Использование игровых моделей в принятии управленческих решений на предприятии

     Таблица 1 – Платежная матрица

	В1,…,Вn	αi
А1 … Аm	а11…а1n ………… аm1…аmn	α1 … αm
βj	β1,…, βn

 

     В таблице 1 приведены числа  - минимально возможный выигрыш игрока А, применяющего стратегию А_i (), и - максимально возможный проигрыш игрока В, если он пользуется стратегией В_j .

     Число называют нижней чистой ценой игры (максимином), а соответствующую ему чистую стратегию - - максиминной. Число показывает, какой минимальный гарантированный выигрыш может получить игрок А, правильно применяя свои стратегии при любых действиях игрока В.

     Число называют верхней чистой ценой игры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию - минимаксной. Число показывает, какой минимальный гарантированный проигрыш может быть у игрока В при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока А.

     Таким образом, правильно используя свои чистые стратегии, игрок А обеспечит себе выигрыш не меньше , а игрок В в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку А выиграть больше, чем . Ясно, что . Если , то игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры . Пару чистых стратегий и , соответствующих , называют седловой точкой матричной игры, а элемент платежной матрицы, стоящий на пересечении - й строки и - го столбца, - седловым элементом платежной матрицы. Он одновременно является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце, т.е.    . Стратегии и  , образующие седловую точку, являются оптимальными. Тройку называют решением игры.

     Для игр без седловых точек оптимальные  стратегии игроков находятся  в области смешанных стратегий. Смешанной стратегией игрока А называют вектор , компоненты которого удовлетворяют условиям . Смешанной стратегией игрока В называют вектор , где и - вероятности, с которыми игроки А и В выбирают свои чистые стратегии в ходе игры. При использовании смешанных стратегий игра приобретает случайный характер, случайной становится и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В). Эта величина является функцией смешанных стратегий и определяется по формуле: 

                                                                                                               (1)   
 

     Функцию называют функцией выигрыша или платежной функцией.

     Смешанные стратегии  и называют оптимальными, если они образуют седловую точку для платежной функции , т.е. если они удовлетворяют неравенству .

     Величину  называют ценой игры.

     Поиск оптимальных смешанных стратегий  начинают с упрощения платежной  матрицы. Если в платежной матрице  элементы k–й строки не меньше соответствующих элементов s–ой, т.е. , то стратегия доминирует над стратегией . Аналогично, если элементы l–го столбца не превосходят соответствующих элементов r–го столбца, т.е. , то стратегия доминирует над стратегией . Частным случаем доминирования стратегий является дублирование стратегий, когда или . Исключение из платежной матрицы доминируемых стратегий позволяет уменьшить ее размерность, а это упрощает решение игры.  

     2.2 Характеристика основных методов решения матричных игр 

     В зависимости от типа игры выделяют несколько способов решения. Применение того или метода можно представить  следующим алгоритмом:

1. На основании анализа платёжной матрицы следует определить, существуют ли в ней доминируемые стратегии, и исключить их.
2. Найти верхнюю и нижнюю цены игры и определить, имеет ли данная игра седловую точку (нижняя цена игры должна быть равна верхней цене игры).
3. Если седловая точка существует, то оптимальными стратегиями игроков, являющимися решением игры, будут их чистые стратегии, соответствующие седловой точке. Цена игры равна верхней и нижней цены игры, которые равны между собой.
4. Если игра не имеет седловой точки, то решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Для определения оптимальных смешанных стратегий в играх mn следует использовать симплекс-метод, предварительно переформулировав игровую задачу в задачу линейного программирования.

     Графически  данный алгоритм можно представить  следующим образом (рисунок 1): 

 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 1 - Схема решения матричной игры

     Решение игры в чистых стратегиях. Пусть матричная игра задана следующей платежной матрицей (таблица 2):

Таблица 2 – Пример платежной матрицы для решения игры в чистых стратегиях

	В1	В2	В3	В4	Minj
А1	7	6	5	4	4
А2	1	8	2	3	1
А3	8	1	3	2	1
Maxi	8	8	5	4

 

     Определим нижнюю и верхнюю цену игры. Получаем α=4 и β=4. Так как α=β, то следовательно  игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν=α=β=4. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.  

