Методы оптимизации инвестиционного портфеля

Как показывает табл.1, это означает, что вероятность того, что инвестор будет иметь конечное благосостояние в 70000 или меньше, составляет 2% при условии, что был приобретен портфель В, в то время как фактически вероятность того, что конечное благосостояние инвестора будет меньше 70000 при приобретении портфеля А, равняется нулю. Аналогично конечное благосостояние для портфеля В может с вероятностью 5% оказаться меньше 80000, в то время как для портфеля А эта вероятность опять равна нулю. Если продолжить рассмотрение, то можно обнаружить, что вероятность для портфеля В получить меньше 90000 равна 14%, а для портфеля А - 4%. Далее, с вероятностью 27% конечное благосостояние для портфеля В покажется меньше 100000, в то время как для портфеля А такая вероятность составляет всего лишь 21%.

Так как инвестор обладает начальным благосостоянием в 100000, то это означает, что существует большая вероятность получить отрицательную доходность (27%) при покупке портфеля В, чем при покупке портфеля А (21%). В конечном счете из табл.1 можно увидеть, что портфель А является менее рисковым портфелем, чем В, а это означает, что в этом смысле он более предпочтителен. Конечное решение о покупке портфеля А или В зависит от отношения конкретного инвестора к риску и доходности.

Метод, который будет применен для выбора наиболее желательного портфеля, использует так называемые кривые безразличия. Эти кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности и, таким образом, могут быть представлены как двухмерный график, где по горизонтальной оси откладывается риск, мерой которого является стандартное отклонение (обозначенное ), а по вертикальной оси - вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (обозначенная ).

На графиках кривых безразличия гипотетического инвестора каждая кривая линия отображает одну кривую безразличия инвестора и представляет все комбинации портфелей, которые обеспечивают заданный уровень желаний инвестора. Отсюда следует первое важное свойство кривых безразличия: все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора. Следствием этого свойства является тот факт, что кривые безразличия не могут пересекаться. Это приводит ко второму важному свойству кривых безразличия: инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится ниже и правее.

В заключение следует заметить, что инвестор имеет бесконечное число кривых безразличия. Это просто означает, что, как бы не были расположены две кривые безразличия на графике, всегда существует возможность построить третью кривую, лежащую между ними.

Здесь уместно спросить; как инвестор может определить вид его кривых безразличия? В конце концов, каждый инвестор имеет график кривых безразличия, которые, обладая всеми вышеперечисленными свойствами, в то же время являются сугубо индивидуальными для каждого инвестора. Один из методов требует ознакомления инвестора с набором гипотетических портфелей вместе с их ожидаемыми доходностями и стандартными отклонениями. Из них он должен выбрать наиболее привлекательный. Исходя из сделанного выбора, может быть произведена оценка формы и местоположения кривых безразличия инвестора. При этом предполагается, что каждый инвестор будет действовать так, как будто бы он исходит из кривых безразличия при совершении выбора, несмотря на то, что осознанно их не использует.

В заключение можно сказать, что каждый инвестор имеет график кривых безразличия, представляющих его выбор ожидаемых доходностей и стандартных отклонений. Это означает, что инвестор должен определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение для каждого потенциального портфеля, нанести их на график и затем выбрать один портфель, который лежит на кривой безразличия, расположенной выше и левее относительно других кривых.

При обсуждении кривых безразличия мы сделали два неявных предположения. Первое: предполагается, что инвестор, делающий выбор между двумя идентичными во всем, кроме ожидаемой доходности, портфелями, выберет портфель с большей ожидаемой доходностью.

Более полно можно сказать, что при использовании подхода Марковица делается предположение о ненасыщаемости, т.е. предполагается, что инвестор предпочитает более высокий уровень конечного благосостояния более низкому его уровню. Это объясняется тем, что более высокий уровень конечного благосостояния позволяет ему потратить больше на потребление в момент t = 1 (или в более далеком будущем).

Таким образом, если заданы два портфеля с одинаковыми стандартными отклонениями, то инвестор выберет портфель с большей ожидаемой доходностью.

Однако все не так просто в случае, когда инвестору нужно выбирать между портфелями, имеющими одинаковый уровень ожидаемой доходности, но разный уровень стандартного отклонения. Это тот случай, когда стоит принять во внимание второе предположение, состоящее в том, что инвестор избегает риска.

