Компьютерные 2d и 3d иллюстрации свойств геометрических фигур и тел при изучении геометрии в школе

     Возможно, однако, некоторое расширение класса геометрических тел, пригодных для  эффективного компьютерного моделирования. Так, следующие по сложности объекты  второго порядка (шар, цилиндр, конус), математическое описание которых содержит степени координат не выше двух, при решении обратных задач (в частности, при вычислении координат на поверхности тела, что необходимо, в том числе, для построения 2D-проекции) требуют всего лишь решения хорошо известного квадратного уравнения, содержащего операцию взятия квадратного корня. По этой причине вычислительная сложность в данном случае остается зачастую вполне приемлемой, и включение таких геометрических объектов в модель возможно. Ниже приводится пример эффективности такого подхода.

     В общем случае в CAD/CAM-проектировании твердое тело принято описывать  как комплексную полиповерхность, составленную из плоских (3D-полигонов) и криволинейных граней (частей сложных  поверхностей, в том числе выше второго порядка, в узловых вершинах которых вычисляются нормали к поверхности). При этом конечная программная модель синтезируется как результат полного триангулирования исходной математической модели. Далее сформированный поток треугольников направляется на построение проекции, например с помощью стандартных средств OpenGL. Такой метод, будучи универсальным, приводит к заметной и неоправданной вычислительной нагрузке. Обсуждаются методы снижения количества полигонов в конечном представлении модели. Однако в рамках чисто триангуляционного подхода не удается достичь сколь-нибудь существенной оптимизации. Более детальное рассмотрение позволяет выделить квазивыпуклые области на криволинейных гранях, которые можно более эффективно аппроксимировать полигонами порядка выше трех, а чисто плоские грани (с общей единственной нормалью) — обрабатывать непосредственно на основе прямых растровых алгоритмов.

     Другой, принципиально новый метод связан с вычислением 3D-координат вершин на моделируемой поверхности. При необходимости расширения класса криволинейных граней на произвольно формируемые поверхности обычно прибегают к стандартному подходу на основе сплайнового приближения (как правило, это бикубические 3D-сплайны). Найден более универсальный и эффективный подход на основе аппарата Фурье-аппроксимаций. Хорошо известно, что гладкие функциональные зависимости имеют эффективное разложение по базису Фурье (на основе гармонических функций). Так, обычный одномерный комплексный ряд Фурье имеет смысл аппроксимации замкнутого параметрического контура на обычной 2D-плоскости. При этом, чем выше степень гладкости такого контура, тем меньшим числом гармоник (компонент спектрального Фурье-разложения) он может быть представлен (то есть — может быть восстановлен обратным преобразованием с минимальными погрешностями). Тем самым достигается эффективное сжатие описания конечной координатной функции.

     Применительно к построению комплексных, но достаточно гладких криволинейных поверхностей построено обобщение рядов Фурье для 3D-случая. При этом в качестве базиса используются операторы (матрицы 3Ѕ3) вращения вектора. Простейший пример связан с хорошо известной сферической системой координат. В этом случае фазовые углы поворота вектора являются одновременно координатами на вспомогательной плоскости развертки. Для представления произвольной сферы достаточно только двух спектральных базисных векторов и трех для другого простого примера — тора.  

     2.2 Обобщение методов векторного анализа

     Из  практики 3D-моделирования хорошо известно, что основным математическим инструментом в данной прикладной сфере является раздел математики, известный как векторный анализ. Это напрямую связано с вычислением координат проекций (на основе скалярного произведения векторов) либо, например, с определением векторов нормалей к поверхности (векторное произведение). В оптимизационных расчетах большую роль играет решение систем линейных уравнений, в частности для регрессионной аппроксимации. Последняя проблема обычно относится к более общему разделу линейной алгебры, где применяется понятие матриц. Однако оказалось возможным обобщить все указанные задачи на основе более полного раскрытия свойств векторных пространств, не прибегая к понятию матрицы.

