Регресивний та кореляційний аналіз

Знайдемо b за наступною формулою:

b = .

Далі знайдемо а:

а = .

Таким чином, рівняння лінії регресії, що задовольняє критерій найменших квадратів, таке:

= -4 + 2Х.

Величина а = -4 вказує на те, що залежна змінна дорівнює -4, якщо незалежна дорівнює 0.

У наведеному графіку нанесіть лінію регресії, зображену рівнянням

Y = -4 + 2Х.

Рисунок 1.8 – Графік з лінією регресії = -4 + 2Х

Якщо б ми повинні були застосувати рівняння регресії для оцінки величин залежної змінної, які у дійсності вже відомі, було б мало змісту в знаходженні цього рівняння. Однак зазвичай дані, які можуть служити підґрунтям для побудови рівняння регресії, утворюють вибірки з великої сукупності величин, для яких це рівняння повинно застосовуватися. Звісно, придатність рівняння регресії для інших виборок з цієї ж самої сукупності залежить від представництва первісної вибірки, на якій воно ґрунтується і яка, у свою чергу, залежить від процедури відбору, що застосовується.

Наскільки ж підходить отримана оцінка, коли ми використовуємо рівняння регресії, говорить обчислення квадратичної помилки.

Квадратична помилка оцінки уособлює міру ступеня розсіювання дійсних величин залежної змінної відносно лінії регресії, яка використовується для оцінки цієї змінної. Ця міра дозволяє знаходити, наскільки точно дійсна величина залежної змінної відповідає величині, що оцінюється. Існує три можливих символи для позначення квадратичної помилки залежно від того, що є підґрунтям для знаходження її величини: генеральна сукупність або дані вибірки, або визначається квадратична помилка генеральної сукупності за даними вибірки. Таким чином, σy, x – генеральна квадратична помилка оцінки, підрахована на підставі всіх даних сукупності, s y, x – виборочна квадратична помилка оцінки, яка ґрунтується на даних вибірки.

Величина квадратичної помилки оцінки вказує на кількісну сторону розходження між величинами, що оцінюються, та дійсними величинами залежної (Y) змінної.

У наведеному графіку 1.9 наочно зображена залежність квадратичної помилки оцінки від лінії регресії, яка використовується для оцінки величин залежної змінної. Таким чином, квадратична помилка оцінки уособлює ступінь розсіювання дійсних величин залежної змінної біля лінії регресії.

Рисунок 1.9. – Залежність квадратичної помилки від лінії регресії

Розрахункові формули для σy, x  та s y, x схожі. Перша з величин зображає квадратичну помилку для оцінки генеральної сукупності, а друга  -  для вибірки.

Розрахункова формула для генеральної квадратичної помилки оцінки має вигляд:

σy, x = .

Формула для розрахунку вибірної квадратичної помилки оцінки також вимагає піднесення до квадрату та знаходження суми розходжень з тією різницею, що ця сума поділяється на величину вибірки, а не на величину генеральної сукупності. Отже, формула квадратичної помилки оцінки вибірки буде такою:

s y, x = .

Якщо генеральна квадратична помилка оцінки встановлюється на основі величини вибірки, то для зображення цієї оцінки ми будемо користуватися символом .

При визначенні генеральної квадратичної помилки оцінки сукупності на основі даних вибірки губляться два ступеня свободи. Отож, знаменник в наступній формулі має вигляд:

y, x = .

Оскільки рівняння регресії звичайно застосовуються у зв`язку з вибіркою та для статистичного аналізу, то символом для позначення квадратичної помилки оцінки, яка найбільш частіше обчислюється, служить .

Наступні формули наведіть згідно з символами, вказаними нижче:

                  y, x = с; а = , де Y – величина генеральної сукупності;

                        s y, x = b; b = , де Y – величина вибірки;

                  σy, x = а; с = , де Y – величина вибірки.