В общем случае предполагается, что инвестор избегает риска, т.е. он выбирает портфель с меньшим стандартным отклонением. Что значит, избегает риска? Это означает, что инвестор, имеющий выбор, не захочет выбрать "честную игру", при которой, по определению, ожидаемое вознаграждение равняется нулю. Например, предположим, что мы подкидываем монету, причем если выпадает "орел", то мы получаем $5, а если выпадает "решка", то мы платим $5. Так как существует 50% -ная вероятность выпадения "орла" (или "решки"), то ожидаемое вознаграждение составляет $0 [ (0,5 х $5) + (0,5 х (-$5))].

Соответственно инвестор, избегающий риска, будет инстинктивно избегать эту азартную игру. Это объясняется тем фактом, что "количество разочарования" при потенциальном проигрыше оказывается выше, чем "количество удовольствия" при потенциальном выигрыше.

Эти два предположения о ненасыщаемости и об избегании риска являются причиной выпуклости и положительного наклона кривой безразличия. Несмотря на предположение о том, что все инвесторы избегают риска, нельзя предположить, что степень избегания риска одинакова у всех инвесторов. Некоторые инвесторы могут избегать риска в значительной степени, в то же время другие могут слабо избегать риска. Это означает, что различные инвесторы будут иметь различные графики кривых безразличия.

2.2. Вычисление ожидаемой доходности и стандартных отклонений портфелей.

В предыдущем разделе была рассмотрена проблема выбора портфеля, с которой сталкивается каждый инвестор. Кроме того, был изложен подход к инвестициям Гарри Марковица как метод решения данной проблемы.

При этом подходе инвестор должен оценить все альтернативные портфели с точки зрения их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, используя кривые безразличия.

В случае когда инвестор избегает риска, для инвестиций будет выбран портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной "выше и левее" всех остальных. Однако определенные вопросы остаются без ответов. Например, каким образом инвестор вычисляет ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля.

а) Инвестор с высокой степенью избегания риска

б) Инвестор со средней степенью избегания риска

в) Инвестор с низкой степенью избегания риска

Рисунок 2 - Кривые безразличия инвесторов с различной степенью избегания риска

Исходя из подхода Марковица к инвестициям, инвестор должен обратить особое внимание на конечное (в конце периода) благосостояние W1. Это означает, что, принимая решение, какой портфель приобрести, и используя свое начальное (в начале периода) благосостояние W0, инвестор должен обратить особое внимание на эффект, который различные портфели оказывают на W1. Этот эффект может быть выражен через ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля.

Как было отмечено ранее, портфель представляет собой набор различных ценных бумаг. Таким образом, кажется логически правильным, что ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля должны зависеть от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель. Также кажется очевидным, что значительное влияние оказывает то, какая часть начального капитала была инвестирована в данную ценную бумагу. Ожидаемая доходность портфеля может быть вычислена несколькими способами, все они дают один и тот же результат. Первый метод включает вычисление ожидаемой цены портфеля в конце периода и использование формулы для вычисления уровня доходности. Таким образом, начальная стоимость портфеля (W0) вычитается из ожидаемой стоимости портфеля в конце периода (W1) и затем эта разность делится на начальную стоимость портфеля (W0), результатом этих операций является ожидаемая доходность портфеля. Такая процедура может быть применена для любого количества ценных бумаг в портфеле.

Альтернативный метод вычисления ожидаемой доходности портфеля - эта процедура включает вычисление ожидаемой доходности портфеля как средневзвешенной ожидаемых доходностей ценных бумаг, являющихся компонентами портфеля. Относительные рыночные курсы ценных бумаг портфеля используются в качестве весов. В виде символов общее правило вычисления ожидаемой доходности портфеля, состоящего из N ценных бумаг, выглядит следующим образом:

(4)

где rp - ожидаемая доходность портфеля; Хi - доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в ценную бумагу; ri - ожидаемая доходность ценной бумаги I; N - количество ценных бумаг в портфеле.

Таким образом, вектор ожидаемой доходности может быть использован для вычисления ожидаемой доходности любого портфеля, состоящего из N ценных бумаг. Вектор состоит из одной колонки цифр, где в i-ой строке находится ожидаемая доходность i-ой ценной бумаги.

Так как ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенные ожидаемые доходности ценных бумаг, то вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а также от доли начальной рыночной стоимости портфеля, вложенной в данную ценную бумагу. Никакие другие факторы не имеют значения. Из уравнения (4) следует, что инвестор, который просто желает получить наибольшую возможную ожидаемую доходность, должен иметь портфель, состоящий из одной ценной бумаги, той самой, у которой ожидаемая доходность наибольшая. Очень небольшое число инвесторов поступает таким образом, и очень небольшое число консультантов по инвестициям посоветует проводить такую экстремальную политику. Вместо этого инвесторы должны диверсифицировать портфель, т.е. их портфель должен содержать более одной ценной бумаги.

Это имеет смысл, так как диверсификация может снизить риск, измеряемый стандартным отклонением. Полезная мера риска должна некоторым образом учитывать вероятность возможных "плохих" результатов и их величину. Вместо того чтобы измерять вероятности различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого. Стандартное отклонение - мера, позволяющая это сделать, так как она является оценкой вероятного отклонения фактической доходности от ожидаемой. Может показаться, что простая мера риска в лучшем случае является очень грубой суммой "плохих" возможностей. Но в наиболее типичной ситуации стандартное отклонение является в действительности очень хорошей мерой степени неопределенности оценки перспектив портфеля. Наилучшим примером является случай, когда распределение вероятностей доходности портфеля может быть аппроксимировано известной кривой, имеющей форму колокола, которая носит название нормального распределения. Это часто рассматривается как правдоподобное предположение при анализе доходности диверсифицированных портфелей, когда изучаемый период владения относительно короток (до квартала).

В результате возникает вопрос о стандартном отклонении, как о мере риска; зачем вообще учитывать "счастливые неожиданности" (т.е. случаи, когда доходность превышает ожидаемую) при измерении риска? Почему бы просто не рассмотреть отклонения ниже ожидаемой доходности? Меры риска, при которых поступают таким образом, имеют достоинства. Однако результат будет тем же самым, если вероятностное распределение симметрично как при нормальном распределении. Почему? Потому что левая часть симметричного распределения является зеркальным отображением правой части. Таким образом, перечень портфелей, упорядоченный на основе "риска снижения курса", не будет отличаться от перечня, упорядоченного на основе стандартного отклонения, если доходность нормально распределена.

Например, Гарри Марковиц изначально (в первой своей работе по эффективным наборам) предполагал, что мера риска включает в себя только негативные результаты. В дальнейшем он отказался от этого подхода в пользу стандартного отклонения, для того чтобы упростить вычисления. Тот факт, что результаты, превышающие ожидаемую стоимость, включаются в расчеты вместе с результатами, не достигающими ожидаемой стоимости, не имеет значения. Стандартное отклонение суммирует "плохую" часть распределения доходности инвестиций. Однако что будет, если доходность инвестиций не является нормально распределенной? Можно рассмотреть ситуацию, где доходность обыкновенных акций не удовлетворяет данному предположению. Допустим, что инвестор на рынке обыкновенных акций столкнулся с ограниченной ответственностью. Самое большое, что он может потерять в данном случае, это первоначальные инвестиции. При этом потенциальный выигрыш от повышения не ограничен. Наконец, ожидается падение большинства доходностей по обыкновенным акциям до среднего рыночного значения. То, что мы только что описали, носит название распределения, смешенного вправо по отношению к нормальному.

Стандартное отклонение недостаточно характеризует риск "смещенной вправо" ценной бумаги, т.к. при этом игнорируется факт, что большая часть изменчивости ценной бумаги приходится на "хорошую" сторону ожидаемой доходности ценной бумаги. Интересно, что простыми математическими действиями можно свести смешенное вправо распределение к нормальному. Если прибавить 1 к доходности ценной бумаги, а затем вычислить натуральный логарифм этого значения, тогда получившееся преобразованное распределение доходности может оказаться нормальным.

Поэтому исследователи часто интересуются тем, удовлетворяет ли доходность ценной бумаги "логнормальному" распределению более, чем нормальному распределению. Хотя эмпирическое доказательство может быть оспорено, большинство экспертов рассматривает "логнормальность" как адекватную характеристику доходности обыкновенных акций. Но доходность на некоторые виды ценных бумаг не является нормально или "логнормально" распределенной. Самым простым примером являются опционы. Например, опцион на покупку позволяет его владельцу получать прибыль в случае положительной доходности соответствующей акции, но в то же время избегать убытков в случае ее отрицательной доходности. По существу, опцион на покупку отсекает распределение доходности акций в той точке, где начинаются потери. Инвестору, таким образом, принадлежит только "хорошая", или правая, сторона в распределении доходности. Соответственно доходность опциона на покупку по определению не является нормально распределенной. Кроме того, некоторые ценные бумаги имеют включенные в них опционы. Например, отзывные облигации позволяют эмитентам осуществить их погашение по своему усмотрению. Они делают это только тогда, когда процентная ставка изменяется в их пользу.