Билинейные поверхности

Федеральное агентство  по образованию

ГОУ ВПО Ульяновский  государственный педагогический университет  имени И.Н. Ульянова

Кафедра алгебры  и геометрии

 

 

 

 

БИЛИНЕЙНЫЕ  ПОВЕРХНОСТИ

Курсовая работа

 

 

студентки 3 курса  очного отделения

физико-математического  факультета

Егоровой Н.П.

Руководитель  к. ф.-м н., доцент

О.И. Череватенко.

 

 

 

 

Ульяновск 2010.

Оглавление

Введение…………………………………………………………………….….….…3

1. Определение билинейной поверхности……………………………….……......4

2. Построение  билинейной поверхности………………………………….…….…6

   2. 1. Билинейная  интерполяция. Единичный квадрат…………………..……....6

   2. 2. Билинейная  поверхность в объектном пространстве…………….….…….8

3. Поверхность  Кунса……………………………………………………………....11

4. Машинное моделирование  поверхности……………………………………....14

   4. 1. Историческая справка…………………………………………………........14

   4. 2. Построение билинейной поверхности на компьютере…………………...16

          4. 2. 1. Алгоритмы построения участка билинейной поверхности и

                      поверхности Кунса…………………………………………………..23

Заключение………………………………………………………………………….25

Список использованной литературы………………………………………...……26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Область прикладной математики, называемая геометрическим моделированием (компьютерная геометрия, Computer Aided Geometrie Design, CAGD), активно развивается с середины 20-го века, В этой области изучаются способы построения кривых, поверхностей и тел, а также компьютерная реализация различных операций, производимых с ними. Геометрическому моделированию посвящены несколько книг и монографий. Поверхность в геометрическом моделировании определяется вектор-функцией от двух параметров, заданных на прямоугольной или треугольной области. 

В ряде приложений (например, в моделировании и проектировании корпусов и крыльев самолетов  и кораблей) требуется строить гладкие поверхности, затягивающие заданные остовы из кривых - криволинейные сетки, криволинейные направляющие (например, несущий остов корпуса корабля), различные граничные контуры. Во многих случаях важное значение имеет также и вычислительная сторона вопроса - сложность вычисления радиус-вектора поверхности и ее дифференциально-геометрических характеристик не должна быть слишком высокой.

В инженерной практике,  до сих пор применяется способ задания поверхности, называемый плазовым. Плазовые поверхности получают методом линейной интерполяции граничных кривых. Важным частным случаем плазовой поверхности является билинейная поверхность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Определение  билинейной поверхности.

Билинейная  поверхность является одной из самых простых поверхностей. Это двулинейчатая гладкая, не замкнутая поверхность, которая конструируется по 4 угловым точкам единичного квадрата. Подробнее об этой поверхности.

Линейчатая  поверхность представляет собой геометрическое место отрезков прямых, соединяющих соответствующие точки заданных двух линий. Ее можно получить путем движения прямой линии по двум направляющим кривым линиям, при этом каждой точке одной кривой должна соответствовать вполне определенная точка другой кривой. Пусть заданы две направляющие кривые а(t) и d(w), где параметры кривых t и w изменяются в пределах t_min < t < t_max и w_min < w < w_max. Радиус-вектор линейчатой поверхности определяется формулой

r(u, v) = (1 - v)a(t) + vd(w),

t = t_min(1 - u) + t_maxu, w = w_min(l - u) + w_maxu,

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

Для направляющих кривых неявно производится репараметризация — приведение области изменения  параметров к отрезку от 0 до 1. Можно  было бы репараметризовать только одну кривую — привести область изменения  одной из них к другой. Если параметризация кривых а(u) и d(u) совпадает, то радиус-вектор линейчатой поверхности может быть описан функцией

r(u, v) = (1 - v)a(u) + vd{u), u_min ≤ u ≤ u_max, 0 ≤ v ≤ 1.

На рис. 1. приведен пример линейчатой поверхности. Если обе направляющие замкнуты, то линейчатая поверхность замкнута по параметру u. По другому параметру линейчатая поверхность всегда не замкнута.

Рис. 1. Линейчатая поверхность.

Если направляющими  линиями являются отрезки прямых линий, то поверхность является линейчатой по обоим параметрам и для ее построения достаточно знать радиус-векторы концевых точек отрезков. Пусть один направляющий отрезок проведен из точки p₁ в точку p₂, а другой направляющий отрезок проведен из точки р₃ в точку р₄. Тогда линейчатая по двум параметрам поверхность определится векторной функцией

r(u, v) = (1 - v)(p₁(1 - u) + p₂u) + v(p₃(1-u) + p₄u) =

= (1 - u)(1 - v)p₁ + u(1 - v)p₂ + (1-u)vp₃ + uvp₄,

0 ≤u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

Такая поверхность  называется билинейной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Построение билинейной поверхности.

2.1. Билинейная интерполяция. Единичный квадрат.

В параметрическом  пространстве билинейная поверхность, можно сказать,  представляет собой  билинейный интерполяционный четырехугольник - единичный квадрат.

Интерполяция, интерполирование  - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Линейная интерполяция - интерполяция алгебраическим двучленом P1(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b].

Билинейная  интерполяция - расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Ключевая идея заключается в том, чтобы провести обычную линейную интерполяцию сначала в одном направлении, затем в другом.

Билинейная  поверхность конструируется из четырех  угловых точек единичного квадрата в параметрическом пространстве. Любая точка на поверхности определяется линейной интерполяцией между противоположными границами единичного квадрата, как это показано на рис.2.Способ задания поверхности методом линейной интерполяции граничных кривых называется плазовым.

Рис. 2. Билинейная интерполяция в параметрическом пространстве. Четыре точки Q11, Q12, Q21, Q22 представляют собой известные значения функции. Значение в точке P должно быть интерполировано.