     Решение матричной игры путем  сведения ее к задаче линейного программирования.

     Пусть игра задана платежной матрицей (таблица 1). Оптимальные смешанные стратегии и игроков А и В могут быть найдены в результате решения пары двойственных задач линейного программирования.

     Для игрока А:

                                                                                                        (2) 

                                                                                                               

     В результате решения задачи (2) находят оптимальный вектор      

       и , а затем 
 
 

     Для игрока В:                                 

     (4) 
 

     Решая задачу (4), находят оптимальный вектор и , а затем 

      (5)

     Поскольку задачи (2) и (4) образуют пару симметричных двойственных задач линейного программирования, то достаточно решить только одну из них. Далее можно воспользоваться соответствием между переменными в канонических записях задач и из строки целевой функции последней симплекс-таблицы, которая содержит компоненты оптимального вектора, выписать значение компонент оптимального вектора двойственной задачи. 

     Графический метод решения  матричных игр  в смешанных стратегиях.

     При поиске оптимальных стратегий в матричных играх размерностей 2xn и mх2 целесообразно использовать графический метод решения задач линейного программирования и свойства оптимальных планов пары двойственных задач:

• если в оптимальном плане задачи переменная положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом обращается в равенство;
• если оптимальным планом задачи ограничение обращается в строгое неравенство, то в оптимальном плане двойственной задачи соответствующая переменная равна нулю.

     Если  точное решение матричной игры оказывается  громоздким, можно воспользоваться  приближенным или итерационным методом решения. В основе этого метода лежит предположение, что игра состоит из большого количества партий и игроки выбирают свои чистые стратегии в очередной партии, руководствуясь накапливающимся опытом уже сыгранных партий, обоснованно полагая, что партнер и дальше будет действовать так, как он действовал до этого момента. Если каждый игрок имеет единственную оптимальную смешанную стратегию, то при неограниченном увеличении числа партий приближенные смешанные стратегии стремятся к оптимальным стратегиям игроков, а средние выигрыши – к цене игры ν. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Практическое  применение игровых  моделей при принятии управленческих решений  на предприятии

 

     Рассмотрим  применения матричных игр в экономической деятельности на примере двух задач.

     Задача 1.

     Директор  транспортной компании А, оказывающей  транспортные услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует  открыть один или несколько маршрутов: А₁, А₂, А₃ и А₄. Для этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит от того, какие маршруты в ближайшее время откроет главный конкурент - компания В. Ее руководство полностью владеет ситуацией и может открыть несколько из четырех маршрутов В₁, В₂, В₃ и В₄. Оценки прибыли компании А (млн. руб.) при любом ответе В представлена платежной матрицей (таблица 3):

     Таблица 3- Платежная матрица оценки прибыли  компании А

	В1	В2	В3	В4
А1	4	2	10	6
А2	3	6	8	2
А3	1	5	6	1
А4	2	6	8	1

 

   

     Необходимо  найти оптимальное распределение прибыли по маршрутам и ожидаемую прибыль.

     Решение:

1. Исключим стратегии, которыми заведомо не выгодно пользоваться игрокам, т.е. производим возможные упрощения платежной матрицы(таблица 4).

Таблица 4 – Упрощение матрицы прибыли  компании А

	В1	В2	В3	В4
А1	4	2	10	6
А2	3	6	8	2
А3	1	5	6	1
А4	2	6	8	1

 

     Стратегия B₁ является доминирующей над стратегией B₃, т.к. каждый элемент третьего столбца меньше соответствующего элемента первого столбца. Игроку B заведомо не выгодно пользоваться стратегией B₁, поэтому удаляем стратегию B₁ из рассмотрения.