Н.И. Лобачевский

     В геометрии Лобачевского нет подобных треугольников, т.е. все треугольники, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.

     Если  три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.

     Существуют  треугольники, вокруг которых нельзя описать окружность и в которые  нельзя вписать окружность. Дело в том, что в гиперболической плоскости серединные перпендикуляры к сторонам треугольника либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо все три перпендикулярны к одной прямой; то же имеет место и относительно биссектрисы внутренних углов треугольника.

     В гиперболической геометрии углы равностороннего треугольника могут  быть не равны между собой (рис.10,а) 

     

             рис.10,а

     В гиперболической плоскости имеются  три типа пучков прямых: пучок сходящихся прямых, пучок параллельных прямых, пучок расходящихся прямых - множество всех прямых плоскости, перпендикулярных одной прямой - базисной прямой пучка.

     Лобачевский рассмотрел пучок прямых, параллельных друг другу в одном направлении, и его ортогональные траектории, т.е. линии, которые пересекают под  прямым углом все прямые данного  пучка. В евклидовой геометрии тоже можно рассматривать ортогональные  траектории. Например, для пучка  концентрических окружностей это  лучи, исходящие из центра, а для пучка параллельных прямых - перпендикулярные им прямые (рис. 10,б). 

     

     Рис. 10,б 

     В евклидовой плоскости имеются только две линии постоянной кривизны - прямая и окружность.

     В плоскости Лобачевского, кроме прямой и окружности, линиями постоянной кривизны являются эквидистанта и предельная линия (ее еще называют орициклом). 

       

     Эквидистанта  представляет собой множество всех точек гиперболической плоскости, равноудаленных от данной прямой а; она состоит из двух ветвей, расположенных по одной в разных полуплоскостях относительно данной прямой а, называемой базой эквидистанты (на рис.11,а изображена одна ветвь эквидистанты). (В евклидовой плоскости такое множество точек представляет собой две параллельные прямые). Прямую в гиперболической плоскости можно отнести к эквидистантам, если расстояние от данной прямой - базы положить равным нулю. 

     

       в)

     Предельную  линию можно представить как окружность бесконечно большого радиуса (рис.11,б и в) (предельный переход от окружности конечного радиуса к окружности бесконечно большого радиуса выражен в названии этой линии).

     Геометрию в плоскости Лобачевского (в гиперболической  плоскости) называют гиперболической геометрией.

     Не  менее интересна геометрия в  пространстве Лобачевского, т.е. в пространстве, в котором выполняется аксиома  параллельности Лобачевского.

     Заметим, что в евклидовом пространстве существуют два вида поверхностей постоянной кривизны – плоскость и сфера, которые  допускают внутреннюю геометрию, основанную на движении без деформации: на первой имеет место евклидова геометрия, на второй - сферическая геометрия.

     Не  менее интересная картина наблюдается  в пространстве Лобачевского, в котором  в гиперболической плоскости имеет место гиперболическая геометрия, а геометрия на сфере та же самая, что и в пространстве Евклида (сферическая геометрия).

     Но  в пространстве Лобачевского существуют и другие поверхности, которые допускают  внутреннюю геометрию поверхности.

     Лобачевский рассмотрел в пространстве пучок  параллельных прямых и поверхности, ортогональные прямым пучкам. Такие  поверхности (предельные поверхности) или орисферы (предельные сферы) получаются если предельную линию вращать вокруг одной из своих осей. Эту поверхность можно представить как сферу с бесконечно удаленным центром. Такая поверхность может скользить по самой себе; на ней можно строить внутреннюю геометрию.

     

     Рис. 13 

     Орисферы  обладают замечательными свойствами. Через каждые две точки орисферы проходит орицикл, целиком лежащий  на этой поверхности.

     А потому можно рассматривать треугольники, образованные тремя орициклами на орисфере (рис. 13).

     Оказалось, что в геометрии на орисфере сумма  углов любого треугольника равна 180 градусов. То есть для орициклов  на орисфере справедлив пятый постулат - господствует геометрия Евклида. Другими  словами, из материала своей "воображаемой" геометрии Лобачевский сумел  построить модель геометрии Евклида. Какая злая ирония судьбы! Если бы все  было наоборот! Гениальный ученый понимал: создай он из материала евклидовой геометрии (в непротиворечивости которой  никто не сомневался) модель собственной "воображаемой" геометрии - и законность его геометрической системы установлена. Это сделали математики уже следующего поколения.

     Лобачевский доказал, что на предельной поверхности выполняется обычная двумерная геометрия Евклида. Не странно ли: отказ от евклидовой геометрии на двумерной плоскости в пространстве Лобачевского порождает евклидову же геометрию на другой двумерной поверхности. Носителем этой евклидовой геометрии в гиперболическом (неевклидовом) пространстве является предельная поверхность (ее называют еще орисферой).