Нижче (табл.1.6) зображені дійсні величини та величини, які оцінюються, залежної змінної Y за даними табл.1.2. Вважаючи це випадковою вибіркою, яку взяли з великої сукупності величин, обчислимо пропущені у таблиці величини.

                     Таблиця 1.6 – Розрахунки за даними табл.1.2

Отже:

y, x = = .

При обчисленні квадратичної помилки оцінки застосовується нормальна таблиця ймовірностей (Z) або t-таблиця. Якщо квадратична помилка оцінки сукупності ґрунтується на аналізі даних тієї ж генеральної сукупності, то використовується Z- ( нормальний розподіл ймовірностей) таблиця.

Якщо ж оцінка ґрунтується на даних вибірки, то необхідна t-(але можна застосувати натомість розподіл Z, якщо n≥30) таблиця.

Відповідною обчисленій квадратичній помилці оцінки є t-таблиця.

При оцінці середньої арифметичної генеральної сукупності на основі даних вибірки точечною оцінкою є , а інтервальною оцінкою - . Аналогічно: при оцінці величини Y, коли X відома, відповідною точечною оцінкою є , а інтервалом оцінки, який включає y, x буде (або якщо n≥30).

Таким чином, в яких границях знаходилися 95% дійсних величин залежної змінної Y при (n – 2) ступенях незалежності та нормально розподіленій помилці оцінки в 1,3 відносно до очікуваної по лінії регресії величині, визначається так:

= ± (3,182) ×(1,3) = ± 4,1.

Або, кажучи інакше, при наведених даних ймовірність відмінності дійсної величини залежної змінної більш ніж на 4,1 одиниці вимірювання у будь-якому напрямку від очікуваної чи прогнозованої величини залежної змінної складає 0,05.

Виникає питання: який основний недолік становило б використання рівняння регресії для цілей оцінки, якщо б не обчислювалася і не використалася зв`язана з ним квадратична помилка оцінки? Не було б способу дізнатися або передати точність оцінок.

Не завжди між показниками існує прямолінійна регресія.

При криволінійній формі зв`язку збільшення факторної ознаки призводить до нерівномірного збільшення (або зменшення) результативної ознаки, або ж зростання її величини змінюється спаданням, а зменшення – збільшенням.

Для визначення зв`язку між ознаками, взаємовідношення яких передбачає можливість існування оптимальних розмірів операцій, використовують рівняння параболи:

.

Одна з особливостей цього типу кривої та, що вона завжди має точку перетину (критичну точку), яка характеризує оптимальний варіант розміру величини результативної ознаки, і змінює напрямок свого руху лише один раз. Якщо в рівнянні величина а1 виражена від`ємним числом, а а2 – додатним, то крива змінюватиме напрямок спаду на зростання.

Для розрахунку параметрів рівняння параболи другого порядку використовується така система нормальних рівнянь:

В аналізі економічного явища часто використовують степеневу функцію виду . Нелінійність відносно своїх констант зумовлюють її перетворення (шляхом логарифмування) в логарифмічно-лінійну функцію виду                                lg y =

Таке перетворення дає можливість розв`язувати систему нормальних рівнянь методом найменших квадратів.

Застосовують логарифмічну лінійну функцію для явищ, характерних тим, що в міру приросту абсолютної величини факторної ознаки її вплив на результативну ознаку знижується. Для цього типу функції характерна пропорційність не абсолютних приростів (як для рівняння прямої лінії), а відносних приростів економічних показників, які вивчаються.

Якщо природа взаємовідношень економічних явищ така, що середня арифметична результативної ознаки (у) пов`язана із середньою геометричною факторної ознаки (х), то математичний вираз подібної залежності, тобто оцінку однієї змінної за допомогою іншої, дає логарифмічна крива, гіпотетичне рівняння якої таке:

y =.

Відсутність числових значень логарифмів для нульових і від`ємних чисел обмежує можливості у логарифмічних функцій в окремих випадках економічного аналізу.

На рис.1.10 представлені графічні зображення ліній основних математичних функцій.

Цена автомобиля, долл. за шт.

