Доказательства и опровержения

     Однако  тезис и аргументы сами по себе, вне логической связи друг с другом, еще не составляют доказательства. Аргументы начинают приобретать определенное значение лишь тогда, когда мы выводим из них тезис. Процесс выведения тезиса из аргументов и есть демонстрация. Она всегда выражается в форме умозаключения. Это может быть отдельное умозаключение, но чаще - цепочка рассуждений. Особенность умозаключений, в форме которых протекает демонстрация, состоит в том, что суждение, нуждающееся в обосновании и выступающее тезисом доказательства, является заключением вывода и формулируется заранее; суждение же об аргументах, которые служат посылками вывода, остаются неизвестными и подлежат восстановлению.

     Вывод: доказательные рассуждения различаются не только по способам аргументации, которые мы уже рассмотрели, но и по своему отношению к выдвинутому тезису. Можно или подтверждать истинность тезиса, или опровергать, доказывать его ложность. Поэтому операция опровержения столь же распространена, как и операция доказательства, и является как бы зеркальным отображением последней.

2. Опровержение

Понятие опровержения:

     Опровержением называется доказывание ложности какого-либо тезиса или несостоятельности доказательства в целом.

     Опровержение  тезиса может быть осуществлено:

1. путем приведения фактов, противоречащих тезису;
2. путем доказательства истинности нового тезиса, противоречащего опровергаемому;
3. путем установления ложности (или противоречивости) следствий, вытекающих из тезиса.

     Опровержение  очень часто направлено непосредственно  не против тезиса, а против аргументов. Это достигается также различными путями:

1. путем доказательства ложности аргументов;
2. установлением того, что аргументы, при помощи которых обосновывается выдвинутый тезис, являются для тезиса недостаточными;
3. установлением того, что аргументы сами являются еще не доказанными;
4. определением, что источник фактов, при помощи которых обосновывается выдвинутый тезис, является недоброкачественным.

     Опровержение  демонстрации показывает отсутствие логической связи между аргументами и  тезисом. Доказательство, как известно, протекает всегда в форме умозаключения. ⁶ 
 

     Поэтому успешное использование данного  способа опровержения предполагает четкое представление о правилах и ошибках соответствующих умозаключений - дедукции, индукции, аналогии, в форме которых протекает обоснование тезиса. Если установлено, что тезис доказан с нарушением правил умозаключения, то такое доказательство считается опровергнутым.

     Рассмотренные способы опровержения применяются  не только в качестве самостоятельных  операций, но и в сочетаниях. Так, прямое опровержение тезиса может быть дополнено критическим разбором аргументов; наряду с ошибками в доводах могут быть выявлены нарушения в самом процессе рассуждения и т.д.  

     Вывод: убеждающая сила рассуждения во многом определяется рациональным сочетанием операций доказательства и опровержения, способствующим достижению в каждом конкретном случае несомненных, объективно-истинных результатов.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Доказательства и опровержение. 

     В процессе доказательства и опровержения необходимо соблюдать правила по отношению к тезису, правила по отношению к аргументам и правила по отношению к демонстрации. Нарушение этих правил в доказательстве приводит к логическим ошибкам, которые в конечном счете не позволяют доказать (опровергнуть) доказываемый (опровергаемый) тезис.

     Логические  ошибки делятся на паралогизмы и  софизмы.

     Паралогизмы - это неумышленные логические ошибки, обусловленные нарушением законов  и правил логики. Паралогизм не является, в сущности, обманом, так как не связан с умыслом подменить истину ложью.

     В отличие от паралогизмов софизмы - результат  преднамеренного обмана, умышленные логические ошибки. Название "софизм" происходит от древнегреческого слова sophisma - хитрая уловка, выдумка. Софизм является особым приемом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.

     Примеры софизмов, ставших знаменитыми еще  в древности: «Что ты не терял, то имеешь; рога ты не терял; значит, у тебя есть рога». «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит». «Этот пес твой; он отец; значит, он твой отец».

     Нередко софизм обосновывается на таких логических ошибках, как подмена тезиса, доказательства, несоблюдение правил логического вывода, принятие ложных посылок за истинные и т.п.

     Ф. Бэкон⁷ сравнивал того, кто прибегает к софизмам, с лисой, которая хорошо петляет, а того, кто раскрывает софизмы, с гончей, умеющей распутывать следы.

     В процессе рассуждения иногда возникают  логические парадоксы. Парадокс (от греч. Paradoxes – неожиданный, странный) –в широком смысле – неочевидное высказывание, истинность которого устанавливается достаточно трудно.

     Один  из вариантов парадокса был, например, использован Сервантесом в «Дон-Кихоте». Среди задач, которые предлагались Санчо-Панса, в бытность его губернатором острова, была следующая. На острове находится мост и возле этого моста виселица.

     Парадоксы в зависимости от области их применения бывают математические, политические и другие. Примером политического  парадокса является следующее рассуждение: традиционный путь укрепления обороноспособности государства – упрочение его военной мощи. Появление ядерного оружия привнесло принципиально новую ситуацию. В современных условиях дальнейшее наращивание военной мощи не только не способствует укреплению обороноспособности, но и ставит под сомнение саму возможность обеспечения военной безопасности. Данная ситуация получила название «парадокс силы»⁸.  

     Вывод: таким образом, доказательство и опровержение являются необходимым и наиболее сложным этапом мыслительного процесса. Их использование в различных видах практической деятельности предполагает глубокое значение и умение применять умозаключения, правила вывода умозаключений, несоблюдение которых (осознанно или неосознанно) приводит к невозможности получить человеком истинные знания о действительности. 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Виды доказательства 

     С точки зрения общего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое  доказательство⁹.

     Прямым  называется такое доказательство, в котором тезис обосновывается непосредственно аргументами. Если для доказательства тезиса приводятся аргументы, из которых непосредственно вытекает истинность, или, наоборот, ложность данного тезиса, то такое доказательство является прямым.

     При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам получается тезис.

Например, нужно доказать, что сумма углов  четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников.

     Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из таких положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

     В построении прямого доказательства можно выделить два связанных  между собою этапа: отыскание  тех, признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом.

     Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные  аргументы и доказываемый тезис. 
 
 
 

Косвенное доказательство¹⁰.

     Косвенным называется такое доказательство, которое  устанавливает истинность доказываемого  тезиса, исследуя не сам тезис, а  некоторые другие положения. Эти  положения так связаны с доказываемым тезисом, что из установления их ложности вытекает истинность доказываемого тезиса, поэтому задача состоит в выяснении ложности положений, обусловливающих истинность доказываемого тезиса.

     Косвенные доказательства бывают двух видов: апагогические и разделительные.

     В апагогическом доказательстве к истинности тезиса приходят путем доказательства ложности антитезиса. Антитезисом называется суждение, противоречащее тезису.

     Апагогическое доказательство проходит следующие этапы: выдвигается антитезис, и из него выводятся следствия с намерением найти среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса на основании закона исключенного третьего делается заключение, что выдвинутый тезис является истинным.

     Косвенное апагогическое доказательство называют еще сведением к абсурду. Например, в романе И.С. Тургенева "Рудин" есть такой диалог:

"...Стало быть, по-вашему, убеждений нет? - Нет - и не существует. - Это ваше убеждение? -Да. - Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на первый случай".

     Если  число рассматриваемых возможностей не ограничивать двумя (доказываемым утверждением и его отрицанием), то это будет  так называемое косвенное разделительное доказательство.

     Его сущность состоит в том, что доказываемый тезис рассматривается как одно из некоторого числа предположений, в своей сумме исчерпывающих все возможные по данному вопросу предположения.

     Разделительное  доказательство применяется в тех  случаях, когда можно быть уверенным, что доказываемое положение входит в число всех рассматриваемых возможностей. Антитезис является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы.

     Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

     Допустим, нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается  антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия.

     Если  хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.

     В зависимости от того, как решается последняя задача, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства¹¹;

1. следствия противоречащие фактам. Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский ученый Д. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испарения, важное для понимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты.
2. внутренне противоречивые следствия.  По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного и того же, можно сразу же заключить, что это положение ложно. Один из приемов косвенного доказательства — выведение из антитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание — тезис доказательства — верно. Хорошим примером такого рассуждения служит известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа - это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11,13,... — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •... • А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, .... А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым.