Модели выбора оптимального портфеля ценных бумаг

   Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Baker. Соответствующим эффективным портфелем будет первый «угловой» портфель, определенный алгоритмом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозначенным Х(1):

             0,00

Х(1) =  1,00

             0,00

      Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доходностью и стандартным отклонением акций Baker и соответственно составляют 24,6% и (854)^1/2, или 29,22%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(1).

      Затем алгоритм определяет второй «угловой» портфель. Данный портфель располагается на эффективном множестве ниже первого «углового» портфеля. Его состав определяется следующим вектором весов, обозначенным Х(2):

                   0,00

      Х(2) =  0,22

                   0,78

      То есть второй «угловой» портфель представляет собой портфель, в котором инвестор вкладывает 22% своих фондов в обыкновенные акции компании Baker, a 78% в обыкновенные акции компании Charlie. Ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного «углового» портфеля, которые составляют соответственно 23,20 и 15,90%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(2).

     Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными (adjacent) портфелями и любой эффективный портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов. Например, эффективный портфель, лежащий посередине между ними, будет иметь следующий состав:

                                                 0,00            0,00     0,00

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(2)] = 0,5*  1,00 + 0,5* 0,22 =  0,61

                                        0,00            0,78     0,39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

рис. 8.13. «Угловые» портфели 

     Таким образом, веса распределены следующим образом: 0,61 -- в акции Baker и 0,39 -- в акции Charlie. Ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного портфеля составляют 23,9 и 20,28% соответственно.

     Определив второй «угловой» портфель, алгоритм затем определяет третий. Он имеет следующий состав:

            0,84

Х(3) = 0,00

            0,16

Эти веса теперь могут быть использованы для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения данного портфеля, которые равны соответственно 17,26 и 12,22%. Как и два предыдущих, данный «угловой» портфель является эффективным и обозначается С(3) на рис. 13.

        Поскольку второй и третий портфели являются смежными, то любая их комбинация является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными. Например, если инвестор вкладывает 33% своих фондов во второй «угловой» портфель, а 67% -- в третий, то в результате получается эффективный портфель со следующим составом:

                                                      0,00              0,84     0,56

[0,33*Х(2)] + [0,67*Х(3)] = 0,33* 0,22 + 0,67* 0,00 =  0,07

                                             0,78              0,16     0,36

Данный портфель имеет ожидаемую доходность 19,10% и стандартное отклонение 12,88%.

      Комбинация «угловых» смежных портфелей может дать эффективный портфель. Это означает, что портфели, представляющие собой комбинацию двух несмежных «угловых» портфелей, не будут принадлежать эффективному множеству. Например, первый и третий «угловые» портфели не являются смежными, следовательно, любой портфель, представляющий собой комбинацию двух данных, не будет являться эффективным. Например, если инвестор вложит 50% своих фондов в первый «угловой» портфель, и 50% -- в третий, то результирующий портфель будет иметь следующий состав:

                                                 0,00            0,84     0,42

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(3)] = 0,5*  1,00 + 0,5* 0,22 =  0,50

                                        0,00            0,16     0,08 

      При данных весах ожидаемая доходность и стандартное отклонение данного портфеля равны 20,93 и 18,38% соответственно. Однако это неэффективный портфель. Так как его ожидаемая доходность (20,93%) лежит между ожидаемой доходностью второго (23,20%) и третьего (17,26%) «угловых» портфелей, то с помощью комбинации этих двух смежных портфелей инвестор имеет возможность сформировать эффективный портфель, имеющий такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклонение.

      Далее алгоритм определяет состав четвертого «углового» портфеля:

            0,99

Х(4) = 0,00

            0,01

      Ожидаемая доходность и стандартное отклонение, равны 16,27% и 12,08% соответственно. Определив данный портфель, соответствующий точке Ј на рис. 1 (и С(4) на рис. 13), имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается. Четыре «угловых» портфеля, объединенных в табл. 1, полностью описывают эффективное множество, связанное с акциями Able, Baker и Charlie.

      Изображение графика данного эффективного множества является простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может определить состав и соответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из 20 эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым «угловыми» портфелями. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соответствующие данным портфелям. Это придаст графику вид изогнутой линии, показанной на рис. 13, так как данные портфели расположены близко друг к другу.

      Таблица 1. 

