Риски инвестиционного портфеля

       Этап 1. Определите соотношение между ожидаемой доходностью и долей инвестиций, приходящейся на рискованный актив.

       Пусть w обозначает долю от 100000 долл., которая вложена в рискованный актив. Оставшаяся часть будет равна (1 - w); и она вложена в безрисковый актив. Ожидаемая ставка доходности портфеля Е(r) задана формулой:

           E(r) = wE(r_s)+(l - w) r_f = r_f + w [E(r_s )- r_f ]             (1) 

       где: Е (r) – обозначает ожидаемую ставку доходности рискованного актива,

         r_f — безрисковая ставка доходности.

       Подставив вместо r_f значение 0,06, а вместо Е (r) — 0,14, получим:

       E (r)= 0,06 + w (0,14-0,06) = 0,06 + 0,08w      (2)

       Уравнение 2 интерпретируется следующим образом. Базовой ставкой доходности для любого портфеля является безрисковая ставка доходности (0,06 в нашем примере). Кроме того, предполагается, что инвестиции в портфель принесут дополнительную премию за риск, которая зависит от (1) премии за риск по рискованному активу E (r_s) - r_f (0,08 в нашем примере) и от (2) доли портфеля, инвестированной в рискованный актив и обозначенной w.

       Чтобы определить состав портфеля, соответствующий  ожидаемой ставке доходности в 0,09, надо подставить нужные значения в уравнение  2 и вычислить w.

       0,09=0,06+0,08w

       

       Таким образом, портфель на 37,5% состоит из рискованного актива, а на 62,5% — из безрискового.

       Этап 2. Определите связь между стандартным отклонением и долей инвестиций, приходящихся на рискованный актив.

       Если  в одном портфеле объединены рискованный  и безрисковый активы, то стандартное отклонение доходности такого портфеля равно стандартному отклонению доходности рискованного актива, умноженному на его вес в портфеле. Обозначив стандартное отклонение рискованного актива как s_s получим формулу стандартного отклонения доходности портфеля:

                             s = s _s w=0,2 w                    (3)

       Чтобы определить стандартное отклонение, соответствующее ожидаемой ставке доходности в 0,09, подставим в уравнение  3 вместо w значение 0,375 и вычислим s:

                      s = s _s w =0,2х0,375 =0,075

       Таким образом, стандартное отклонение доходности портфеля составило 0,075. Наконец, мы можем убрать w, чтобы вывести формулу, напрямую связывающую ожидаемую ставку доходности со стандартным отклонением на прямой риск/доходность.

       Этап 3. Определите соотношение между ожидаемой ставкой доходности и стандартным отклонением.

       Чтобы вывести точное уравнение, описывающее  прямую риск/доходность на рис 1, надо видоизменить уравнение 3 и представить w как соотношение s / s _s . Подставив это соотношение вместо w в уравнение 1, получим:

        = 0,06+0,40s                          (4)

       Другими словами, ожидаемая ставка доходности портфеля, выраженная как функция  его стандартного отклонения, представляет собой прямую линию, пересекающую вертикальную ось в точке r_f = 0,06 и наклоном, равным:

       

       Угол  наклона прямой характеризует дополнительную ожидаемую доходность, предлагаемую рынком для каждой дополнительной единицы  риска, которую согласен нести инвестор.

2. Концепция эффективности портфеля

       Эффективным портфелем (efficient portfolio) мы называем такой  портфель, который предлагает инвестору  максимально возможный ожидаемый  уровень доходности при заданном уровне риска.

       Чтобы объяснить значение концепции эффективности портфеля и показать, как получить действительно эффективный портфель, давайте рассмотрим предыдущий пример, дополнительно включив в него еще один рискованный актив. Рискованный актив 2 имеет ожидаемую ставку доходности 0,08 в год и стандартное отклонение 0,15. Он представлен точкой R на рис. 2.

       Инвестор, который хочет получить ожидаемую ставку доходности в 0,08 годовых, может добиться своей цели, вложив всю сумму в рискованный актив 2. Тогда он окажется в ситуации, описываемой точкой R. Но при этом портфель инвестора неэффективен, потому что в точке G инвестор может получить такую же ожидаемую ставку доходности (0,08 в год) при меньшем значении стандартного отклонения.

       Из  табл. 1 видно, что в точке G стандартное отклонение составляет только 0,05. Это объясняется тем, что 25% инвестиций данного портфеля вложены в рискованный актив 1, а 75% — в безрисковый актив. Действительно, не желающий рисковать инвестор выберет на прямой риск/доходность, соединяющей точки G и S, любую точку — только не точку R. Любая из этих точек соответствует вполне приемлемой ситуации, когда некоторое количество рискованного актива 1 уравновешивается безрисковым активом. Например, портфель в точке J имеет стандартное отклонение, равное стандартному отклонению рискованного актива 2 (s = 0,15), но его ожидаемая ставка доходности составляет 0,12 годовых, а не 0,08. Из табл. 1 нам известно, что такое соотношение соответствует портфелю, который на 75% состоит из рискованного актива 1 и на 25% из безрискового актива.

       С помощью уравнений 1 и 2 можно определить состав других эффективных портфелей, которые описываются точками  между G и J и имеют, следовательно, более высокую ожидаемую ставку доходности и меньшее значение стандартного отклонения в сравнении с рискованным активом 2. Рассмотрим, например, портфель, который на 62,5% состоит из рискованного актива 1 и на 37,5 % — безрискового актива. Его ожидаемая ставка доходности равна 0,11 в год, а стандартное отклонение составляет 0,125.

