Создание и защита правил как общественное благо. Происхождение государства

Соответственно, кривая реакции первого конкурента RC₁:

     Рисунок 3. Кривые реакции  для m = 1/2 и m = 2/3

Если мы, как и в предыдущем случае, предположим, что издержки конверсии единицы ресурсов в производственные и военные усилия равны у всех конкурентов (a_i = a; b_i = b), то решение этого симметричного конфликта будет выглядеть как:

Если  рассмотренное выше необходимые  динамические условия стабильности анархической системы соблюдаются (то есть 0 < m < 1; Y_i ≥ y), то увеличение числа конкурентов в этой системе приведет к увеличению равновесной интенсивности военных усилий, и, как следствие, при прочих –равных условия, к сокращению дохода каждого из этих конкурентов.

Если  доступные совокупные ресурсы равны  R и не изменяются при изменении числа соперников в анархической системе, равновесный доход i-того соперника в ситуации симметричного конфликта составит:

Иными словами, в случае, когда совокупные ресурсы зафиксированы на каком-то уровне R, увеличение числа соперников в симметричной анархической структуре приведет к сокращению дохода каждого из них.

Если  же количество совокупных доступных  ресурсов меняется пропорционально  изменению числа конкурентов в анархической структуре (R ≡ rN), равновесный доход i-того конкурента при симметричности конфликта будет равен:

Однако, даже в этом, не самом реалистичном случае (очевидно, что максимально  реалистичный случай – когда совокупные ресурсы увеличиваются с ростом числа конкурентов в анархической структуре, но не таким темпом: ∂R/∂N > 0; ∂²R/∂N² < 0) равновесный доход каждого из конкурирующих индивидов или групп будет падать с ростом N, так как вырастет равновесная интенсивность военных усилий f. Рассмотрим следующий числовой пример. При R = 100, N = 2, h = 1, m = 2/3, a = b = 1, равновесная интенсивность военных усилий для каждого из участников конфликта составит: f₁ = f₂ = 1/2, а доход каждого из них (Y_i) будет равен 25. Если же равномерно (допустим, вдвое) увеличить R и N, то, ceteris paribus, равновесные военные усилия составят: f₁ = f₂ = f₃ = f₄ ≈ 0,857, а равновесный доход каждого: Y_i = 20. 

10.7. Для  иллюстрации этого факта рассмотрим  простую математическую модель. Предположим существует два индивида, каждому из которых доступны две альтернативные стратегии: краткосрочная и долгосрочная. Реализация первой из этих стратегий обеспечивает индивиду получение достаточно большого дохода в течение относительно короткого промежутка времени. Этот доход равен площади прямоугольника OABT на рисунке 1. 

      Рисунок 1. Ожидаемые  будущие доходы и  максимизационные стратегии  индивидов

Предположим также, что наши индивиды дисконтируют свои ожидаемые будущие доходы по различным процентным ставкам. Пусть ожидаемый доход первого индивида в периоде i составит:

Где R_i – чистый доход 1-го индивида в i-том периоде, а r – его ставка дисконтирования. Общая сумма потока ожидаемых будущих доходов 1-го индивида будет равна площади под кривой RL на рис. 5.4. Так как дисконтированный поток будущих платежей у первого индивида превышает доход, который он может получить, если выберет краткосрочную стратегию (площадь прямоугольника ОАВТ), первый индивид предпочтет долгосрочную стратегию краткосрочной.

Второй  индивид дисконтирует свои будущие  доходы по более высокой ставке процента, и его ожидаемый будущий доход в i-том периоде будет равен, соответственно:

Где ε >> 1. Общая сумма потока ожидаемых  будущих доходов 2-го индивида будет равна площади под кривой RH на рис. 4. Так как эта площадь меньше площади прямоугольника ОАВТ, то для второго индивида краткосрочная максимизационная стратегия будет предпочтительнее долгосрочной

Первый  индивид в нашей модели – это  оседлый бандит, второй – бандит-гастролер.

В модели Олсона – МакГира G – объем предоставляемых оседлым бандитом общественных благ (в данном случае единственной целью предоставления общественных благ является спецификация и защита частной собственности подданных автократа, а цена единицы общественного блага принимается равной 1); Y – потенциальный объем производства частных благ, то есть такой их объем, который был бы произведен, если бы налогообложение не приводило к появлению потерь от мертвого груза: Y = Y(G), Y’(G) > 0, Y’’(G) < 0, Y(0) = 0; t – постоянный средний уровень налогообложения; r(t) – доля от потенциального объема производства частных благ (Y), который производится при уровне налогообложения t, r(t) не зависит от G, r’(t) < 0, r(0) = 1; 1 – r(t) – доля потерь от мертвого груза в потенциальном объеме производства частных благ Y; tr(t) – % от потенциального Y, достающийся оседлому бандиту в виде налогов; r(t)Y ≡ I – реальный объем произведенных частных благ, при условии, что налогообложение не подрывает стимулы к их производству.

Решая задачу максимизации собственного приведенного ожидаемого будущего дохода, автократ должен выбрать оптимальный уровень  налогообложения t* и оптимальный количество общественных благ G*:

При этом, необходимым условием является то, что объем расходов на производство общественных благ G (при условии, что цена единицы общественного блага равна 1) не должен превышать доходов, получаемых оседлым бандитом от налогообложения (G ≤ tr(t)Y(G)). Обратим также внимание на то обстоятельство, что доход автократа от налогообложения зависит от G, в то время как оптимальный уровень ставки налога (t) от этого параметра не зависит.

Решая задачу максимизации чистого дохода оседлого бандита по t, мы получим следующее уравнение:

Так как  Y(G) > 0, условие максимизации чистого дохода оседлого бандита по ставке налогообложения приводится к виду:

Отсюда, оптимальная ставка налога t:

И, соответственно, максимальная доля потенциального дохода Y, достающаяся автократу:

Иначе говоря, максимизация этой доли достигается  в том случае, когда предельное сокращение доходов автократа от увеличения потерь от мертвого груза (tr’(t)dt) равно предельному увеличению его доходов от роста ставки налога (rdt).

Параметр, обратный оптимальной ставке налогообложения  – это показатель самоограничения  или реципрокности оседлого бандита:

Максимизация  функции чистого дохода автократа  по расходам на производство общественных благ при оптимальной ставке налогообложения достигается при условии:

Или:

Так как, по определению, rY ≡ I, предельное изменение реальных общественных доходов I по уровню расходов оседлого бандита на производство общественных благ G равно показателю его реципрокности:

Иными словами, автократ будет увеличивать  производство общественных благ до тех  пор, пока предельный прирост реальных доходов общества от увеличения количества предоставляемых общественных благ не станет равно показателю самоограничения оседлого бандита.

Вводя в модель новые зависимые переменные Q и P, Олсон и МакГир получают возможность представить все условия равновесия в модели оседлого бандита на одном графике:

Установление  равновесной ставки налогообложения  подданных оседлого бандита и  равновесного объема предоставляемых  им общественных благ позволяют определить как равновесный реальный доход общества, так и распределение этого дохода между автократом и его подданными (см. рисунок 2).

Во втором квадранте рисунка 2 отражен выбор  автократом оптимальной ставки налогообложения (t_A*), при которой максимизируется доля потенциального дохода Y, достающаяся ему (t_A*r).

Пересечение кривых, отражающих уровень самоограничения оседлого бандита (1/tr и 1/t) с кривыми Q(t_A*) и P(t_A*) определяют оптимальный предельный прирост, соответственно, потенциального и реального доходов общества по количеству производимых автократом общественных благ. Определяемое таким образом оптимальное количество последних вместе с функциями r_A*Y(G) и t_A* (G) показывает в квадранте IV распределение реальных доходов общества между автократом (отрезок АВ), его подданными (отрезок ВС) и расходами на поддержание порядка (отрезок ОА).

Важно заметить, что хотя каждой оптимальной ставке налогообложения соответствует определенное количество предоставляемых оседлым бандитом общественных благ, выбор из всех возможных ставок налогообложения оптимальной от G не зависит, поэтому автократ сначала определяет оптимальное t, а уже потом, на основании этого t определяет оптимальную для себя величину расходов на общественные блага.

     Рисунок 2. Равновесие в модели оседлого бандита 
 

10.8. Прежде  всего необходимо заметить, что  в отличие от автократа, для  которого выбор оптимальной ставки налогообложения не зависит от объема предоставляемых им общественных благ G, при консенсусной демократии параметры G и t связаны между собой обоюдной связью. Поэтому вместо двух задач, которые последовательно решает оседлый бандит (выбор оптимальной ставки налогообложения t* и затем уже на этой основе выбор оптимального количества общественных благ G*), общество в условиях консенсусной демократии должно решить одну, но более сложную задачу, которая отражена в следующей системе уравнений:

Решение первого из этих уравнений приводит к нахождению оптимальной ставки налогообложения в демократическом обществе, решение второго позволяет определить оптимальное количество производимых общественных благ. При этом, так как все собранные налоги тратятся без остатка на производство общественных благ, необходимо выполнение следующего условия:

Решая второе из уравнений представленной системы, получим:

Здесь rY’(G) – предельные выгоды общества от увеличения количества производимых общественных благ на единицу, Yr’(t)∂t/∂G – предельные издержки связанные с этим увеличением, вызванные ростом потерь от мертвого груза, 1 – себестоимость производства единицы общественных благ.

Далее, решая первое из уравнений системы получаем:

Отсюда:

Подставляя  полученное таким образом значение ∂G/∂t в решение второго уравнения нашей системы получим:

Отсюда:

Значения  переменной t, являющееся решением данного уравнения и будет оптимальной ставкой налогообложения в условиях консенсусной демократии t_N*, соответственно, r(t_N*) = r_N*.

Так как  r(t_N*)Y’(G) = I’(t_N*, G), умножив обе части предыдущего уравнения на r_N*, мы получим условие оптимального производства общественных благ в обществе без перераспределения:

Здесь MSC_N* – общественные издержки предоставления одной дополнительной единицы общественных благ при оптимальной ставке налога t_N*. Выражение {-[(1-t*)(r*)’/r*]} – это предельные потери мертвого груза при оптимальной ставке налогообложения, а 1 – издержки производства единицы общественных благ G. Так как r’(t*) < 0, MSC_n* > 1, то есть увеличение производства общественных благ на единицу обойдется обществу дороже себестоимости единицы общественных благ, так как для финансирования дополнительного производства общественных благ необходимо увеличить ставку налога t, а это приведет к увеличению издержек мертвого груза.

Графическая иллюстрация равновесных параметров общества консенсусной демократии приводится на рисунке 1. Здесь во втором квадранте представлены оптимальная ставка налогообложения t_N* и соответствующие ей оптимальные показатели предельных издержек предоставления общественных благ для реального (MSC) и оптимального (V) общественного дохода. В первом квадранте рис. 6 определяется оптимальное, для условий консенсусной демократии, количество общественных благ G_N*. В четвертом квадранте рис. 6 отражен оптимальный, для общества без перераспределения доходов, объем налоговых поступлений (t_N*I _N = G_N*).