Управление пакетом облигаций: принципы и модели

Конкретно, формула для  вычисления дюрации (D) выглядит следующим образом:

D = (∑PV (C₁) * t) / P₀

Где PV (C₁) обозначает приведенную стоимость платежей, которые будут получены в момент времени t (приведенная стоимость вычислена с помощью ставки дисконтирования, равной доходности к погашению облигации); Р₀ обозначает текущий рыночный курс облигации; Т — срок до погашения облигации.

Таблица 1

Время до поступления платежа	Сумма платежа (долл.)	Ставка приведения	Приведенная стоимость платежа (долл.)	Приведенная стоимость платежа, умноженная на время
1	80	0,9091	72,73	72,73
2	80	0,8264	66,12	132,23
3	1,080	0,7513	811,40	2434,21
		Сумма	950,25	2639,17

 

Дюрация =2639,17 / 950,25 = 2,78 года.

 

В примере, приведенном  в табл. 16.1, величина 0,07653 ($72,73/$950,25) - это часть рыночного курса облигации, которая должна быть получена через 1 год. Аналогично, величина 0,06958 ($66,12/5950,25) должна быть получена через 2 года и величина 0,85388 ($811,40/$950,25) должна быть получена по истечении 3 лет. Заметим, что в сумме эти доли дают единицу, что и позволяет использовать их в качестве весов при вычислении взвешенного среднего. Таким образом, чтобы вычислить взвешенное среднее платежей по облигации, каждый вес нужно умножить на соответствующий отрезок времени до наступления данного платежа и затем полученные произведения сложить: (1 * 0,07653) + (2 * 0,06958) + (3 * 0,85388) = 2,78 года. [1,c460]

 

 

2.2.1. Связь с изменением курса облигации

Одно из следствий  теоремы 5 заключается в том, что  облигации, имеющие одинаковые сроки погашения, но различные купонные платежи, могут по-разному реагировать на одно и то же изменение процентной ставки, т.е. курсы этих облигаций могут меняться по-разному при заданном изменении процентной ставки. Однако облигации с одинаковой дюрацией будут реагировать сходным образом. Таким образом, процентное изменение курса облигации связано с ее дюрацией по следующей формуле:

дельта Р / Р = -D (дельта y / (1+y))                                                    (1)          

Эта формула  показывает, что когда доходности двух облигаций, имеющих одну и ту же дюрацию, изменяются на один и тот же процент, то и курсы этих облигаций изменяются примерно на один и тот же процент [1, c 461].

Для примера  рассмотрим облигацию, которая в  настоящий момент продается по $1000 при доходности 8%. При условии, что дюрация облигации составляет 10 лет, насколько изменится ее цена при увеличении доходности до 9%? Используя формулу, получим Ау = 9% - 8% = 1% = 0,01, отсюда Ау /(1 + у) = 0,01/1,08 = 0,00926 = 0,926% и -D [Ау /(1 + у)] ~ -10 (0,926%) = -9,26%, т.е. рост доходности на 1% приведет к падению курса приблизительно на 9,26% до $907 [$1000 - (0,0926 х $1000)].

2.2.2.  Изменения временной структуры

Как отмечалось ранее, при изменении доходности меняются курсы большинства облигаций, но некоторые изменяются сильнее, чем другие. Даже облигации с одинаковым сроком погашения могут по-разному реагировать на заданное изменение доходности. Однако уравнение 1 показывает, что процентное изменение курса облигации связано с её дюрацией. Следовательно, курсы двух облигаций, имеющих одну и ту же дюрацию, будут реагировать схожим образом на данное изменение доходности.

Например, облигация, показанная в табл. 1, имеет дюрацию 2,78 и доходность 10%. Если ее доходность меняется до 11%, то процентное изменение величины (1 + доходность) равно 0,91% [(1,11 - 1,10)/1,10], т.е. ее курс должен измениться примерно на-2,53% (-2,78x0,91%). Используя ставку дисконтирования 11%, можно точно вычислить курс, который будет равен $926,69, при этом фактическое изменение курса составит —$23,56 ($926,69 — $950,25), а соответствующее процентное изменение будет равно -2,48%

(-$23,56/$950,25). Любая другая облигация с дюрацией 2,78 даст похожее изменение курса при таком же изменении доходности.

Рассмотрим  облигацию, со сроком обращения 4 года, которая также имеет дюрацию 2,78 года. При одинаковых изменениях процентных ставок и доходностей по трехгодичным и четырехгодичным облигациям, их курсы также изменятся одинаково. Например, если доходность по четырехгодичным облигациям увеличивается с 10,8% до 11.81%, а доходность по трехгодичным облигациям увеличивается с 10 до 11%, то процентное изменение приведенной стоимости четырехгодичной облигации будет примерно равно -2,53% {-2,78 х [(1,1181 - 1,108)/1,108] = 2,78 х 0,91%}, что совпадает с процентным изменением приведенной стоимости трехгодичной облигации.