Рис. 2. Эффективность  портфеля

3. Оптимальная комбинация рискованных активов.

 

       Теперь  давайте рассмотрим комбинации риск/доходность, которые мы можем подучить посредством  объединения безрискового актива с  рискованными активами 1 и 2. На рис. 3 показано графическое представление всех возможных комбинаций риск/доходность; этот рисунок показывает также, как можно получить оптимальную комбинацию рискованных активов для объединения с безрисковым активом. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 3. Оптимальная комбинация рискованных активов

       Сначала проанализируем прямую линию, соединяющую  точку F с точкой S. Она нам уже знакома, поскольку представляет собой график соотношения риск/доходность, который мы видели на рис. 1. Прямая показывает ряд комбинаций риск/ доходность, которые могут быть получены посредством объединения безрискового актива с рискованным активом 1.

       Прямая  линия, соединяющая точку F с любой точкой кривой, соединяющей точки R и S, представляет собой график, описывающий соотношение риск/доходность для всех комбинаций следующих трех активов: рискованных активов 1 и 2 с безрисковыми активами. Наибольшие значение этого соотношения, которого мы можем достичь, находится на линии, соединяющей точки F и Т. Точка Т является общей точкой прямой линии, выходящей из точки F, и кривой, соединяющей точки R и S. Мы называем такой рискованный портфель, который соответствует общей точке Т на рис. 3, оптимальной комбинацией рискованных активов. Именно объединением этого портфеля рискованных активов с безрисковым активом достигается формирование максимально эффективного портфеля. Формула для определения долей портфеля в точке Т такова:

              (5)

                                                                                                  (6)

       Подставляя  данные в это уравнение, получаем, что оптимальной комбинацией  рискованных активов (для портфеля в точке пересечения с прямой, который еще называют тангенциальным портфелем (the tangency portfolio)), является 69,23% рискованного актива 1 и 30,77% рискованного актива 2. Это означает, что ставка доходности Е(r_T), и стандартное отклонение, s_T, равны:

       Е(r_T)=0,122

        s_T =0,146

       Следовательно, новый график для эффективного соотношения  риск/доходность задан формулой:

                              (7)

       

       где угол наклона — отношение доходности к риску — равен 0,42. Сравним  полученное выражение с формулой для прежней линии соотношения  риск/доходность, соединяющей точки  F и S:

       Е (r) =0,06 +0,40s

       где угол наклона равен 0,40. Понятно, что теперь инвестор находится в лучшем положении, потому что он может достичь более высокой ожидаемой ставки доходности для любого уровня риска, на который он готов пойти.

       1.4 Формирование наиболее  предпочтительного  инвестиционного портфеля

       Чтобы завершить анализ, давайте рассмотрим выбор инвестора с точки зрения его предпочтений и с учетом графика  соотношения риск/доходность для  эффективных портфелей. Предпочтения при формировании портфеля зависят от стадии жизненного цикла, на которой находится инвестор, периода (горизонта) планирования и толерантности к риску. Следовательно, инвестор может выбрать позицию в любой точке на отрезке, ограниченном точками F и Т. На рис. 4 для этого выбрана точка Е. Портфель, который соответствует точке Е, на 50% состоит из портфельных инвестиций в общей точке (тангенциальный портфель) и на 50% из инвестиций в безрисковый актив. Преобразуем уравнения 1 и 2 таким образом, чтобы они отражали тот факт, что портфель в точке касания — это теперь единственный рискованный актив, который следует объединять с безрисковым активом. Выясняется, что ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля Е имеют вид:

       

         s_E = 0,5 s _T = 0,5*0,146=0,073 

       Учитывая, что тангенциальный портфель состоит на 69,2% из рискованного актива 1 и на 30,8% — из рискованного актива 2, можно определить, что состав портфеля будет следующим:

       Доля  безрискового актива                         50 %

       Доля  рискованного актива1   0,5*69,2%=34,6%

       Доля  рискованного актива2    0,5*30,8%=15,4%

       Всего                                                             100%  

       Следовательно, если вы инвестировали 100000 долл. в портфель Е, то 50000 долл. инвестировано в безрисковый актив, 34600 долл. — в рискованный актив 1, 15400 долл. — в рискованный актив 2.

       Давайте теперь обобщим имеющиеся у нас  сведения относительно создания эффективного портфеля, когда имеется два вида рискованных активов и один безрисковый  актив. Существует только один портфель с рискованными активами, который оптимальным образом можно объединить с безрисковым активом. Мы называем этот особенный портфель с рискованными активами, соответствующий общей (тангенциальной) точке Т на рис. 3, оптимальной комбинацией рискованных активов. Предпочтительный портфель всегда является какой-либо комбинацией портфеля рискованных активов в общей точке и безрискового актива. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рис. 4. Выбор наиболее предпочтительного портфеля 
 
 
 

       2 Задачи

       Задача 1

       На  рынке ценных бумаг страны Land осуществляется торговля ценными бумагами четырех видов: акциями Х, Y и Z, а также безрисковыми государственными ценными бумагами. Один из торговцев ценными бумагами, имеющий портфель в 100000 долл., держит 35000 долл. в безрисковых ценных бумагах, 15000 долл. в акциях X, 17000 долл. в акциях Y и 33000 долл. в акциях Z. Определите, какие суммы инвестировал в ценные бумаги этих трех видов другой торговец ценными бумагами, вложивший в безрисковые ценные бумаги 20000 долл. своего портфеля ценных бумаг, совокупная величина которого составляет 300000 долл. 

       Решение: