Анализ метода критического пути в сетевом методе планирования проектов

 
Рисунок 5. Пример маркировки вершин сетевого графика модели типа АоN

 

 

2. Метод критического пути

1. Алгоритм определения критического пути

 

«Конечным результатом применения метода критического пути будет построение временного графика выполнения проекта. С помощью специальных вычислений, в результате которых мы получаем следующую информацию.

1. Общая длительность выполнения проекта.
2. Разделение множества процессов, составляющих проект, на критически и некритические.

 Процесс является критическим, если он не имеет "зазора" для времени своего начала и завершения. Таким образом, чтобы весь проект завершился без задержек, необходимо, чтобы все критические процессы начинались и заканчивались в строго определенное время. Для некритического процесса возможен некоторый "дрейф" времени его начала, но в определенных границах, когда время его начала не влияет на длительность выполнения всего проекта.

 Для проведения необходимых  вычислений определим событие как точку на временной оси, где завершается один процесс и начинается другой. В терминах сети, событие - это сетевой узел. Нам понадобятся также следующие определения и обозначения:

• A_j - самое раннее возможное время наступления события j,
• B_j - самое позднее возможное время наступления события j,
• D_ij - длительность процесса (i, j).

 Вычисления критического  пути включает два этапа (прохода). При проходе вперед вычисляются самые ранние времена наступления событий, а при проходе назад - самые поздние времена наступления тех же событий.

Проход вперед. Здесь вычисления начинаются в узле 1 и заканчиваются в последнем узле n.

Начальный шаг. Полагаем A₁=0; это указывает на то, что проект начинается в нулевой момент времени. Основной шаг j. Для узла j определяем узлы p, q, …, v, непосредственно связанные с узлом j процессами (p, j), (q, j), …, (v, j), для которых уже вычислены самые ранние времена наступления соответствующих событий. Самое раннее время наступления события j вычисляется по формуле:

    A_j = max { A_p + D_pj,  A_q + D_qj, …,  A_v + D_vj}.

 Проход вперед завершается, когда будет вычислена величина A_n для узла n. По определению величина j равна самому длинному пути (длительности) от начала проекта до узла (события) j.

Проход назад. В этом проходе вычисления начинаются в последнем узле n и заканчивается в узле 1.

Начальный шаг. Полагаем B_n = A_n; это указывает, что самое раннее и самое позднее времена для завершения проекта совпадают.

Основной  шаг j. Для узла j определяем узлы p, q, …, v, непосредственно связанные с узлом j процессами (j, p), (j, q), …, (j, v), для которых уже вычислены самые поздние времена наступления соответствующих событий. Самое позднее время наступления события j вычисляется по формуле

    B_j = min {B_p - D_jp, B_q - D_jq, …, B_v - D_jv}.

Проход назад завершается при вычислении величины B₁ для узла 1.

Процесс (i, j) будет критическим, если выполняются три условия.

1. B_i = A_i.
2. B_j = A_j.
3. B_j - B_i = A_j - A_i = D_ij.

Эти условия не выполняются, то процесс некритический.

Критические процессы должны образовывать непрерывный путь через  всю сеть от начального события до конечного.

 Пример. Найдем критический  путь для сети проекта, показанной на рисунке 6. Длительность всех процессов дана в днях.

Проход вперед.

Узел 1. Полагаем A₁ = 0.

Узел 2. A₂ = A₁ + D₁₂ = 0 + 5 = 5.

Узел 3. A₃ = max { A₁ + D₁₃, A₂ + D₂₃} = max {0 + 6, 5 + 3} = 8.

Узел 4. A₄ = A₂ + D₂₄ = 5 + 8 = 13.

Узел 5. A₅ = max { A₃ + D₃₅, A₄ + D₄₅} = max {8 + 2, 13 + 0} = 13.

Узел 6. A₆ = max { A₃ + D₃₆, A₄ + D₄₆, A₅ + D₅₆} = max {8 + 11, 13 + 1, 13 + 12} = 25.

Рисунок 6. Пример проекта.

 

Таким образом, расчеты показывают, что проект можно выполнить за 25 дней.

Проход назад.

Узел 6. Полагаем A₆ = B₆ = 25.

Узел 5. B₅ = B₆ - D₅₆ = 25 - 12 = 13.

Узел 4. B₄ = min {B₆ - D₄₆, B₅ - D₄₅} = min {25 - 1, 13 - 0} = 13.

Узел 3. B₃ = min {B₆ - D₃₆, B₅ - D₃₅} = min {25 - 11, 13 - 2} = 11.

Узел 2. B₂ = min {B₄ - D₂₄, B₃ - D₂₃} = min {13 - 8, 11 - 3} = 5.

Узел 1. B₁ = min {B₃ - D₁₃, B₂ - D₁₂} = min {11 - 6, 5 - 5} = 0.

 Вычисления без ошибок  всегда приводят к результату B = 0.

 Результаты вычислений, выполняемых при проходах вперед  и назад, показаны на рисунке  1. Правила определения критических  процессов показывают, что критический  путь составляют процессы 1->2->4->5->6, т.е. этот путь проходит от начального узла 1 до конечного узла 6. Сумма длительности критических процессов (1, 2), (2, 4), (4, 5) и (5, 6) равна длительности всего проекта (т.е. 25 дней). Отметим, что процесс (4, 6) удовлетворяет первым двум условиям критического пути (B₄ = A₄ = 13 и B₆ = A₆ = 25), но не удовлетворяет третьему условию ( A₆ - B₄ не равно D₄₆). Поэтому данный процесс не является критическим.»⁷

Далее мы рассмотрим правила построения временного графика. 

В следующем разделе мы покажем, как на основе данных, полученных расчетным путем на предыдущем шаге, строится временной график последовательного выполнения проекта. Мы уже знаем, что A_i для процесса (i, j) указывает на самое раннее время начала этого процесса, а B_j - на самое позднее время завершения процесса. Таким образом, пара величин (A_i, B_j) ограничивает максимальный интервал времени, в течение которого может выполняться процесс (i, j).

 

 

2. Построение предварительного графика

 

 Метод построения предварительного  временного графика выполнения  проекта покажем на следующем  примере.

 Пример. Построим временной график проекта на примере из предыдущего раздела.

 Предварительный временной  график проекта можно начертить,  используя максимальные интервалы  выполнения каждого процесса. В  результате получим график, представленный на рисунке 7:

 

 
Рисунок 7. Время выполнения процессов

 

Сделаем два замечания.

1. Критические процессы (показаны на графике сплошными линиями) располагаются последовательно друг за другом без временных зазоров и перекрытий. Таким образом, их суммарная длительность равна длительности выполнения всего проекта (в данном случае, 25 дней).
2. Некритические процессы (показаны на графике пунктирными линиями) представлены максимальными интервалами выполнения, которые превышают реальную длительность выполнения этих процессов. Поэтому необходимо каким-то образом определиться с началом выполнения этих процессов.

Как выбрать время начала выполнения некритического процесса? Обычно предпочитают начинать некритические  процессы (по возможности) в самый  ранний срок. В этом случае остается запас времени (остаток максимального интервала выполнения), который можно использовать для решения неожиданно возникших во время выполнения процесса проблем. Вместе с тем при необходимости можно перенести начало выполнения какого-либо процесса. Допустим, если в нашем примере во время выполнения процессов E и F (рис. 1) используется одно и то же оборудование, причем в каждый момент времени его можно задействовать только для одного процесса, тогда можно исключить временное наложение этих процессов, начав процесс F после завершения Е.

Если на некритические  процессы не накладываются какие-либо дополнительные ограничения и все они начинаются в самый ранний момент времени, то временной график проекта строится автоматически. Однако в этом случае могут нарушаться некоторые отношения предшествования. В частности, в нашем примере процесс С должен быть завершен до начала процесса Е. Но максимальные интервалы времени выполнения этих процессов перекрываются, поэтому и реальные интервалы времени их выполнения также могут перекрываться. Поэтому необходимо предусмотреть какие-нибудь "красные флажки", которые автоматически указывали бы, когда тот или иной процесс может начинаться без нарушения отношений предшествования с другими процессами. Далее мы покажем, как для этого использовать запасы времени отдельных процессов.

 

 

3. Определение запасов времени

 

Запас времени некритического процесса - это часть максимального интервала времени выполнения этого процесса (который, напомним, больше реальной длительности процесса). Различают общий запас времени и свободный запас времени процесса.

 На рисунке 8 показана разность между этими запасами времени процесса (i, j) - общим (TF_ij) и свободным (FF_ij). Общий запас времени процесса (i, j) определяется как превышение над длительностью выполнения этого процесса интервала времени от самого раннего момента осуществления события i до самого позднего осуществления события j, т.е.

    TF_ij = B_j -  A_i - D_ij.

 Свободный запас времени  процесса (i, j) определяется как превышение над длительностью выполнения этого процесса интервала времени - от самого раннего момента осуществления события i до самого раннего времени осуществления события j, т.е.

    FF_ij =  A_j -  B_i - D_ij.

 По определению FF_ij <= TF_ij.

 
Рисунок 8. Разность между общим и свободным запасами времени

 

 

 

4. Правило "красного флажка"

 

Для некритического процесса (i, j)

• если FF_ij = TF_ij, тогда данный процесс может выполняться в любое время внутри максимального интервала (A_i, B_j) без нарушения отношений следования;
• если FF_ij < TF_ij, тогда без нарушения отношений следования данный процесс может начаться со сдвигом, не превышающим FF_ij, относительно самого раннего момента начала процесса i. Сдвиг начала процесса на величину времени, превышающую FF_ij (но не более TF_ij), должен сопровождаться равным сдвигом относительно j всех процессов, начинающихся с события j.

Это правило означает, что некритический процесс (i, j) помечается "красным флажком" только тогда, когда FF_ij < TF_ij. Этот флажок принимается во внимание при сдвиге начала процесса относительно самого раннего времени i на такую величину, при которой следует рассчитывать сдвиг процессов, следующих из узла j.

 Пример. Вычислим запасы  времени для некритических процессов в сети проекта и на основе этих расчетов построим окончательный временной график проекта.

 Общие и свободные  запасы времени некритических  процессов представлены в таблице 3. Такие расчеты можно проводить непосредственно на сети проекта, как показано на рисунке 8.

 

 

 

 

 

Некритический процесс	Длительность процесс	Общий запас времени (TF)	Свободный запас времени (FF)
B (1,3)	6	11-0-6=5	8-0-6=2
C (2,3)	3	11-5-3=3	8-5-3=0
E (3,5)	2	13-8-2=3	13-8-2=3
F (3,6)	11	25-8-11=6	25-8-11=6
H (4,6)	1	25-13-1=11	25-13-1=11

 

Таблица 3. Общие и сводные запасы времени некритического процесса.

 

Правило "красного флажка" следует применять только к процессам В и С, поскольку для них FF < TF. Оставшиеся процессы (E, F и H) имеют FF = TF, поэтому они могут выполняться в любое время внутри своих максимальных интервалов времени выполнения.

 Рассмотрим процесс В, помеченный "красным флажком". Поскольку для этого процесса TF = 5 дней, он может начаться в любой день из интервала 0 - 5 дней от начала выполнения всего проекта (рис. 1). Но если FF = 2 дня, то, поскольку процесс В начнется в 0-й, 1-й или 2-й день от начала выполнения проекта, это не окажет никакого эффекта на последующие процессы E и F. Однако если процесс В начнется в (2 + B)-й день (2 + B < 5), начало выполнения процессов E и F необходимо сдвинуть от самого раннего срока их начала (8-й день от начала выполнения проекта) на величину, не меньшую B; только при таком условии не нарушатся отношения следования между процессами В, E и F.

 Для помеченного "красным флажком" процесса С имеем FF = 0. Это означает, что любой сдвиг начала выполнения этого процесса должен сопровождаться таким же (не меньшим) сдвигом начала выполнения процессов E и F.

 

Заключение

 

Проанализировав метод критического пути становиться понятно, что это удобный «инструмент для разработки планирования расписания и управления сроками проекта.

В основе метода лежит определение  наиболее длительной последовательности задач от начала проекта до его  окончания с учетом их взаимосвязи.»⁸

На вид математически  сложный процесс расчета метода критического пути, в действительности становиться простым и удобным  инструмента составления «расписания» проекта.

Этот метод будет полезным и удобным для применения любому сотруднику организации, который занимается разработкой проекта в любой  сфере деятельности.

Цель - проанализировать метод  критического пути в работе достигнута благодаря изучению литературе посвященной  управлению проектами.

 

Список литературы

 

 

1. Алексинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.
2. Ивасенко А.Г. Управление проектами: учебное пособие/А.Г. Ивасенко, Я.И.Никонова, М.В.Каркавин - Ростов н/Дону:Феникс, 2009. - 330 с. - Высшее образование.
3. Кудрявцев Е.М. Microsoft Project. Методы сетевого планирования и управления проектом. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 240 с., ил.
4. Мазур И.И., Шапиро В.Д., Ольдерогге Н.Г. Управление проектами: Ученое пособие/ Под общ. ред. И.И.Мазура. - 3-е изд. - М.: Омега-Л, 2004. - с. 664.
5. Управление проектом. Основы проектного управления: ученик/ кол. авт.: под ред. проф. М.Л.Разу. - М.: КНОРУС, 2006. - 768 с.
6. Г. Б. Юн, Г. К. Таль, В. В. Григорьев /Словарь по антикризисному управлению – М:Дело, 2003г.
7. Введение в проектный менеджмент. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.hr-portal.ru/article/vvedenie-v-proektnyi-menedzhment
8. С.В. Бовтеев, к.т.н., Ю.О. Чайка - Вероятностное планирование строительства объектов. [Электронный ресурс]. -  Режим доступа: http://prosvet.su/articles/menegment/article1/
9. Сетевое планирование. [Электронный ресурс]. -  Режим доступа: http://www.inventech.ru/lib/glossary/netplan/
10. Метод критического пути. [Электронный ресурс]. -  Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_критического_пути
11. Сетевое планирование. [Электронный ресурс]. -  Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Сетевое_планирование
12. Ребрин Ю.И.. Основы экономики и управления производством. Сетевое планирование и управление. [Электронный ресурс]. -  Режим доступа: http://polbu.ru/rebrin_management/ch24_all.html
13. Расчет и анализ сетевых моделей: [Электронный ресурс]. -  Режим доступа: http://allmath.ru/appliedmath/operations/problems-tgru/zadachi8.htm
14. Методы сетевого планирования. [Электронный ресурс]. -  Режим доступа:http://khpiiip.mipk.kharkiv.edu/library/datastr/book_sod/kgsu/oglav7.html.