Что произойдет, если процентные изменения величины (1 + доходность) будут различными? Другими словами, что случится, если временная структура изменится таким образом, что процентные изменения величины (1 + доходность) окажутся различными для разных бумаг? Например, доходность по трехгодичным облигациям поднимется с 10 до 11% [процентное изменение 0,91% = (1,11 — 1,10)/1,10], а доходность по четырехгодичным облигациям увеличится с 10,8 до 11,5% [процентное изменение 0,63% = = (1,115 - 1,108)/1,108]. В этом случае процентное изменение цены четырехгодичной облигации примерно составит -1,75% {-2,78 х [(1,115-1,108)/1,108]}, что меньше -2,53% для трехгодичной облигации. Так что даже в том случае, если две облигации имеют одну и ту же дюрацию, это еще не значит, что их цены будут одинаково реагировать на любые изменения доходности, поскольку эти изменения могут быть различными для облигаций, имеющих равную дюрацию [1, c 463].

2.3. Иммунизация

Введение  понятия дюрации привело к  развитию техники управления пакетами облигаций, которая известна под названием иммунизация (immunization). Именно эта техника позволяет портфельному менеджеру быть относительно уверенным в получении ожидаемой суммы дохода. Иначе говоря, когда портфель сформирован, он «иммунизируется» от нежелательных эффектов, связанных с будущими колебаниями процентных ставок.

2.3.1. Как достигается иммунизация

Иммунизация достигается путем вычисления дюрации  обещанных платежей и формирования на этой основе портфеля облигаций с одинаковой дюрацией. Такой подход использует преимущество того, что дюрация портфеля облигаций равна взвешенному среднему дюрации отдельных бумаг в портфеле. Например, если одну треть портфеля составляют бумаги с дюрацией 6 лет, а две трети — бумаги с дюрацией 3 года, то сам портфель имеет дюрацию 4 года ('/з х 6 + ²/з х 3).

Рассмотрим  простую ситуацию, когда менеджер должен через 2 года осуществить за счет своего портфеля только один платеж величиной в

$1 000 000. Поскольку  выплата только одна, то ее дюрация составляет 2 года. Менеджер рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов. Первый тип облигаций показан в табл. 1 и имеет срок до погашения 3 года. Второй тип — это облигации со сроком погашения 1 год, с единовременным платежом $1070 (состоящим из $70 купонного платежа и $1000 номинала). Текущий курс этих облигаций равен $972,73, и, значит, их доходность к погашению равна 10%.

Рассмотрим  альтернативы менеджера. Во-первых, все  средства могут быть вложены в  облигации со сроком погашения 1 год  и реинвестированы через год  вновь в ценные бумаги со сроком погашения 1 год. Однако такой подход сопряжен с риском. В частности, если процентные ставки снизятся в течение следующего года, тогда средства, полученные от погашенных облигаций, будут вложены по более низкой ставке, чем та, которая имеется в настоящее время, - 10%. Таким образом, менеджер сталкивается с риском, связанным с возможностью реинвестирования средств по более низкой ставке.

Во-вторых, он может вложить все средства в  трехгодичные облигации, но это тоже сопряжено с риском. В частности, трехгодичные ценные бумаги должны быть проданы через 2 года, с тем чтобы получить $1 000 000. Риск состоит в том, что процентные ставки поднимутся до этого момента, приводя к общему снижению курсов облигаций. В этом случае облигации, возможно, не будут стоить $1 000 000, т.е. и здесь менеджер сталкивается с риском изменения процентной ставки.

Одно из возможных решений  — инвестировать часть средств  в одногодичные облигации, а часть в трехгодичные облигации. В какой пропорции их следует делить? При использовании иммунизации решение можно получить, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

                                            W, + W₃ = 1;                                                  (2) 

                                 (W_l х 1) + (W₃ х 2,78) = 2                                       (3)

Здесь W_l и W_} обозначают веса (или пропорции), по которым средства инвестируются в один и другой тип облигаций соответственно. Заметим, что уравнение (2) требует, чтобы сумма весов была равна 1. В соответствии с уравнением (3) взвешенное среднее дюраций бумаг портфеля должно быть равно дюрации выплаты, которая составляет 2 года. Решение этой системы уравнений найти легко. Перепишем вначале уравнение (2) в виде:

W_] = l-W₃ (4)

Затем подставим (1 - W₃) вместо W₁ в уравнение (3) и получим:

[(1- W₃)х 1] + (W₃х 2,78) = 2. (5)

Это одно уравнение  с одним неизвестным может  быть легко разрешено. В результате получим W_} = 0,5618. Подставляя это значение в уравнение (4), получим W₁ = 0,4382. Таким образом, менеджер должен вложить 43,82% средств в одногодичные облигации, а 56,18% — в трехгодичные облигации.

В этом случае менеджеру  понадобится $826 446 ($1 000 000/(1,10)²), с тем, чтобы приобрести облигации, которые составят полностью иммунизированный портфель. При этом $362 149 (0,4382 х $826 446) пойдет на приобретение одногодичных облигаций, а $464 297 (0,5618 х $826 446) - на приобретение трехгодичных облигаций. Поскольку текущие рыночные курсы одногодичных и трехгодичных облигаций равны $972,73 и $950,25 соответственно, это значит, что будет приобретено 372 ($362149/5972,73) одногодичных облигаций и 489 ($464297/$950,25) трехгодичных облигаций [1, c463].

Что достигается  посредством иммунизации? Теоретически, при росте доходности потери от продажи трехгодичных облигаций через два года с дисконтом будут в точности компенсированы прибылью от реинвестирования по более высокой ставке средств от погашенных одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных облигаций через год). В противном случае при падении доходности потери в результате реинвестирования средств от одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных облигаций через год) по более низкой ставке будут компенсированы возможностью продать трехгодичные облигации через 2 года с премией. Таким образом, портфель иммунизирован от влияния различных колебаний процентной ставки в будущем.

 

 

2.3.2. Проблемы, связанные с иммунизацией

В предыдущем параграфе было описано, что иммунизация  дает теоретически. Однако весьма вероятно, что на практике она не будет работать столь хорошо. Каковы же тому причины? В основе лежит ответ на следующий вопрос: почему дюрация не всегда точно отражает риск изменения процентной ставки? В терминах рассмотренного примера, по каким причинам стоимость указанного портфеля через 2 года может оказаться ниже

$ 1 000 000?

Начнем с  того, что иммунизация (и дюрация) основана на предположении, что ожидаемые потоки платежей по облигации будут выплачены полностью и своевременно. Данное положение означает, что иммунизация основана на том, что облигации будут плачены и не будут отозваны до срока, т.е. по облигации отсутствует риск неуплаты и риск отзыва. Следовательно, если облигация не оплачивается или отзывается, то портфель не будет иммунизирован.

Множественные непараллельные изменения в негоризонтальной кривой доходности

Иммунизация (и дюрация) также предполагает, что  кривая доходности горизонтальна, а любые ее сдвиги будут параллельны и произойдут до того, как будут получены платежи по тем облигациям, которые были ранее приобретены. В рассмотренном примере и одногодичные, и трехгодичные облигации имели вначале одну и ту же доходность к погашению - 10% и сдвиг в доходности - 1%. Более того, предполагалось, что этот сдвиг имел место до того, как истек первый год.

В реальности кривая доходности не будет горизонтальной с самого начала, и сдвиги не обязательно будут параллельными, кроме того, отсутствуют какие-либо ограничения по времени. Возможно, что начальные уровни доходности по одногодичным и трехгодичным облигациям составили 10 и 10,5% соответственно, при этом доходности по облигациям через год упали на 1 и 0,8% соответственно. В действительности существует большая неопределенность в доходности по краткосрочным облигациям. Если происходят такого рода сдвиги, то, возможно, портфель не будет иммунизирован.

Если менеджер использует процедуру иммунизации  специального типа, известную как согласование денежных потоков (cash matching), то частые непараллельные сдвиги в негоризонтальной кривой доходности не будут иметь нежелательного влияния на портфель. Дело в том, что, согласно этой процедуре, облигации приобретаются таким образом, что финансовый поток, получаемый в каждый период, в точности равен ожидаемому оттоку средств за этот период.

Портфель  с согласованными денежными потоками по облигациям часто называют предназначенным портфелем (dedicated portfolio). Заметим, что для такого портфеля нет необходимости реинвестировать поступающие платежи, и, значит, отсутствует риск при реинвестировании. Более того, поскольку бумаги не продаются до срока погашения, то отсутствует также риск, связанный с процентной ставкой.

В простейшей ситуации, когда из средств, полученных по облигациям, ожидается только один платеж, портфель будет состоять из бескупонных облигаций со сроком погашения, соответствующим дате планируемого платежа. В предыдущем примере, где необходимый платеж составлял $ 1 000 000 по истечении 2 лет, это достигается покупкой требуемого числа бескупонных облигаций со сроком обращения 2 года.