     Так, понятие векторного произведения в  более общем виде имеет смысл построения ортогонального дополнения в некотором N-мерном векторном пространстве к базису в его (N – 1)-мерном подпространстве, которое может быть определено с точностью до ненулевого скалярного коэффициента. Стандартное в математике определение векторного произведения по сути представляет собой алгоритм наиболее простого нахождения подходящего ортогонального вектора для 3D-случая. Проблема выбора коэффициента при этом неявно снимается за счет удобного набора чисто линейных операций над координатами (умножения-сложения), то есть без нормирования.

     Аналогичным образом проблема решения системы  из N линейных уравнений сводится к  обратной задаче восстановления вектора  по его проекциям на некотором  неортогональном ненормированном  базисе (каждое уравнение представляет собой N-мерное скалярное произведение искомого неизвестного вектора с базисными, то есть попросту проекции). Решение в общем виде может быть представлено линейной комбинацией из N ортогональных дополнений (также с точностью до ненулевого скалярного коэффициента) ко всем N поднаборам из (N – 1)-мерных подпространств с коэффициентами, пропорциональными исходным проекциям (значениям в правой части системы). Наиболее простой алгоритм решения — ортогонализация (например, на основе хорошо известной процедуры Грама-Шмидта), нормирование и умножение результата на вектор проекций (правая часть системы). В сравнении с известным стандартным методом Гаусса-Жордана это дает более простой и быстрый результат. Относительный недостаток — необходимость взятия N квадратных корней при нормировании.  

     2.3 Инструментарий для  программных реализаций

     Программные пакеты, позволяющие создавать трёхмерную графику, то есть моделировать объекты  виртуальной реальности и создавать  на основе этих моделей изображения, очень разнообразны. Последние годы устойчивыми лидерами в этой области являются коммерческие продукты: такие как 3ds Max, Maya, Lightwave 3D, SoftImage XSI, Sidefx Houdini, Maxon Cinema 4D и сравнительно новые Rhinoceros 3D, modo, Nevercenter Silo или ZBrush. Кроме того, существуют и открытые продукты, распространяемые свободно, например, пакет Blender (позволяет делать и производство моделей, и последующий рендеринг), K-3D и Wings3D (только создание моделей с возможностью последующего использования их другими программами). Некоторое время назад Caligari закрыла разработки по trueSpace и она также стала бесплатной.

     Бесплатная  программа SketchUp позволяет создавать  модели, совместимые с географическими  ландшафтами ресурса Google Планета  Земля, а также просматривать  в интерактивном режиме на компьютере пользователя несколько тысяч архитектурных моделей, которые выложены на бесплатном постоянно пополняемом ресурсе Google Cities in Development (выдающиеся здания мира), созданные сообществом пользователей.

     Трехмерная  графика активно применяется в системах автоматизации проектных работ (САПР) для создания твердотельных элементов: зданий, деталей машин, механизмов, а также в архитектурной визуализации (сюда относится и так называемая "виртуальная археология"). Широко применяется 3D графика и в современных системах медицинской визуализации. 

     2.4 Применение 3d на уроках геометрии

     С появлением 3d технологий у нас появилась возможность наглядно демонстрировать геометрические тела по средствам ИКТ. Изучение 4-мерных геометрических тел затруднительно в силу отсутствия возможности работать с их материальными моделями. Но становится возможным представить их по проекциям на гиперплоскость, демонстрируемым компьютерной программой. С помощью этой программы очень красиво может быть решена задача 4-мерного куба и других объемных геометрических тел. Трехмерные модели можно создавать не только для реализации их в специализированном программном обеспечении, но и создать анимированный видеоролик. Это позволит демонстрировать тела вращения, просмотр фигуры с различных ракурсов, как происходит сечение фигур и многие другие их свойства.

     Преимущество  видеоролика в том, что его  можно демонстрировать и без  компьютера. Достаточно иметь лишь телевизор и видеопроигрыватель. Так же этот ролик можно записать и на аналоговый носитель, если нет возможности воспроизвести его на цифровом проигрывателе, но есть видеомагнитофон. Именно поэтому я и решил создать именно видео файлы потому, что они просты и удобны в реализации. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Глава 3. Геометрические тела и их отображение

     Геометрическое  тело рассматривают как множество  всех принадлежащих ему точек, связанных  между собой и ограниченных в  пространстве соответствующим образом. Оно может перемещаться в пространстве без изменения взаимного положения его элементов.

     В инженерной графике рассматриваются  одномерные тела (отрезок линии), двухмерные (плоская фигура, отсек поверхности), трехмерные (любая объемная фигура). Основными предметами изображения  на плоских чертежах являются трехмерные геометрические тела, окружающие нас в реальном трехмерном пространстве.

     Сложные геометрические тела можно рассматривать  и как состоящие из более простых  трехмерных фигур, которые определяются основными формообразующими элементами пространства — точками, линиями, поверхностями.

     Геометрические  тела на чертежах получают методом  отображения (Рис. 1). Отображение геометрического тела — это понятие, в соответствии с которым каждой точке трехмерного пространства соответствует конкретная точка двухмерного пространства на чертеже. Отображение геометрических тел может быть выполнено на плоскость или какую-либо другую поверхность. В курсе инженерной графики рассматривается отображение геометрических тел на плоскость. Изображение геометрического тела на плоскости можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость.

     Геометрическая  связь между геометрическим телом, расположенным в пространстве, и  его отображением на чертеже на плоскости  устанавливаются по законам проецирования, которые базируются на принципе взаимно-однозначного соответствия.

Рис. 1 3D отображение геометрического тела. 

     3.1 Параллельные прямые

     Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости  и не пересекаются. Прямые, которые  не пересекаются и не лежат в одной  плоскости, называются скрещивающимися (Рис. 2).

     Теорема: через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну

Рис. 2 3D отображение параллельных прямых.

     3.2 Параллелепипед, его элементы

     Если  основание призмы - параллелограмм, то она называется параллелепипедом (Рис. 3). У параллелепипеда все грани - параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

     Параллелепипед  бывает прямой и наклонный.

     Прямой  параллелепипед: основание - прямоугольник. У него все грани - прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоугольный параллелепипед называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольный параллелепипед три измерения.

Рис. 3 3D отображение параллелепипеда. 

     3.3 Параллельные плоскости

     Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 4).

     Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рис.4 3D отображение параллельных плоскостей. 

     3.4 Перпендикулярные плоскости.

     Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения  этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (Рис. 5).

     Теорема: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Рис. 5 3D отображение перпендикулярных плоскостей.

     Заключение

     ИКТ создает большие возможности  в формировании персонального когнитивного стиля. В частности, посредством различных мультимедийных средств (2D и 3D графика, звук, гипертекстовая форма) становится возможной разработка учебных текстов с учетом различных стилей кодирования информации: предметно-практического, визуального, словесно-речевого, сенсорно-эмоционального, что, в конечном счете, способствует индивидуализации процесса обучения.

     Говоря  о практическом использования ИКТ  в школе и вузе, обращает на себя внимание тот факт, что на сегодняшний  день этот вопрос недостаточно исследован. Опрос, проведенный среди преподавателей математических дисциплин вузов Орла, Курска, Брянска, Железногорска, Тулы показал, что лишь 41,9% из них используют компьютерные средства в преподавании, а среди учителей Екатеринбурга и Омска эта доля составляет 23,7%. Как видим, исследование проводилось только по одному из двух направлений (т.е. либо в школе, либо в вузе). Хотелось бы отметить и тот факт, что в большинстве публикаций по вопросу использования ИКТ акцент ставится на отсутствие методического обеспечения существующих компьютерных средств. По-нашему мнению, следует обратить внимание как на количество, так и на качество уже имеющихся. Например, часто электронный учебник является просто копией «бумажного» варианта и содержит грубые ошибки в изображениях геометрических фигур.