Вариант 9

Для t=16

    Y_p (16)=[a(15)+1*b(15)]*F(12)=(62,16+1*1,19)*0,7605=48,18;

 a(16)= ₁*Y(16)/F(12)+(1- ₁)*[a(15)+b(15)]=0,3*47/0,7605+(1-0,3)* *(62,16+1,19)=18,5404+44,345=62,89;

   b(16)= ₃×[a(16)–a(15)]+(1- ₃)×b(15)=0,3×(62,89-62,16)+(1-0,3)* *1,19=0,219+0,833=1,05;

  F(16)= ₂*Y(16)/a(16)+(1- ₂)*F(12)=0,6*47/62,89+(1-0,6)*0,7605= =0,4484+0,3042.

    Построим модель Хольта – Уинтерса (табл.1.3).

 

Таблица 1.3.

Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yр(t)	Абс.погр., E(t)	Отн.погр., в %
1	2	3	4	5	6	7	8
0		47	0,79	0,8608
1	41	47,74	0,78	0,8596	41,14	-0,14	0,0034
2	52	48,46	0,76	1,0744	52,23	-0,23	0,0044
3	62	49,04	0,71	1,2686	62,77	-0,77	0,0124
4	40	50,15	0,83	0,7919	38,96	1,04	0,0260
5	44	51,04	0,85	0,8610	43,82	0,18	0,0041
6	56	51,96	0,87	1,0765	55,75	0,25	0,0045
7	68	53,06	1,71	1,2763	67,02	0,98	0,0144
8	41	53,87	2,01	0,7735	43,37	-2,37	0,0578
9	47	55,49	1,89	0,8526	48,11	-1,11	0,0240
10	60	56,89	1,74	1,0634	61,77	-1,77	0,0295
11	71	57,73	1,47	1,2484	74,83	-3,83	0,0539
12	44	58,51	1,26	0,7605	45,79	-1,79	0,0407
13	52	60,14	1,37	0,8598	50,96	1,04	0,0200
14	64	61,11	1,25	1,0538	65,41	-1,41	0,0220
15	77	62,16	1,19	1,2426	77,85	-0,85	0,0110
16	47	62,89	1,05	0,7526	48,18	-1,18	0,0251
Сумма							0,3532

 

2. Проверка качества модели.

    Для того, чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Y_p(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу (табл.1.4).

 

Таблица 1.4

Промежуточные расчеты  для оценки адекватности модели

Квартал t	Отклон, E(t)	Точки поворота	E(t	[E(t)-E(t-1)	E(t)× E(t-1)
1	2	4	5	6	7
1	-0,14	-	0,02	-	-
2	-0,23	0	0,05	0,0081	0,0322
3	-0,77	1	0,59	0,2916	0,1771
4	1,04	1	1,08	3,2761	-0,8008
5	0,18	1	0,03	0,7396	0,1872
6	0,25	0	0,06	0,0049	0,045
7	0,98	1	0,96	0,5329	0,245
8	-2,37	1	5,62	11,2225	-2,3226
9	-1,11	1	1,23	1,5876	2,6307
10	-1,77	0	3,13	0,4356	1,9647
11	-3,83	1	14,67	4,2436	6,7791
12	-1,79	0	3,20	4,1616	6,8557
13	1,04	1	1,08	8,0089	-1,8616
14	-1,41	1	1,99	6,0025	-1,4664
15	-0,85	1	0,72	0,3136	1,1985
16	-1,18	-	1,39	0,1089	1,003
Сумма	-11,96	10	35,82	40,94	14,67

 

2.1.  Проверка точности  модели.

    Будем считать, что условие точности выполнено, если сумма относительной погрешности E_отн(t) в среднем не превышает 5 %.   Суммарное значение относительных погрешностей составляет 0,1777, что дает среднюю величину  0,3532 / 16 = 0,0221 (или 2,21 %). Так как 2,21 % < 5 %, то условие точности выполнено.

2.2.  Проверка условия адекватности  модели.

    Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

    Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0. В первой и последней строке ставится прочерк, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

    Общее число поворотных точек в нашей задаче равно p = 10.

