Модели управления производственными запасами с учетом спроса и цен на продукцию

      Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала  бы все разновидности условий, наблюдаемых  в реальных системах. Но если бы и удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Рассмотрим модели, соответствующие некоторым системам управления запасами.

      Пусть функции A(t), B(t) и R(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0, t]. В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени a(t), b(t), r(t), называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

     Если функции a(t), b(t), r(t) — не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер — стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае — динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические — в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решении с учетом происходящих изменений. На рисунке 3 приведена схема классификации статических моделей.

       
 
 
 
 

Рис. 3. 

     Уровень запаса в момент t определяется основным уравнением запасов

                                                                                             (1.1)

где - начальный запас в момент t = 0. Уравнение (1.1) чаще используется в интегральной форме:

                                                                                 (1.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

II. СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

2.1. Однопродуктовая статическая модель

     Однопродуктовая статическая модель является простейшей моделью управления запасами. В ней спрос принимается постоянным во времени, а пополнение запаса - мгновенным. В данной модели предполагается отсутствие дефицита, а поэтому рассматривается лишь текущий запас, уровень которого колеблется от максимального, равного объему партии в момент ее поступления, до минимального, равного нулю. Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:

1. Использование осветительных ламп в здании;
1. Использование канцелярских товаров крупной фирмы;
2. Использование некоторых промышленных изделий (гайки, болты и пр.);
3. Потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).

   На  рисунке 4 показано изменение уровня запаса во времени.

Рис. 4.

     Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна . Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером y (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя y/ единиц времени после получения заказа размером у. Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже (рис. 5.).

      Рис. 5. 

2.2. Однопродуктовая статическая модель с разрывами цен

     Применяется, когда цена единицы продукции  зависит от размеров закупаемой партии. В таких случаях цена меняется скачкообразно или предоставляются  оптовые скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.

     На  рисунке 6 показаны графики двух функций суммарных затрат на единицу времени. Из вида функций затрат U1(y) и U2(y) следует, что оптимальный размер заказа у* зависит от того, где по отношению к трём показанным на рисунке зонам I, II, III находится точка разрыва цены q.

 

Рис. 6       

2.3. Статическая детерминированная модель без дефицита

     Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций r(t) и b(t). Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени равно N. Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. b(t)=b. Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

                                                                                                                    (2.3)

      Пополнение  заказа происходит партиями одинакового  объема, т.е. функция a(t) не является непрерывной: a(t)=0 при всех t, кроме моментов поставки продукта, когда a(t)=n, где n — объем партии. Так как интенсивность расхода равна b, то вся партия будет использована за время

                                                                                                                        (2.4)

 

                            Рис. 7                                                                   Рис. 8

      Если  отсчет времени начать с момента  поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии n, т.е. J(0)=n. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис. 7.

      На  временном интервале [0, T] уровень запаса уменьшается по прямой от значения n до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент T уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения n за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J(t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью Т (см. рис. 7).

      Задача  управления запасами состоит в определении  такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

      Обозначим суммарные затраты через С, затраты  на создание запаса — через С₁, затраты на хранение запаса — через С₂ и найдем эти величины за весь промежуток времени Т.

      Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны с₁, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — с₂. Так как за время необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема n, то число таких партий k равно:

                                                                                                                 (2.5)

     Отсюда  получаем                                                                      (2.6)

     Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны c₂J(t). Значит, за промежуток времени [0, Т] они составят или, учитывая (2.4):

     

     Средний запас за промежуток [0, Т] равен nТ/2, т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

     Учитывая  периодичность функции J(t) (всего за промежуток времени будет «зубцов», аналогичных рассмотренному на отрезке [0, Т]), и формулу (2.5), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени равны:

                                                                        (2.7)

     Нетрудно  заметить, что затраты С₁ обратно пропорциональны, а затраты С₂ прямо пропорциональны объему партии n. Графики функций С₁(n) и С₂(n), а также функции суммарных затрат

                                                                                                             (2.8)

приведены на рис. 8.

     В точке минимума функции С(n) ее производная

, откуда

                                                                                                             (2.9)

или, учитывая (2.3):

                                                                                                                  (2.10)

     Формула (2.10), называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение есть величина постоянная, не зависящая от n. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, т. е. С₁ =C₂ или

                                                                                                            (2.11)

откуда  получаем (2.9).

     Из (2.11) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

                                                                                                 (2.12)

откуда, учитывая (2.9) и (2.3), получим

или                                                                                                      (2.13)

     Число оптимальных партий за время  с учетом (2.5), (2.9) и (2.3) равно:

     

     Время расхода оптимальной партии на основании (2.4) с учетом (2.9) и (2.3) равно                                                                                                  (2.14)

или                                                                                               (2.15)

     На  практике, естественно, объем партии может отличаться от оптимального , вычисленного по (2.9). Разложим функцию С(n) в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничившись первыми тремя членами ряда при достаточно малых изменениях объема партии :

     Учитывая, что при , а C₀=C( ) определяется по формуле (2.12), найдем:

 

или                                                                                                           (2.16)

     Формула (2.16) свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по отношению к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным. 
 

2.4. Статическая детерминированная модель с дефицитом

     В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t)=0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t)=b, но потребление запаса отсутствует — b(t)=0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 9. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 8 характеризует накопление дефицита.