Моделирование системы обслуживания с отказами

    Иногда  порядок обслуживания таков, что  прибывающий самолет присоединяется к очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, а затем выбор самолета на посадку производится случайным образом (одна из форм обслуживания с приоритетом). Так, например, если самолет находится ближе других к точке, в которой он может выйти из зоны ожидания, то ему будет дана команда на посадку. В промежутке времени между получением приоритета на посадку и командой "посадку разрешаю" самолет выходит из эшелона и направляется к аэродрому. Это время известно как захода на посадку. Время приземления затрачивается на операцию посадки и продолжается до того момента, когда самолет сворачивает с взлетно-посадочной полосы.

    Самолет, ожидающий посадки, может, находится  в положении, близком к критическому (в это время другие самолеты будут  действительно в критическом  положении), он может принять решение  присоединится к более короткой очереди в ближайшем аэропорту и приземлится там. Прибывающий самолет может не выстраиваться в эшелон, а уходить в другой аэропорт (отказ становится в очередь). В этом случае говорят, что аэропорт "потерял" этот самолет. Случается, что самолет отправляется в соседний аэропорт после того, как, присоединившись к очереди, он прождал больше, чем предполагалось (по кидание очереди до начала обслуживания). Можно рассматривать приземляющийся самолет участвующим в цикле, если он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается во входной поток системы. Если приземляющийся самолет имеет информацию о размерах очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки в соседнем аэропорту, то он может, присоединится к этой очереди. Если у него есть информация еще об одном аэропорте, то он может, отправится и туда (редкий случай). Это движение туда и обратно при наличии нескольких очередей называется переходом из одной очереди в другую (возможность выбора очереди).

    Аэропорт  может временно закрываться, и прибывший самолет будет вынужден, отправится в другой аэропорт, если число эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, достигнет заданной величины. Операция обслуживания может быть ускорена путем оборудования специальных гасителей скорости, которые позволяют самолетам, приземлятся на главной полосе с большой скоростью.

    Основной  проблемой пи управлении аэропортом является связь. Если входящий поток, как на земле, так и в воздухе велик, то аэропорт должен быстро связываться с самолетами и получать ответ. При организации связи важной проблемой является определение числа операторов и каналов связи, необходимых для регулирования различных состояний перегруженности, которые могут возникнуть. В данном случае необходимо выбрать оптимальное число каналов для обслуживания требований, поступающих в соответствии с данным распределением. Можно произвести сравнение стоимость дополнительного канала со стоимостью возросшего объема обслуживания существующими каналами.

    Важной  проблемой является наличие соответствующего места для ожидания в очереди. Например, при проектировании аэропорта существенным моментом является наличие наземной рулежной дорожки для самолетов, готовых к влету.

    Во  многих задачах теории массового обслуживания (ТМО) для определения необходимого показателя эффективности достаточно знать распределение входящего потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и распределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь дополнительную информацию. Например, в случае отказов в обслуживании нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т. е. покинет очередь до или после присоединения к ней.

    С теоретической точки зрения очередь можно рассматривать как потоки, походящие через систему пунктов обслуживания, соединенных последовательно или параллельно. На поток оказывают влияние различные факторы; они могут замедлять его, приводить к насыщению и т. д. 
 
 
 
 
 
 

  2 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ  С ОТКАЗАМИ 

      2.1 Постановка задачи 

      Система состоит из восьми одинаковых блоков, например модемов, к которым поступают звонки от пользователей – поток запросов на обслуживание. Если все восемь блоков заняты, запрос теряется. Будем считать время дискретным и шаг по времени выберем достаточно маленьким, так, чтобы можно было пренебречь вероятностью поступления двух запросов за один шаг. Время обслуживания будем считать случайным и состоящим из независимых продолжений, что согласуется с практическими наблюдениями над реальными системами обслуживания.

      Пусть вероятность поступления одного запроса будет a, а вероятность того, что запрос обслуживается за один шаг - b. Тогда он обслуживается после этого шага как новый запрос с вероятностью 1-b.

      Вероятность поступления одного запроса за один шаг a=0,42.

      Вероятность обслуживания запроса за один шаг b=0,6.

      Количество  первоначально занятых блоков N=2.

