Высшие финансовые вычисления

Финансово - банковская статистика

Проживин Роман Анатольевич

Калькулятор, 1 семестр, экзамен

Высшие  финансовые вычисления

Задачей высшего  финансового вычисления является разработка методов количественного анализа  проблем, связанных с долгосрочными  и краткосрочными кредитами и  займами, а также условиями их получения и погашения, выплаты  различного рода денежных потоков, оценкой  финансовых рисков и эффективности  финансовых операций.

Любая финансово-кредитная  операция, инвестиционный проект, коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий, с которыми согласны участвующие  стороны:

1. Денежные суммы
2. Временные параметры
3. Процентные ставки
4. Некоторые другие дополнительные величины

Платежи могут  быть как единовременными, так и  в рассрочку, постоянными или  переменными во времени. Существует более десятка видов процентных ставок, а также методов начисления процентов. Время устанавливается  в виде фиксированных сроков платежей, интервалов поступлений, моментов погашения  задолженностей.

Проценты

Под процентами или процентными деньгами понимают абсолютную величину дохода в виде предоставления денег в долг в  любой его форме, а именно:

1. Выдача ссуды
2. Продажа товара в кредит
3. Помещение денег на депозитный счет
4. Учет векселя
5. Покупка сберегательного сертификата или облигации
6. И т.д.

При заключении сделки стороны договариваются о  размере процентной ставки, под которой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. это отношение дохода к сумме долга.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом вычисления.

Проценты, согласно договоренности между кредитором и  заемщиком, выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к  основной сумме долга (капитализация  процентов).

Процесс увеличения суммы денег во времени называют наращением. Возможно определение процентов и при движении в обратном направлении, от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (дисконтирование). При начислении процентов применяют постоянно или последовательно изменяющуюся базу исчисления. В первом случае – простые проценты, во втором – сложный процент.

Существуют  два принципа расчета процентных денег:

1. От настоящего к будущему (применяется ставка наращения)
2. От будущего к настоящему (применяется дисконтная ставка)

Процентные  ставки могут быть фиксированными и  плавающими. При плавающей ставке указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней, т.е. маржа.

Важное значение имеет ставка рефинансирования.

Формула наращения. Простые  проценты.

Под наращенной суммой ссуды понимают ее первоначальную величину с начисленными процентами к концу срока начисления. Применяют при краткосрочных операциях (сроком до одного года) или в случае, когда проценты не присоединяются, а периодически выплачиваются.

S – наращенная сумма ссуды

P – первоначальная сумма ссуды

I – проценты за весь срок ссуды

i – ставка процента

n – срок ссуды 

В кредитных  соглашениях иногда предусматриваются  изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то : 

Очевидно, что  срок не обязательно равен одному году. 

K – число дней в году, t – число дней ссуды.

При расчете  простых процентов применяют 2 вида базы:

1. Когда К=365 либо 366 дней
2. Когда К=360 дней (12 месяцев х 30 дней)

В первом варианте, рассчитывают точные проценты, во втором варианте – обыкновенные проценты. Число дней также можно измерить приблизительно или точно.

Точное  число дней определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи и датой погашения кредита, причем день выдачи и день погашения считаются за один день. Приблизительное число рассчитывается из условия, что каждый месяц равен 30 дням.

Пример: 25 января по 5 марта – 39 дней. Во втором варианте – 40 дней.

Возможны и применяются на практике 3 варианта расчета простых процентов:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Дает самое точное значение, обозначается как 365/365.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды 365/360.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, применяются в промежуточных расчетах 360/360.

Дисконтирование по простым процентам.

На практике часто сталкиваются с задачами, обратными  наращению,  а именно по заданной наращенной сумме S которую следует через время n необходимо определить сумму полученной ссуды(Р).

Такая ситуация может возникнуть когда % с наращенной суммы удерживаются в период, т.е. непосредственно при выдаче кредита. В этом случае наращенная сумма дисконтируется, сам процесс удержания называют учетом, а удержанные % - дисконтом.

Дисконтирование – средство определения любой  стоимостной величины, относящееся  к будущему на более ранний момент времени. Величину P, найденную с помощью дисконтирования называют современной стоимостью (капитализированной стоимостью).

Именно с  помощью дисконтирования удобно учитывать фактор времени. В зависимости  от вида % ставки применяют два метода дисконтирования:

1. Математическое дисконтирование – ставка наращения
2. Банковский (коммерческий) учет, где применяется учетная ставка.

Математическое  дисконтирование

Математическое  дисконтирование - решение задачи, обратное наращению первоначальной суммы  ссуды.

Задача: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i. 

Дробь –  дисконтный множитель

Коммерческий  учет (учет векселей)

Суть операции: банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа  по векселю приобретает его у  владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. учитывает  его с дисконтом. Получив, при  наступлении срока векселя, деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя имеет возможность с помощью учета получить деньги, хотя и не в полном объеме, однако ранее указанного на нём срока. В данном случае применяется банковский или коммерческий учет, % за пользование ссудой в виде дисконта, начисляется на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная (дисконтная ставка) d, которая отличается от % ставки i.

Размер дисконта равен 
, если

d – годовая ставка, то срок измеряется в годах, получим:

где

n- срок от момента учета, до даты погашения векселя

Дисконтный  множитель = 1-nd, при условии, что срок n>1/d, при этом условии величина дисконтного множителя и первоначальной суммы Р станет отрицательной, т.е. при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или отрицательной сумме Р, что лишено смысла. Например, при ставке d=20% уже 5-летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете. Временная база К=360 дней, число дней точное (365/360).

Простая учетная  ставка иногда определяется и при  расчете наращенной суммы, в частности, в этом возникает необходимость  при определении суммы, которую  необходимо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. 
 

Прямые  и обратные задачи наращения и учёта

Оба вида ставок применимы для решения исходных задач, однако, для ставки наращения  прямая задача – определение наращенной суммы, обратная – дисконтирование. Для учетной ставки наоборот, прямая – дисконтирование, обратная наращение.

 

Очевидно, то рассмотренные два метода приводят к разным результатам,  даже когда  i = d. Учетная ставка отражает фактор времени более жестко, выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми – эквивалентные ставки.

Необходимость в расчете процентной ставки возникает  в тех случаях, когда процентные ставки в явном виде не выражены при определении финансовой эффективности  операции или при сравнении контрактов при их доходности. 
 
 

Формула наращения, сложные  проценты.

В средне и  долгосрочных финансового – кредитных  операциях, если  % не выплачиваются  сразу после их начисления, а присоединяются к основной сумме долга, применяют сложные %. База для начисления сложных % от простых не остается постоянной, она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма, начисляемого % возрастает и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением.

Наращение по сложным % можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые % на один период вычисления. При соединении начисленных % к сумме, которая послужила базой для их начисления называют капитализацией %.

На практике применяют так называемые дискретные %, т.е. начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени.

Иногда возникает  необходимость в определении  непрерывных %, т.е. за бесконечно малые промежутки времени.

Пусть проценты начисляются и капитализируются один раз в году, для этого применяется  сложная ставка наращения. 

Рост по сложным процентам представляет собой процесс следующей геометрической прогрессии, первый элемент которой  равен P, знаменатель (1+i), последний член прогрессии наращенной сумме в конце срока. Величину q, равной (1+i)ⁿ называют множителем наращения по сложным процентам. Время определяется как 365/365. Очевидно, что высокая ставка может применяться только для короткого срока, в противном случае результат наращения окажется бессмысленным.

Базовая формула  наращения по сложным процентам  предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока, однако в некоторых  случаях сообразно применение плавающих  ставок. 

Чтобы сопоставить  результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие  их множители наращения, при условии, что временная база одна и та же. Если срок n<(=,>)1, (1+n х i_S)>(=,<)(1+i)ⁿ .

Эквивалентность процентных ставок.

Замена одного вида ставки на другой при соблюдении эквивалентности не изменяет финансовых отношениях сторон в рамках одной  операции, и такие ставки называются эквивалентными. Соотношение эквивалентности  можно найти для любой пары ставок: простых и сложных, дискретных и непрерывных и т.д. Определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения. 

Приведенное равенство предполагает, что первоначальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны. 
 

Аналогичным образом определим соотношение  между процентной и учетной ставкой  при условии что временная база одинакова: