 7

БП	СЧ	y1	y2	y3	y4	y5	y6
y4	1	2	5	10	1	0	0
y5	1	8	6	8	0	1	0
y6	1	12	8	6	0	0	1
	0	-1	-1	-1	0	0	0

   В результате решения задачи (9) симплекс-методом приходим к таблице 8, которая содержит компоненты оптимального плана 
 

Таблица 8 – Итоговая симплекс-таблица

БП	СЧ	y1	y2	y3	y4	y5	y6
y2	2/25	54/25	1	0	-3/25	0	1/5
y3	3/50	-22/25	0	1	4/25	0	-1/10
y5	1/25	52/25	0	0	-14/25	1	-2/5
	7/50	7/25	0	0	1/25	0	1/10

 

     По  формуле (5) находим цену игры и компоненты    оптимальной смешанной стратегии  игрока В: 

     , ,  

     Найдем  теперь оптимальную смешанную стратегию  игрока А. Учитывая правило формирования ответа симметричной двойственной задачи, запишем ее решение на основании последней симплекс-таблицы. Получаем:

     , . Находим компоненты оптимальной смешанной стратегии игрока А: 

     Итак, решение игры найдено: 

     ;;      ν=

     Таким образом, можно сделать вывод, что  для магазина выгоднее всего будет  закупать 28,8% товара первого типа и 71,2% второго. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     На  сегодняшний день в практической деятельности часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов.

       Теория игр все шире проникает  в практику экономических решений  и исследований. Ее можно рассматривать  как инструмент, помогающий повысить  эффективность плановых и управленческих  решений. Это имеет большое  значение при решении задач  в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении договоров с иностранными партнерами на любых уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий городского транспорта и др.

     В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции  конкурентов на изменение цен, модификацию  и освоение новой продукции, предложения  дополнительного обслуживания и  т.д. Теория игр используется реже, чем  другие модели, так как ситуации в реальном мире очень сложны и  часто меняются. Но, тем не менее, теория игр полезна для определения  наиболее важных и требующих учета  факторов в ситуации принятия решений  в условиях конкурентной борьбы. Благодаря  применению данной теории организация  может прогнозировать действия конкурентов, что является преимуществом и  увеличивает конкурентоспособность.

     Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков  в конфликтной ситуации, т. е. определение  «оптимальной стратегии» для каждого  из них.

     В данной работе были рассмотрены основные понятия теории игр, проведена классификация, проиллюстрированы практическое применение основных стратегий теории игр.

     Изучив применение игровых моделей в процессе принятия управленческих решений на предприятии, можно сделать вывод о необходимости использования теории игр в современных экономических условиях. В условиях выбора очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, обладающая различными методами решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные.