Отчет по практике в БГТИ (филиал) ГОУ ОГУ

       Для примера рассмотрим пятеричную систему. В ней ряд натуральных чисел  выглядит так:

       1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,31,32,33,3440,41,100,101,..,444,1000.

       Видно, что здесь число цифр «нарастает»  быстрее, чем в десятичной системе. Быстрее всего число цифр растет в двоичной системе счисления. В  следующей таблице сопоставляются начала натуральных рядов десятичных и двоичных чисел:

Таблица 3 – Сопоставление десятичных и двоичных чисел

10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011

 

       Позиционные системы счисления имеют ряд  преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.

Запись чисел  может быть представлена в виде:

 

        = + +…+ =

       где A(D) – запись числа A в СС (система счисления) D;

       D_i – символ системы, образующие базу.

       По  этому принципу построены непозиционные  СС.

       В общем же случае системы счисления: A(B)=a₁B₁+a₂B₂ +...+a_nB_n. Если положить, что B_i=q*B_i-1, а B₁=1, то получим позиционную СС. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной СС.

       На  практике также используют другие СС:

       Таблица 4 – Другие системы счисления

q	Название	Цифры
2	двоичная	0,1
3	троичная	0,1,2
8	восьмеричная	0,…,7
16	шестнадцатеричная	0,…9,А,…,F

 

       Каждая  СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.

       Если  основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствуею знак 'A', цифре 11 – знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:

       Таблица 5 – Десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС

q=10	q=2	q=16
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

 

       В позиционной СС число можно представить  через его цифры с помощью  следующего многочлена относительно q:

       A=a₁*q⁰+a₂*q¹+...+a_n*qⁿ (1)

       Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н. схемой Горнера. Она получается поочередным выносом q за скобки:

       A=(...((a_n*q+a_n-1)*q+a_n-2)*q+...)*q+a₁

       результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции.

 

1.3 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1.3.1 Перевод двоичных чисел в десятичную систему

 

А вот  пример многозначного двоичного  числа:

       Двойка  внизу справа указывает на основание  системы счисления. Это нужно  для того, чтобы не перепутать двоичное число с десятичным. Ведь  существует же десятичное число 110101! Вес каждой следующей цифры в двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного двоичного числа выглядит так:

        =1× +1× +0× +1× +0× +1× =

Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.

Переведем в десятичную систему еще несколько  двоичных чисел.

= =2;   = =4;   = =8;   = =16;   = =32 и т.д.

       Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.

       Вот как выглядит начало натурального ряда чисел в десятичной ( ) и двоичной ( ) системах счисления:

Таблица 6 – Начало натурального ряда чисел в десятичной ( ) системе счисления

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010

 

Таблица 7 – Начало натурального ряда чисел и двоичной ( ) системе счисления

	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	1011	1100	1101	1110	1111	100000	10001	10010	10011	10100

 

       Перевод десятичных чисел в двоичную систему.

       Как перевести двоичное число в разное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:

        =8+4+2+1=1× +1× +1× +1× = .

       Это сложно. Есть другой способ, с которым  мы сейчас и познакомимся.

       Существует  процедура, позволяющая легко выполнить  перевод десятичного числа в  двоичную систему. Она состоит в  том, что данное десятичное число делится на 2. Полученный остаток- это младший разряд искомого числа. Полученное частное снова делится на 2, полученный при этом остаток- это следующий разряд искомого числа. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двойки (основания системы). Это частное- старшая цифра искомого числа.

       Арифметика  двоичных чисел

       Правила двоичной арифметики гораздо проще  правил десятичной арифметики. Вот  все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел:

       0+0=0                                 0×0=0

       0+1=1                                 0×1=0

       1+0=1                                 1×0=0

       1+1=10                               1×1=1

       Своей простотой и согласованностью с  битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими способами, чем десятичную систему.

       Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

 

           1011011101

       +    111010110

          10010110011

       А теперь посмотрим внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:

                         1101101

                    ×            101

                         1101101

                     1101101

                   1000100001

       После небольшой тренировки любой из вас такие вычисления будет выполнять автоматически.

 

1.3.2 Правила перевода целых чисел

 

       Результатом является целое число.

       1. Из десятичной системы счисления  – в двоичную и шестнадцатеричную:

1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;
2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
3. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
4. формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

Пример 1.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Рисунок 1 – Выполнение перевода числа 19 в двоичную систему счисления

 

Пример 1.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Рисунок 2- Выполнение перевода числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления

2. Из  двоичной и шестнадцатеричной  систем счисления - в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.