Регресивний та кореляційний аналіз

Якщо r – коефіцієнт кореляції, то для даних вибірки можна встановити, що

Ця формула вказує на те, що, якщо квадратична помилка оцінки для передбачення Y із X дорівнює 0, = 1,00.

Також можна помітити, що при = 1,00 r = -1,00 або +1,00.

є середній квадратичний відхил від змінної Y. Хоча за цією формулою не очевидно, що існує певна границя для можливої величини . Передусім, якщо зовсім немає залежності  між змінними X та Y, то найкращою оцінкою Y  незалежно від величини X є Y; квадратичний відхил від цієї оцінки представляється символом .

Оскільки = при абсолютній відсутності залежності між цими двома змінними, ніколи не може бути більше самого . У відповідності з цим найбільша величина дробу може дорівнювати 1,00.

Так як при , та r =0.

.

Підсумки розрахунку розглянутої формули для здебільшого залежать від відношення між двома дисперсіями. Оскільки термін «повна дисперсія» застосовується при розгляді найбільшої величини дисперсії, яку маємо при оцінці величини змінної Y навіть після того, як ми дізналися величину змінної X, яка не відноситься до непоясненої дисперсії. Отже:

а) ;

б)  .

Оскільки дріб у формулі уявляє собою долю непоясненої дисперсії, коли величина залежної змінної розцінюються, якщо відома незалежна змінна, віднімання цього дробу з 1,00 визначає частину поясненої дисперсії.

Таким чином, величина безпосередньо вказує відношення дисперсії для залежної змінної, що пояснюється визначеною незалежною змінною.

Оскільки у дійсності простіше розтлумачити у загальному вигляді, ніж власне величину коефіцієнта кореляції r, йому було дано спеціальну назву – коефіцієнт детермінації. При коефіцієнті кореляції 0,50 зв`язаний з ним коефіцієнт детермінації дорівнює 0,25 = 0,502.

При коефіцієнті кореляції +0,70 зв`язаний з ним коефіцієнт детермінації дорівнює 0,49.

Якщо кореляція між випробуванням на спритність та погрішностями у роботі складає -0,40, то знання незалежної змінної служить поясненню 16% дисперсії залежної змінної.

Тоді як s позначає квадратичний відхил вибірки, а r – коефіцієнт кореляції, то s2 позначає дисперсію вибірки, а - коефіцієнт детермінації.

Отже, напрямок залежності між двома змінними вказується знанням коефіцієнта кореляції, а ступінь залежності – його абсолютною величиною.

По мірі зменшення ступеня розсіювання біля лінії регресії величина квадратичної помилки оцінки зменшується, а абсолютна величина коефіцієнта кореляції зростає.

Частка дисперсії залежної змінної, яка пояснюється знанням незалежної змінної, безпосередньо вказується величиною коефіцієнта детермінації .

Величина коефіцієнта детермінації може бути знайдена за формулою

.

2 Кореляційний аналіз економічних явищ

Винятково важливу роль у економічних дослідженнях відіграє метод кореляції.

Кореляцією називається неповний зв`язок між досліджуваними явищами. Це така залежність, коли будь-якому значенню однієї змінної величини може відповідати декілька різноманітних значень іншої змінної. Вона відображає закон множини причин і наслідків і є вільною неповною залежністю.

Кореляційний аналіз є свого роду логічним продовженням (розвитком) методу статистичних групувань, його поглибленням. Він допомагає вирішити цілий ряд нових завдань в економічному аналізі. Розрахунки на основі кореляційних моделей підвищують ступінь точності аналізу, часто виявляють недоліки попереднього дослідження. Перевага цього методу полягає також і в тому, що він дає можливість розв`язувати задачі, які не можна вирішити за допомогою інших методів економічного аналізу, як, наприклад, відокремлення впливу багатьох факторів, які діють взаємопов`язано і взаємозумовлено.

Використання методу кореляції і регресії дозволяє вирішити такі основні завдання: 1) встановити характер і тісноту зв`язку між досліджуваними явищами; 2) визначити і кількісно виміряти ступінь впливу окремих факторів і їх комплексу на рівень досліджуваного явища; 3) на підставі фактичних даних моделі залежності економічних показників від різних факторів розраховувати кількісні зміни аналізованого явища  при прогнозуванні показників і давати об`єктивну оцінку діяльності підприємств усіх форм власності.

Вивчення взаємозв`язків кореляційного типу має істотне значення особливо при аналізі явищ, які складаються під впливом великої кількості певних умов.

Необхідно підкреслити особливості, властиві кореляційному аналізу:

1 При використанні кореляційного методу вирішальне значення має всебічний, економічно усвідомлений попередній аналіз даних господарської діяльності. Слід пам`ятати, що зв`язок між ознаками і властивостями – не результат математичних розрахунків, а лежить у природі самих економічних явищ і за допомогою методів математичної статистики можна лише об`єтивно виразити існуючі закономірності економічних процесів.

2 Кореляцію можна виявити, лише досліджуючи достатньо велику сукупність спостережень, оскільки кореляційні зв`язки виявляються у формі спряженого варіювання двох або кількох зіставлених ознак.

Кореляційний аналіз включає три етапи: 1) математико- економічне моделювання; 2) рішення прийнятої моделі шляхом знаходження параметрів кореляційного рівняння; 3) оцінка та аналіз отриманих результатів.

Досі розглядалися моделі простої кореляції, тобто кореляційної залежності між двома ознаками. У практиці економічного аналізу часто доводиться вивчати явища, які складаються під впливом не одного, а багатьох різних факторів, кожний з яких окремо може не справляти вирішального впливу. Сукупний же вплив факторів іноді виявляються достатньо сильним, щоб за їх змінами можна було робити висновки про величини показника досліджуваного явища. Методи вимірювання кореляційного зв`язку одночасно між двома, трьома і більше кореляційними ознаками створюють вчення про множинну кореляцію.

У моделях множинної кореляції залежна змінна «у» розглядається як функція кількох (у загальному випадку n) незалежних змінних «x».

Припущення про наявність лінійного зв`язку рівняння множинної регресії  може бути показано в такому вигляді:

= a 0 + a1x1+ a2x2 + a3x3+…+ an xn.

Із геометричної точки зору це рівняння визначає у просторі площини відповідних змінних х1 , х2 , х3,…,хn і у. 

Множинне кореляційне рівняння встановлює зв`язок між досліджуваними ознаками і дозволяє вирахувати очікувані значення результативної ознаки під впливом включених в аналіз ознак-факторів, пов`язаних даним рівнянням.

Для оцінки ступеня тісноти зв`язку між результативною і факторними ознаками обчислюють коефіцієнт множинної кореляції. Величина його – зажди додатне число, яке знаходиться в межах від 0 до 1.

У множинних кореляційно-регресійних моделях коефіцієнт простої кореляції між результативною ознакою і факторними, а також між самими факторними ознаками обчислюють за формулами:

парні -

= ;

;

;

часткові –

;

.

Множинні (для двофакторної моделі):

.

Оцінку вірогідності множинного коефіцієнта кореляції (як і кореляційного рівняння в цілому одержують шляхом розрахунку F-критерію:

де P  - кількість параметрів кореляційного рівняння.

Говорячи про природу кореляційно-регресійного методу, потрібно пам`ятати, що кореляційні розрахунки є чисто математичним прийомом, які зовсім не виявляють фізичну картину взаїмозв`язків. Одержана на основі цього прийому числова оцінка зв`язків і залежностей інколи виявляється формальною, що показує лише поверхню явищ. Незнання цієї особливості методу веде за собою неправильне користування ним. Якщо до цього ж порушуються правила формування статистичних сукупностей, то дослідник потрапляє в полон логічних помилок, зумовлених несправжньою кореляцією. На жаль, до цього часу завершеної теорії несправжньої кореляції не створено, незважаючи на те, що вона невід`ємна від природи кореляційного аналізу.

Кореляція в її формально- статистичному розумінні не розкриває принцип зв`язку , а констатує лише його наявність, даючи оцінку сили й тісноти, встановлює ступінь вірогідності міркувань про наявність такого. Разом з регресійним кореляційний аналіз вирішує такі завдання: оцінює сили зв`язку та її кількісне вимірювання, визначення форми зв`язку й реальності його існування. При вивченні економічних явищ дослідник, керуючись правилами кореляційно-регресивного аналізу, насамперед повинен виходити з економічного змісту досліджуваних залежностей. Лише після цього може бути встановлений їх причинно-наслідковий характер. Одержані результати обчислень поширюються лише на ті об`єкти, кількісні характеристики яких включені в розрахунки. Звідси кореляційний аналіз повинен задовольняти вимогам об`єктивності на противагу формально-логічному підходу.

