Методы оптимизации инвестиционного портфеля

Более сложные измерения риска получения доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства статистических данных, известных как частичные моменты низких порядков. Полудисперсия является аналогом дисперсии, но в ее вычислении используются только те возможные доходности, которые лежат ниже ожидаемой доходности. Полудисперсия является среднеквадратичным отклонением вниз от ожидаемой доходности, она снижает привлекательность ценных бумаг с относительно высоким потенциальным недобором. Применительно к ценным бумагам, доходность по которым имеет распределение, отличающееся от нормального и "логнормального", эти измерители риска более приемлемы интуитивно и более гибки, чем традиционные измерители риска.

Стандартное отклонение измеряется на основе средней величины распределения доходности. Но инвестор может захотеть оценить инвестиции, используя какую-либо величину как цель, например доходность на индекс рынка, или просто число, такое как 0%. Измеритель риска понесения убытков может учитывать все эти предпочтения. Однако использование измерителей риска понесения убытков создает некоторые проблемы. В частности, они игнорируют возможность получения результатов, превышающих целевую доходность. Альтернативой использования этих измерителей риска является прямой учет смещенности при оценке инвестиций. В качестве альтернативы можно предположить, что инвестор анализирует потенциальные инвестиции, не только исходя из их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, но и с точки зрения величины их смещения вправо. В сущности, риск становится многомерным, т.к он включает и стандартное отклонение, и смещенность. Если две инвестиции имеют одинаковую ожидаемую доходность и одинаковое стандартное отклонение, то предпочтение отдается инвестиции, наиболее смещенной вправо. Ни от одной меры риска нельзя ожидать, что она будет показывать точные результаты в любых обстоятельствах. Стандартное отклонение доказало свою эффективность в большинстве ситуаций, с которыми сталкиваются практики. В тех случаях, когда оно не является адекватной мерой, альтернативы должны рассматриваться не только в свете того, как хорошо они описывают распределение доходности, но и с точки зрения сложностей, которые они вносят в анализ. Теперь рассмотрим, как вычисляется стандартное отклонение портфеля.

Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, формула выглядит следующим образом:

(5)

где - обозначает ковариацию доходностей ценных бумаг i и j.

Таким образом:

1. Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности.

2. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. Стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля.

3. Кривая безразличия представляет собой различные комбинации риска и доходности, которые инвестор считает равноценными.

4. Предполагается, что инвесторы рассматривают любой портфель, лежащий на кривой безразличия выше и левее, как более ценный, чем портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей ниже и правее.

5. Предположение о ненасыщаемости и избегании риска инвестором выражаются в том, что кривые безразличия имеют положительный наклони выпуклы.

6. Ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель. В качестве весов служат относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.

7. Ковариация и корреляция измеряют степень согласованности изменений значений двух случайных переменных. Стандартное отклонение портфеля зависит от стандартных отклонений и пропорций входящих в портфель ценных бумаг и, кроме того, от ковариаций их друг с другом.

2.3. Суть подхода Марковица.

Суть теории и подхода Марковица заключается в поиске и построении множества портфелей, оптимальных по соотношению «риск-доходность». В данном материале мы изложим, в чем на наш взгляд состоят сильные и слабые стороны данной теории.

Вначале в популярной форме придется рассказать о самой теории Марковица. В качестве показателя доходности теория использует математическое ожидание, а стандартное отклонение служит мерой риска.

Если говорить совсем по-простому, то доходность - это наклон некой средней линии проходящей через график цены акции, а уровень риска это амплитуда колебаний реальной цены относительно этой средней линии. Мы придерживаемся несколько иного подхода к управлению риском портфеля, однако в таком определении есть своя логика: большая амплитуда колебаний по мысли Марковица свидетельствует о большей непредсказуемости поведения цены. Хотя на наш взгляд амплитуда колебаний имеет свое объяснение.

Согласно теории Марковица из двух акций с одинаковым наклоном средней линии инвестору стоит выбрать ту, у которой меньше колебания, а при одинаковой амплитуде выбирать ту, у которой круче наклон средней линии. Однако на рынке нет бумаг с одинаковыми характеристиками. Математический аппарат теории Марковица позволяет построить множество оптимальных портфелей, где доля каждой акции оптимизирована по соотношению «риск-доходность».

На наш взгляд, ключевое слабое место теории Марковица состоит в следующем ограничении: «Инвестор знает математическое ожидание доходности и стандартного отклонения по каждой ценной бумаге или соглашается с тем, что имеющиеся в его распоряжении исторические данные позволяют оценить значения этих величин в будущем». Причем основная слабость нам видится именно в последней части: «исторические данные позволяют оценить значения этих величин в будущем».

Дело в том, что исторические данные разной глубины могут дать совершенно разные конечные значения. Например данные по акциям компании ЮКОС до октября 2003 года имели очень хорошие показатели: высокое мат.ожидание (наклон) и низкая волатильность (амплитуда колебаний). С октября 2003 до апреля 2006 все резко поменялось, а данные за весь исторический период показывают «среднюю температуру по больнице» и абсолютно бесполезны для построения оптимального портфеля.

Еще один яркий пример - акции Ростелекома, имевшие четко выраженный наклон и волатильность, которые резко поменялись в январе 2006 и потеряли актуальность в июле 2008. В эти три временных периода акции этой компании вели себя абсолютно по-разному, а данные за весь исторический период также абсолютно нерепрезентативны.

При определении потенциальной доходности акций нельзя опираться на прошлые данные о поведении цен. Результаты в прошлом не позволяют предсказать результаты в будущем. Гораздо более существенное значение имеют показатели текущей и, самое главное, прогнозы будущей экономической деятельности компании.

Сильные стороны классической теории Марковица - это:

      принцип полного инвестирования - портфель всегда должен состоять из акций, и в нем отсутствуют деньги;

      отказ от игры на колебаниях - ребалансировка портфеля производится для поддержания оптимального соотношения акций (управляющий не пытается угадать, когда купить, а когда продать и выйти в деньги);

      отказ от использования плеча и открытия коротких позиций.

3. Оптимизация инвестиционного портфеля по методу Блека.

Модель Блека аналогична модели Марковица, но в отличие от последней в ней отсутствует условие неотрицательности на доли активов портфеля. Это означает, что инвестор может совершать короткие продажи, т.е. продавать активы, предоставленные ему в виде займа. В этом случае инвестор рассчитывает на снижение курса ценной бумаги и планирует вернуть заем теми же ценными бумагами, но приобретенными по более низкому курсу.

В следствии отсутствия ограничений на доли активов в портфеле потенциальная прибыль инвестора не ограничена максимальной доходностью одного из активов, входящих в портфель.

4. Оптимизация инвестиционного портфеля по методу Шарпа.

4.1. Диверсификация.

Чтобы понять как работает диверсификация рассмотрим упрощенную экономическую систему, в которой на бирже продаются акции только двух компаний: производителя солнцезащитного крема и производителя зонтиков. Понятно, что доходы обеих компаний сильно зависят от погоды. Если лето будет солнечным, большую прибыль получат производители солнцезащитного крема, и наоборот. Какие из двух акций следует покупать? Вариантов несколько. И хотя они противоречат друг другу, все они подкреплены соответствующими инвестиционными теориями. Например, агрессивный инвестор рискнет довериться синоптикам, которые обещают дожди, и на все деньги купит акции производителя зонтиков. Специалисты по техническому анализу станут изучать исторические данные и строить графики, пытаясь определить тенденции, уровни поддержки и пр. Фундаменталисты будут изучать финансовую отчетность компаний, соотношения стоимость/доходность акций, соотношения рыночной и балансовой стоимости компаний и пр. Сторонники инерционной теории предпочтут компанию, которая была более успешна в недавнем прошлом, а инвесторы, идущие против рынка, поступят наоборот. Так можно продолжать еще долго, но возникает вопрос - кто из них окажется прав? Сказать трудно.

Диверсификация предлагает простое и естественное решение этой проблемы. Только глупец или ясновидящий вложит все свои деньги в одну из компаний. Все остальные, для снижения рисков купят акции обеих компаний. Такое инвестирование называется портфельным. Инвестиционным портфелем называется совокупность всех инвестиций физического или юридического лица.

Покупая акции обеих компаний, инвестор участвует в долгосрочном росте, который испытывают акции как класс активов, уменьшая при этом риски краткосрочных колебаний. Теория и практика показывают, что на больших промежутках времени риски инвестирования в одну компанию по сравнению с потенциальной доходностью неоправданно велики. Их снижение и есть главная задача диверсификации.

В нашем примере попытка угадывать погоду в среднем удается в половине случаев и в среднем наш доход будет близок к нулю. С учетом расходов, например комиссионные биржевого брокера, мы наверняка проиграем.

Инвестируя в обе компании, инвестор снижает риск, характерный только для одной акции. При этом остается системный риск - риск глобального краха рынка ценных бумаг. Его можно тоже уменьшить, если инвестировать в активы на рынках других стран или в биржевые товары.

Преимущества диверсификации наглядно демонстрирует Рис. 3. Это самый популярный в науке об инвестировании график соотношения «Доходность – Волатильность».

Рис.3. Снижение рисков диверсифицированного портфеля

Ожидаемый доход портфеля, который поровну распределен между акциями двух компаний, равен среднему значению доходов входящих в него акций, тогда как волатильность портфеля значительно меньше средней волатильности двух акций и значительно меньше волатильности составляющих портфеля. Это означает, что если объединить в одном портфеле разные активы, то соотношение риска и дохода улучшится.

Точный вид кривой на Рис. 3 зависит от параметра, который называется коэффициент корреляции. Его значение может изменяться от -1 до +1 в зависимости от того, насколько согласованно ведут себя цены на рассматриваемые активы. Природу корреляции легко понять из нескольких примеров:

- Если две ценных бумаги имеют коэффициент корреляции +1, то их ценовые колебания полностью повторяют друг друга. Это полная положительная корреляция.

- Если две ценных бумаги имеют коэффициент корреляции -1, то их цены изменяются в противоположном направлении. Это полная негативная корреляция.

- Если две ценных бумаги имеют коэффициент корреляции 0, то их цены изменяются

совершенно независимо друг от друга.

- Если две ценных бумаги имеют коэффициент корреляции +0.6, то их ценовые колебания в 60% случаев совпадают, а в 40% случаев они не зависят друг от друга. Если две ценных бумаги имеют коэффициент корреляции -0.5, то в половине случаев они имеют полную негативную корреляцию, а в другой половине они независимы.

Здравый смысл подсказывает, что если колебания цен двух акций происходят в противоположном направлении, то эти колебания гасят друг друга. Суммарная волатильность, портфеля уменьшается т.е. инвестиционный риск снижается. Именно это происходит в нашем примере с акциями производителей зонтиков и солнцезащитного крема.

Процесс взаимного гашения колебаний цен акций показан на рис. 4. Можно легко видеть, что кривая суммарной доходности гораздо более гладкая, чем кривые доходности отдельно взятых ценных бумаг.

Рис.4. Снижение волатильности портфеля при использовании активов с отрицательной корреляцией.

4.2. Определение ожидаемой доходности и дисперсия портфелей.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа ( Sharpe single - index model ).