    Рассчитаем значение q:

q = int [2× (N-2)/3 – 2×

].

    Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть.

    При N = 16

q = int [2× (16-2)/3 – 2* ] = 6.

    Так как количество поворотных точек p больше q (p = 10; q = 6), то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

    Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1. по d-критерию Дарбина – Уотсона;
2. по первому коэффициенту автокорреляции r(1).
1. d = =40,94/35,82=1,14.

d=1,14; =1,10; =1,37

    Так как полученное значение d=1,14 и находится в промежутке <d<,то критерий Дарбина-Уотсона не даёт ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. Следовательно необходимо воспользоваться другими критериями (нпример, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

2. r(1) = = 14,67/35,82=0,41.

Так как ǀǀ=0,41>=0,32, то уровни ряда остатков зависимы.

    Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию. Рассчитаем значение RS:

RS = (E _max –E _min)/S,

где E _max - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E _min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S – среднее квадратическое отклонение.

E _max  = 1,04; E _min = -3,83; Е _max - Е _min =1,04-(-3,83)=4,87;

RS =4,87/1,55 = 3,14.

    Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые даны (от 3 до 4,21). Так как 3 < 3,14 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

    Так как выполняются все условия адекватности модели, то данную модель можно считать удовлетворительной и использовать ее для расчета прогнозных показателей Yp(t) на четыре квартала вперед.

 

2.3. Расчет  прогнозных значений.

    Составим прогноз на четыре шага вперед (т. е. на 1 год, с t = 17 по t = 20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16), можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).

 

Для t=17 имеем:

    Yp(17)=Yp(16+1) = [a(16) + 1*b(16)]*F(16+1-4) = [a(16) + 1*b(16)]*F(13) = =(62,87+1*1,05)*0,8598 = 55,0.

Аналогично находим Yp(18), Yp(19) и Yp(20):

Для t=18

    Yp(18) = Yp(16+2) = [a(16) + 2*b(16)] *F(16+2-4) = [a(16) + 2*b(16)]*F(14)= = (62,89 + 2*1,05)*1,0538=68,5;

Для t=19

    Yp(19) = Yp(16+3) =[a(16) + 3*b(16)]*F(16+3-4)=[a(16) + 3*b(16)]*F(15) = (62,89+ 3*1,05)*1,2426 =82,1;

Для t=20

    Yp(20) =Yp(16+4)=[a(16) + 4*b(16)] *F(16+4-4) = [a(16) + 4*b(16)]*F(16) = (62,89+4*1,05)*0,7526=50,5.

    На нижеприведенном рисунке (рис. 1) проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения данных о кредитах на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

              Рис. 1 Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

    Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Рассчитать:

    - экспоненциальную  скользящую среднюю;

    - момент;

    - скорость изменения  цен;

    - индекс относительной  силы;

    - %R, %K, %D.

    Расчёты проводить  для всех дней, для которых  эти расчёты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

	Цены
Дни	Макс.	Мин.	Закр.
1	650	618	645
2	680	630	632
3	657	627	657
4	687	650	654
5	690	660	689
6	739	985	725
7	725	695	715
8	780	723	780
9	858	814	845
10	872	840	871

      Решение:

1. Расчет экспоненциальной скользящей средней.

    При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

где k = 2/(n+1);

C_t   - цена закрытия t-го дня;

EMA_t  - значение EMA текущего дня t.

    Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5)   предшествующих дней по формуле:

MA_t = (C_t-n+1 + C_t-n+2 +…+C_t)/n,

где C_t – цена закрытия  t-го дня;

MA_t  - значение скользящего среднего текущего дня t.

    Расчеты представим в таблице (табл. 6) и изобразим на ценовом графике (рис. 2) экспоненциальную скользящую среднюю.

Таблица 2.1

Расчет EMA

t	Ht	Lt	Ct	EMAt
1	650	618	645	x
2	680	630	632	x
3	657	627	657	x
4	687	650	654	647
5	690	660	689	661
6	739	685	725	683
7	725	695	715	693
8	780	723	780	722
9	858	814	845	763
10	872	840	871	799