«Угловые» портфели в случае трех ценных бумаг 

 

      Продолжая можно построить 20 эффективных портфелей между вторым и третьим «угловыми» портфелями, а затем соответствующий сегмент эффективного множества. После того как данная процедура будет выполнена для следующего промежутка между третьим и четвертым «угловыми» портфелями, график будет полностью построен. 

2.1Определение состава оптимального портфеля 

      После того как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора. Портфель, обозначенный как О* на рис. 2, соответствует точке касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством. Процедура определения состава оптимального портфеля начинается с графического определения инвестором уровня его ожидаемой доходности. То есть из графика инвестор может определить, где располагается О*, а затем с помощью линейки отметить его ожидаемую доходность. Для этого следует провести из точки О линию, перпендикулярную вертикальной оси (с помощью компьютера это можно сделать значительно более точно).

     Проведя данную операцию, инвестор теперь может определить два «угловых» портфеля с ожидаемыми доходностями, «окружающими» данный уровень. То есть инвестор может определить «угловой» портфель, который имеет ближайшую ожидаемую доходность, большую, чем у данного портфеля (ближайший «угловой» портфель, расположенный «выше» О), и «угловой» портфель с ближайшей, меньшей ожидаемой доходностью (ближайший «угловой» портфель, расположенный «ниже» О).

     Если оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, тогда можно заметить, что второй и третий «угловые» портфели являются верхним и нижним ближайшими «угловыми» портфелями, так как они имеют ожидаемую доходность в 23,20% и стандартное отклонение в 17,26%.

20% = (23,20% х Y) + [17,26% х (1 - Y)].

Решением данного уравнения является Y = 0,46. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 46% из второго «углового» портфеля и на 54% из третьего «углового» портфеля. В терминах объема инвестиций в ценные бумаги компаний Able, Baker и Charlie данное утверждение принимает следующий вид:

                                                      0,00              0,84     0,45

[0,46*Х(2)] + [0,54*Х(3)] = 0,46* 0,22 + 0,54* 0,00 =  0,10

                                             0,78              0,16     0,45

Таким образом, Инвестор должен вложить 45% своих фондов в акции Able, 10% -- в акции Baker и 45% - в акции Charlie.

     В качестве обобщения можно сказать, что если векторы весов ближайших верхних и нижних «угловых» портфелей обозначены X^а и X^b соответственно, то веса отдельных ценных бумаг, составляющих оптимальный портфель, равняются (Ух Х^a) + [(1 -- Y) х X^b]. 

3. Метод, основанный на рыночной модели 

Исходные данные, необходимые для определения местоположения эффективного множества 

      Для того чтобы определить эффективное множество, инвестор должен оценить ожидаемые доходности всех рассматриваемых ценных бумаг, а также их дисперсии и ковариаций. Далее, можно определить оптимальный портфель, найдя точку касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством, как это показано на рис. 2.

     Для определения эффективного множества нужно сделать следующие шаги. Первое, нужно оценить ожидаемую доходность каждой ценной бумаги. Если рассматривается N ценных бумаг, то нужно произвести оценку N параметров. Второе, нужно оценить дисперсию каждой из этих ценных бумаг. Для N рисковых ценных бумаг нужно провести оценку других N параметров. Третье, нужно оценить ковариацию каждой пары ценных бумаг. Для этого нужно оценить (N² -- N )/2 параметров. Это означает, что общее число параметров, для которых необходимо провести оценку, равняется (N² + 3N)/2:

Ожидаемые доходности  N

Дисперсии                          N

Ковариаций                      (N² - N)/2

Всего                                (N² - 3N)/2

     Например, если мы рассматриваем 100 рисковых ценных бумаг, то нам необходимо произвести оценку 5150 параметров [(100² + (3 х 100)/2], состоящих из 100 ожидаемых доходностей, 100 дисперсий и 4950 ковариаций. Эти параметры могут быть оценены один за другим, что представляет задачу, требующую больших временных затрат и практически неразрешимую. К счастью, существуют альтернативы данному методу, одной из которых является метод, основанный на рыночной модели.

При подходе, использующем рыночную модель, в первую очередь необходимо оценить ожидаемую доходность на рыночный индекс. Затем для каждой ценной бумаги нужно оценить коэффициент вертикального смещения и коэффициент «бета». В общей сложности надо произвести оценку (1 + 2N) параметров (1 для r₁, 2N для коэффициента вертикального смещения и «бета»-коэффициентов для каждой из N рискованных ценных бумаг). Полученные значения могут быть использованы для проведения оценок ожидаемой доходности каждой ценной бумаги.