Цена автомобиля, долл. за шт.

Рисунок 1.10 – Лінії основних математичних функцій

Метод кореляції дозволяє знайти та виразити тісноту зв`язку між двома змінними.

Коефіцієнт кореляції вказує на ступінь зв`язку між незалежною та залежною  змінною.

Величина коефіцієнта кореляції змінюється в границях від -1,0 до +1,0. Знак коефіцієнта кореляції вказує напрямок зміни залежної змінної при рості величини незалежної змінної. Таким чином, додатний коефіцієнт кореляції вказує на те, що зі зростом величини незалежної змінної величина залежної змінної, пов`язаної з нею, зростає.

Аналогічно від`ємний коефіцієнт вказує на те, що зі зростом величини незалежної змінної, величина залежної зменшується.

Наприклад, витрати сім’ї на утворення зростають у мірі збільшення рівня прибутку; тому коефіцієнт кореляції, що виражає ступінь залежності між цими двома змінними, має додатний знак.

Якщо рівень прибутку залишається незмінним, а рівень особистої заборгованості починає зростати, то об`єм запланованих закупок на наступний період зменшується. Коефіцієнт кореляції, який зображує цю залежність, має від`ємний знак.

У той час як знак коефіцієнта вказує напрямок залежності, його абсолютна величина (величина без урахування знаку) вказує ступінь залежності. Найбільша абсолютна величина коефіцієнта кореляції може мати, вказуючи на повну (функціональну) залежність або абсолютну кореляцію, значення 1,0.

З наступних коефіцієнтів кореляції один, який вказує найвищу ступінь залежності, дорівнює -0,80.

Абсолютна кореляція вказує на те, що, якщо величина незалежної змінної відома, величину пов`язаної з нею залежною змінною можна знайти без помилки. Отже, дві величини коефіцієнта кореляції, які вказують абсолютну кореляцію між двома змінними, мають значення -1,0 та +1,0.

Єдине значення коефіцієнта кореляції, що вказує на абсолютну відсутність залежності між величинами цих двох змінних, дорівнює 0.

Хоча діаграма розсіювання не застосовується для обчислення величини коефіцієнта кореляції, її можна використовувати в якості покажчика ступеня та напрямку кореляції. Згідно з даними визначеннями додатної та від`ємної кореляції діаграма, яка вказує на абсолютну від`ємну кореляцію є діаграма 1.11.

Рисунок1.11 – Діаграма розсіювання

Чим тісніше розташовуються точки на діаграмі розсіювання біля лінії регресії, яку застосовують для оцінки залежної змінної, тим вище абсолютна величина коефіцієнта кореляції. З наведених діаграм розсіювання (див. мал.1.12) діаграма в вказує на відсутність кореляції, діаграма б – на помірну ступінь кореляції, а діаграма а – на відносно високу ступінь кореляції.

На діаграмах видно також, що якщо кореляція дорівнює 0, то незалежно від того, чому дорівнює величина незалежної змінної Х, величина залежної змінної, яка оцінюється, завжди .

                    a)                                                б)                                           в)

Рисунок 1.12 – Діаграма розсіювання біля лінії регресії

Для лінії регресії, представленої рівнянням , b вказує нахил найбільш підходящої лінії (лінії найкращого положення). Отже, якщо тільки коефіцієнт кореляції від`ємний, величина b у відповідному рівнянні регресії -  від’ємна.

Таким чином, розглянута квадратична помилка оцінки, величина якої вказує ступінь розсіювання точок у діаграмі розсіювання біля лінії регресії.

Чим менша величина квадратичної помилки оцінювання, тим більше відповідність між величинами, які передбачаються, та дійсними величинами залежної змінної.

Отже, чим менша величина квадратичної помилки оцінки, тим більше абсолютна величина зв`язаного з нею коефіцієнта кореляції.

Існування цього виду залежності робить можливим визначення коефіцієнта кореляції на основі квадратичної помилки оцінки, хоча він рідко буде обчислюватися на цій основі.