Допустим, что  необходимо интерполировать значение функции f в точке P = (x, y). Для этого необходимо знать значения функций в (окружающих P) точках Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁), и Q₂₂ = (x₂, y₂).

Первым шагом  интерполируется (линейно) значение вспомогательных  точек  и вдоль оси абсцисс, где

Теперь проводится линейная интерполяция между вспомогательными точками и .

Это и есть приблизительное  значение функции в точке P, то есть f(x, y).

В особом случае, когда известные точки находятся  на вершинах единичного квадрата, то есть имеют координаты (0, 0), (0, 1), (1, 0), и (1, 1), формула билинейной интерполяции упрощается до

или же с помощью умножения векторов с матрицей:

 

сам интерполянт нелинеен:

так как является произведением двух линейных функций. Альтернативное написание:

где

 

.

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка  шагов. Возможно сначала интерполировать между известными точками вдоль оси ординат и затем, получив два вспомогательных значения, интерполировать между ними вдоль оси абсцисс. Результат будет тот же.

 

2. 2. Билинейная  поверхность в объектном пространстве.

Если координатные векторы четырех точек, определяющих билинейную поверхность, заданы в трехмерном объектном пространстве, то будет трехмерна и билинейная поверхность, получаемая в результате отображения параметрического пространства в объектное.

Если все  четыре точки лежат в одной плоскости, то поверхность представляет собой часть плоскости, см. рис. 3. В некоторых случаях удобно описывать плоскость по четырем точкам, лежащим в углах квадрата, в виде зависимости

r(u, v) = (1 - v)(p₁(1 - u) + p₂u) + v(p₃(1-u) + p₄u) =

= (1 - u)(1 - v)p₁ + u(1 - v)p₂ + (1-u)vp₃ + uvp₄,

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

 

Описанная таким  образом плоскость отличается тем, что ее параметрические размеры  не зависят от размеров самой плоскости. При выполнении пересечений и  других операций над поверхностями  желательно, чтобы у поверхностей области определения параметров не зависели от размеров поверхностей. Если точки p₁ и р₃ или р₂ и р₄ совпадают, то получится треугольная поверхность, которая всегда плоская.

Рис. 3. Плоская билинейная поверхность.

 

Если четыре определяющие точки не лежат в одной плоскости, то и билинейная поверхность также не лежит ни в какой плоскости. Действительно, в общем случае она очень изогнута, пример этого показан на рис. 4. Определяющие точки являются концами противоположных диагоналей на противоположных гранях единичного куба. В результате получаем гиперболический параболоид. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Рис. 4. Билинейная поверхность. (а) Определяющие угловые точки; (b) поверхность.

Найти точку  на билинейной поверхности, заданной точками  , , , , т.е. концами противоположных диагоналей, лежащих на противоположных гранях единичного куба в объектном пространстве. Искомая точка имеет координаты  в параметрическом пространстве.

Поверхность в объектном пространстве является векторной функцией:

тогда из уравнения

имеем

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Поверхность Кунса.

На основе векторной  функции билинейной поверхности  и векторной функции линейчатой поверхности можно получить вектор-функцию поверхности Кунса. Возьмем векторную функцию линейчатой поверхности

r(u, v) = (1 - v)a(t) + vd(w),

t = t_min(1 - u) + t_maxu, w = w_min(l - u) + w_maxu,

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1,

прибавим к ней и вычтем из нее векторную функцию билинейной поверхности

r(u, v) = (1 - v)(p₁(1 - u) + p₂u) + v(p₃(1-u) + p₄u) =

= (1 - u)(1 - v)p₁ + u(1 - v)p₂ + (1-u)vp₃ + uvp₄,

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1,

где p₁ и р₂ — концевые точки направляющей кривой а(t), а р₃ и p₄ — концевые точки направляющей кривой d(w). В результате этих действий векторная функция не изменится, но будет иметь вид

r(u, v) = (1 - v)a(u) + vd(u) + (1 - u)(p₁(l - v) + p₃v + u(p₂(1-v) +

+ p₄v – (1 - u)(1 - v)p₁- u(1 - v)p₂ –(1 - u)vp₃ – uvp₄ = (1 - v)a(u) + vd(u) +

+ (1 - u)b(v) + uc(v) – (1 - u)(1 - v)p₁ – u(1 - v)p₂ – (1 - u)vp₃ – uvp₄,

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤1.

В обозначениях функций а(u) и d(u) использовали их реальный аргумент u, а также ввели обозначения для отрезков прямых b(v) = p₁(l — v) +p₃v,

c(v) = р₂(1 - v) + p₄v, соединяющих концы кривых а(u) и d(u). Если допустить, что в качестве b(v) и c(v) могут использоваться произвольные кривые, начинающиеся и оканчивающиеся в тех же точках, то получим вариант поверхности Кунса. Поверхность Кунса строится по четырем равноправным кривым.

Рис. 5. Поверхность Кунса.

Рассмотрим  четыре кривые a(t_a), d(t_d), b(t_b), c(t_c), попарно пересекающиеся в точках p₁, р₃, p₂, p₄, как показано на рис. 5.Построим поверхность внутри «четырехугольника», образованного кривыми. Пусть точкам p₁ и р₂ на кривой а(t_а) соответствуют параметры t_{a min} и t_{a max}, точкам p₁ и р₃ на кривой b(t_b) соответствуют параметры t_{b min} и t_{b max}, точкам p₃ и р₄ на кривой d(t_d) соответствуют параметры t_{d min} и t_{d max}, точкам р₂ и р₄ на кривой c(t_c) соответствуют параметры t_{c min} и t_{c max}. Поверхность, построенную по данным четырем кривым, можно описать радиус-вектором