     Восстановление  евклидовой планиметрии в неевклидовом пространстве имеет чрезвычайно  большое значение. Используя факт существования евклидовой геометрии  на предельной поверхности, Лобачевский  приходит к тригонометрии прямоугольных  треугольников в гиперболической  плоскости, расположение которой он строит в «воображаемой геометрии», как ее называет Лобачевский, аналитическую  геометрию, дифференциальную геометрию, развивает дифференциальное и интегральное исчисление. Он развивает созданную  им геометрию до такого уровня, которого достигла до него в течение последних  трех столетий классическая, «употребляемая»  геометрия. И чем дальше шло это  развитие новой геометрии, не наталкиваясь ни на какие противоречия, тем тверже крепла уверенность Лобачевского в  ее незыблемости. Лобачевским была создана совершенно новая наука, принесшая новые идеи и факты, свидетельствующие о гениальности ее творца. Прецедента этому история развития человеческого знания не имела. 
 

     §2 Непротиворечивость (содержательная) геометрии Лобачевского. Интерпритации (модели) геометрии Лобачевского 

     Итальянский геометр Э. Бельтрами показал, что  в евклидовом пространстве существуют поверхности, которые несут на себе планиметрию Лобачевского, - псевдосферы (рис.12).

     Образно выражаясь, можно сказать, что на псевдосферическую поверхность  навертывается гиперболическая  плоскость, подобно тому, как на обыкновенную цилиндрическую поверхность навертывается евклидова плоскость. На рис.12,б можно видеть, что на «плоскости Лобачевского» (на псевдосфере) через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходят две «прямые» b и с, не пересекающие «прямую» а.[29] 

       

       

     Известно, что сферу можно получить вращением  полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.13).Итак, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d. Сторона треугольника – это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников.

     Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами  назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости. Впоследствии, с развитием и введением  в математику аксиоматического метода, под интерпретацией (или моделью) некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом. При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию (модель), то эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

     Итак, доказательство логической непротиворечивости той или иной геометрии, можно  свести к доказательству существования  модели соответствующей системы  аксиом.

     Первой  моделью планиметрии Лобачевского была интерпретация Бельтрами в 1868г., к которой позже, но из других соображений и в ином виде, пришел в 1870г. немецкий математик Феликс Клейн. Идею этой интерпретации можно усмотреть  на рис.14.

     В качестве плоскости Лобачевского, коротко  «плоскость L», принимается внутренность некоторого круга (исключается таким образом его контур) на обычной евклидовой плоскости. Прямыми L служат хорды круга, исключая, конечно, их концы. Принадлежность и между понимаются в обычном евклидовом смысле. Оказывается, что в этой модели имеют место все аксиомы абсолютной геометрии, то есть, аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности. Что же касается аксиомы параллельности, то в этой

     модели  имеет место не постулат Евклида, а именно, аксиома Лобачевского: через т. С, не лежащую на данной прямой (хорде) АВ, рис.14 можно провести хотя бы 2 прямые (хорды), не пересекающие

       данную. Выполняются, конечно, так же все следствия аксиомы. Так, например, среди проходящих через данную точку расходящихся прямых L, имеются две предельные CL и CM, параллельные к АВ в смысле Лобачевского, так как разделяют класс расходящихся с АВ прямых от класса сходящихся. Сами параллельные не имеют с АВC общих точек, поскольку точки А и В, лежащие на окружности, исключены.

     Аналогично  строится модель Клейна геометрии Лобачевского в пространстве.

     За "плоскость" принимается внутренность какого-либо круга (рис. 1), за "точки" - точки этой внутренности, за "прямые" - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За "перемещения" принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.  

       

     Всякая  теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии  Евклида и, обратно, всякая теорема  геометрии Евклида, говорящая о  фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Это  общее утверждение доказывается проверкой справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского.

     То, что аксиома параллельных не выполняется  в этой модели, видно непосредственно: на рисунке 2 через точку С, не лежащую  на "прямой" (то есть на хорде) АВ, проходит бесконечно много "прямых" (хорд), не пересекающих (АВ).

     Поэтому, если в геометрии Лобачевского имеется  противоречие, то это же противоречие (вернее, его перевод на "язык в  круге") имеется и в геометрии  Евклида.

     Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна некоторые  факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный  круг, а реальный круг и реальные хорды И понимаем теоремы как  утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского имеет вполне реальный смысл с  той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

     Стало быть, геометрия Лобачевского настолько  непротиворечива, насколько непротиворечива  геометрия Евклида, и имеет в  такой же степени реальный, экспериментально устанавливаемый смысл.

     Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Ее аксиомы  и теоремы не могут быть противоречивыми, так как каждой из них соответствует  факт евклидовой геометрии внутри круга (или внутри шара). Если в геометрии  Лобачевского встретились бы две  противоречащие друг другу теоремы, то, переводя эти теоремы на язык обычной геометрии посредством  модели Клейна, мы получили бы противоречие между соответствующими теоремами  в геометрии Евклида, то есть, построением  модели, Клейн показал, что геометрия  Лобачевского непротиворечива в  такой же мере, в какой непротиворечива  геометрия Евклида.