Приймаючи на озброєння методи кореляцій і регресій, необхідно обмежити дослідження від внесення в них викривлень, породжених суб`єктивною природою методів. Нерозуміння або недооцінка її, як правило, призводить до необгрунтованності висновків, суб`єктивізму в рішеннях помилок у підборі одиниць спостережень і планування дослідження, а також до того, що досліджуваний зв`язок ставиться в залежність від обставин, що не мають до нього об’єктивного відношення.

Застосування теорії кореляції потребує знання, насамперед, природи показників тісноти зв`язку.

Відомо, що в економічних дослідженнях твердо встановилась думка про можливість використання коефіцієнтів парної кореляції як свого роду критерію оцінки впливу відібраних факторів у парних і множинних моделях на результативну ознаку. Тобто мова йде про те, що ряд економістів вважають високу абсолютну величину коефіцієнтів кореляції ознакою наявності сильного причинного зв`язку між явищами. Це методичне положення не завжди під собою має об`єктивну основу, природа двох змінних величин не виключає існування стохастичних зв`язків, які полягають в тому,що можливі значення однієї змінної мають імовірності, які змінюються залежно від значення, прийнятого іншою змінною. Проте останнє не вказує на наявність причинного зв`язку, хоча коефіцієнт кореляції може досягти при цьому значної величини.

* * *

Природа кореляції і регресії вводить певні обмеження в частині практичного використання кореляційно-регресивного методу в аналізі соціально-економічних процесів. Одержання вірогідних висновків за результатами кореляційно-регресивного аналізу можливе тільки при дотриманні певних вимог. Останні випливають із самої природи кореляції. Основні з них:

                 визначеність характеру залежності (прямолінійної, криволінійної);

                 статистична однорідність досліджуваної сукупності;

                 кількісний вимір ознак;

                 достатній обсяг.

Для успішного практичного використання кореляційних моделей як об`єктивного критерію найкращого рівняння зв`язку можуть бути використані коефіцієнт множинної кореляції та стандартна помилка оцінки за рівнянням множинної регресії при задовільній економічній інтерпретації самої моделі множинної регресії. Зокрема, напрям і сила впливу окремих факторів на залежну зміну, яка характеризується параметрами рівняння, повинні відповідати емпіричним уявленням про цей вплив, тобто, крім підтвердження рівня значимості спостережуваної взаємозалежності статистичними методами, необхідно ретельно вивчити її логічну обгрунтованність.

Враховуючи, що взаємодія одних і тих самих факторів з урахуванням і без урахування впливу інших причин може виявлятися по-різному, всілякі висновки про можливу форму зв`язку в багатофакторній моделі, зроблені на підставі аналізу парних залежностей, не повинні трактуватися дуже обмежено. У цьому відношенні переваги віддаються методу часткової кореляції.

Застосування даного методу в економічному аналізі повною мірою умовне. Причини, які впливають на досліджувані явища в галузях господарства, дуже різноманітні. Тому необхідно завжди пам`ятати, що якщо виключити вплив одного фактора, ті, які залишилися, несуть на собі дію ряду інших умов, не врахованих у дослідженні. І все ж таки застосування методу часткової кореляції має важливе значення при поглибленому аналізі множинної кореляції.

СПИСОК ЖДЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ

1.                   Акімова О.В., Дубинська О.С. Статистика в малюнках та схемах.: Навч. пос. – К.: ЦУЛ, 2007. – 168 с.

2.                   Захожай В.В., Федорченко В.С. Теорія статистики.: Навч. пос. – К.: МАУП, 2006. – 264 с.

3.                   Кулинич О.І., Кулинич О.В. Статистика.: Підручник. – К.: Знання, 2006. – 244 с.

4.                   Лугінін О.Є. Статистика: Підручник. – К.: ЦУЛ, 2007. – 608 с.

5.                   Опря А.Т. Статистика.: Навч. пос. – К.: ЦУЛ, 2005. – 472 с.

6.                   Серова И.А., Зима А.Г. Статистика: Опорный конспект лекций. – Харьков: ИД “ИНЖЕК”, 2007. – 112 с.

7.                   Тарасенко І.С. Статистика.: Навч. посібник. – К.: ЦУЛ, 2006. – 344 с.

8.                   Уманець Т.В. Загальна теорія статистики.: Навч. посібник. – К: Знання, 2006. – 239 с.