      На  основе исходных данных о значениях a и b и количестве N первоначально занятых блоков:

1. Провести анализ работы системы через 10 шагов и найти вероятность того, что в системе будет занята половина блоков.
2. Найти долю пропадающих через 10 шагов запросов.
3. Найти количество шагов, через которое система достигнет стационарного режима.
4. Провести анализ работы системы в стационарном режиме.

 
 
 
 

2.2 Математическая модель и анализ 

1) Список возможных состояний системы, исходя из ее загруженности:

• состояние 1: все блоки свободны;
• состояние 2: один блок занят;
• состояние 3: два блока заняты;
• состояние 4: три блока заняты;
• состояние 5: четыре блока заняты;
• состояние 6: пять блоков заняты;
• состояние 7: шесть блоков заняты;
• состояние 8: семь блоков заняты;
• состояние 9: восемь блоков заняты (все блоки заняты).

 

3. Начальный вектор вероятностей состояний (ВВС):

Если  первоначально занято N блоков, то у начального ВВС на (N+1) месте будет стоять единица, а остальные нули. Таким образом, ВВС будет следующий:

 

4. Матрица вероятностей перехода системы (МВПС) составленная в программе MathCAD.

      Учитывая  вероятность поступления одного запроса за один шаг a=0.42 и вероятность обслуживания запроса за один шаг b=0.6, предварительно, вычислив и подставив значения в МВПС общего вида, запишем МВПС для конкретного случая:

      

 
 
 
 
 

6. Исследование этой системы в стационарном режиме.

Для рассматриваемой системы найдем стационарный вектор, воспользовавшись рекуррентной формулой:

 

 

 

 

   _{Используя алгоритм вычисления шага, на котором система достигнет стационарного состояния (рисунок 2.1), убедимся в том, что система будет, находится в стационарном режиме через 339 шагов.}

 

        
 
 
 
 

                                                 _{C(X) = 339}

                _{Рисунок 2.1 – Алгоритм MathCAD нахождения шага, с которого система}           

                                         _{будет находиться  в стационарном  режиме} 

      _{После того, как система  достигла стационарного  состояния, по сравнению с начальным состоянием на 1-м шаге произошли следующие изменения: вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы все блоки будут свободны, изменилась с 0 на 0.36. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы один блок будет занят, изменилась с 0 на 0.30. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы два блока будут заняты, изменилась с 0 на 0.17. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы три блока будут заняты, изменилась с 1 на 0.084. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы четыре блока будут заняты, изменилась с 0 на 0.040. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы пять блоков будут заняты, изменилась с 0 на 0.0197. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы шесть блоков будут заняты, изменилась с 0 на 0.009. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы семь блоков будут заняты, изменилась с 0 на 0.004. Вероятность того, что через длительный срок после функционирования системы все блоки будут заняты, изменилась с 0 на 0.00128. Таким образом, вероятность того, что запрос пользователя будет отклонен, очень мала и является наименьшей из всех вероятностей возможных состояний системы. Наиболее вероятным состоянием, в котором может находится система, является состояние 2, когда один блок будет занят. Вероятности различных состояний системы в стационарном режиме по убыванию изображены в таблице 2.1.} 

Таблица 2.1 – Вероятности состояний системы  в стационарном режиме

 

      Исходя  из полученных результатов, можно прийти к выводу, что в стационарном состоянии  система будет успевать обслуживать  запрос за 1 шаг, что не является оптимальным  с точки зрения эффективности  использования системы. 

      

      7. Анализ работы системы через 10 шагов

     Через 10 шагов наиболее вероятным состоянием системы  будет состояние 2, при котором будет занят 1 блок (P₂=0.359), при этом вероятность отказа запроса (P₉=0,0003404) будет наименее вероятным среди вероятностей всех остальных состояний. Состояние, при котором все блоки окажутся свободными является также наиболее вероятным (P₁=0.29). Вероятность того, что на 10 шаге система будет находиться в состоянии, при котором: 50% блоков будут заняты, равна 0.045. Следовательно, можно сделать вывод, что вероятность загруженности половины блоков достаточно мала. 

      

      8) Доля пропадающих через 10 шагов запросов: