Модели выбора оптимального портфеля ценных бумаг

  Рисунок 9 представляет колесо рулетки, соответствующее этой случайной погрешности. В общем случае случайные погрешности ценных бумаг соответствуют рулеткам с другими крайними значениями и другими неравномерными интервалами между значениями. Хотя все они имеют математическое ожидание, равное нулю, стандартные отклонения у них могут быть различными. Например, ценная бумага В может иметь случайную погрешность с нулевым ожидаемым значением и стандартным отклонением, равным 4,76%⁸. 

1.4. Графическое представление рыночной модели 

     Прямая линия в части (а) рис. 10 представляет собой график рыночной модели для ценной бумаги А. Уравнение прямой, построенной для ценной бумаги А, выглядит следующим образом: 

 

      По вертикальной оси отложена доходность ценной бумаги (r_A), а по горизонтальной оси доходность на рыночный индекс (r_I). Линия проходит через точку на вертикальной оси, соответствующую значению , которое в данном случае составляет 2%. Линия имеет наклон, равный _AI, или 1,2.

      Часть (б) рис. 10 представляет собой график рыночной модели ценной бумаги В. Уравнение данной прямой имеет следующий вид:

  

  Эта линия идет из точки на вертикальной оси, связанной со значением α_ВI, которое в данном случае равняется -1%. Заметим, что наклон данной прямой равняется β_BI, или 0,8.

рис. 9. Случайная погрешность ценной бумаги А

 
 

рис. 10. Рыночная модель 

«Бета»-коэффициент 

     Отметим, что наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Обе линии на рис. 10 имеют положительный наклон, показывающий, что чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходности этих ценных бумаг. Однако прямые имеют различный наклон. Это означает, что бумаги имеют различную чувствительность к доходности на индекс рынка. Точнее, А имеет больший наклон, чем В, показывающий, что доходность А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем доходность В.

      Предположим, что ожидаемая доходность на рыночный индекс составляет 5%. Тогда если фактическая доходность на рыночный индекс составит 10%, то она превысит на 5% ожидаемую доходность. Часть (а) рис. 10 показывает, что доходность ценной бумаги А должна превысить изначально ожидаемую доходность на 6% (14% - 8%). Аналогично, часть (б) показывает, что доходность ценной бумаги В должна превысить изначально ожидаемую доходность на 4% (7% - 3%). Причиной разности в 2% (6% - 4%) является тот факт, что ценная бумага А имеет больший наклон, чем ценная бумага В, т.е. А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем В.

     Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»-коэффициентом (beta) и вычисляют так:

где обозначает ковариацию между доходностью акции i и доходностью на рыночный индекс, а обозначает дисперсию доходности на индекс. Акция, которая имеет доходность, являющуюся зеркальным отражением доходности на индекс, будет иметь «бета»-коэффициент, равный 1 (ему соответствует рыночная модель следующего вида: r_i=r_I+ _iI). То есть акции с «бета»-коэффициентом больше единицы (такие, как А) обладают большей изменчивостью, чем рыночный индекс, и носят название «агрессивные» акции (aggressive stocks). И наоборот, акции с «бета»-коэффициентом меньше единицы (такие, как В) обладают меньшей изменчивостью, чем рыночный индекс, и называются «оборонительными» акциями (defensive stocks). 

Действительные доходности 

      Случайная погрешность позволяет сделать предположение, что при данной доходности на рыночный индекс действительная доходность ценной бумаги обычно лежит вне прямой, задаваемой уравнением рыночной модели. Если действительные доходности на ценные бумаги А и В составляют 9 и 11% соответственно, а действительная доходность на индекс составляет 10%, то можно заметить, что действительные доходности на А и В состоят из трех следующих компонентов:

        

      В данном случае можно просто сказать, что мы «прокрутили» колесо рулетки для А и В и в результате этого действия получили значения (которые являются значениями случайной погрешности) -5% для А и +4% для В. Можно заметить, что данные значения равняются вертикальным расстояниям, на которые действительные доходности ценных бумаг отклоняются от прямой линий рыночной модели, как это показано на рис.11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

рис.11. Рыночная модель и действительные доходности 
 

1.5.Диверсификация 

      Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как состоит из двух частей:  рыночный (или систематический) риск market risk); собственный (или несистематический) риск (unique risk).  
 

     Общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности выражается:

     

 

      Общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компоненты также носят название рыночного риска ( ) и собственного риска( ).

  Рыночный риск портфеля 

        В общем случае можно заметить, что чем более диверсифицирован портфель (т.е. чем большее количество ценных бумаг в него входит), тем меньше каждая доля Х_i. При этом значение не меняется существенным образом, за исключением случаев преднамеренного включения в портфель ценных бумаг с относительно низким или высоким значением «беты». Так как «бета» портфеля является средним значением «беты» ценных бумаг, входящих в портфель, то нет оснований предполагать, что увеличение диверсификации портфеля вызовет изменение «беты» портфеля и, таким образом, рыночного риска портфеля в какую-либо сторону. Таким образом, можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

      Этот вывод имеет важное значение, так как в случае плохого или хорошего экономического прогноза большинство ценных бумаг упадут или соответственно возрастут в цене. Несмотря на уровень диверсификации портфеля, всегда можно ожидать, что такие рыночные явления будут влиять на доходность портфеля. 

Собственный риск портфеля 

      Совершенно другая ситуация возникает при рассмотрении собственного риска портфеля. В портфеле некоторые ценные бумаги могут возрасти в цене в результате распространения неожиданных хороших новостей, касающихся компаний, эмитировавших данные ценные бумаги (например, о приобретении патента). Другие ценные бумаги упадут в цене в результате распространения неожиданных плохих новостей, относящихся к данным компаниям (например, об аварии). В будущем можно ожидать, что количество компаний, о которых станут, известны какие-либо хорошие новости, приблизительно будет равняться количеству компаний, о которых станут известны какие-либо плохие новости, что приведет к небольшому ожидаемому чистому воздействию на доходность хорошо диверсифицированного портфеля. Это означает, что чем больше диверсифицируется портфель, тем меньше становится собственный риск и, следовательно, общий риск. Диверсификация существенно уменьшает собственный риск.

      Проще говоря, портфель, состоящий из 30 или более случайно выбранных ценных бумаг, будет иметь относительно низкую величину собственного риска. Это означает, что общий риск будет ненамного больше величины имеющегося рыночного риска. Таким образом, указанные портфели являются хорошо диверсифицированными. Рисунок 12 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска. 

Пример 

      Рассмотрим две ценные бумаги А и В, о которых шла речь ранее. Эти бумаги имеют коэффициенты «бета», равные 1,2 и 0,8 соответственно; стандартные отклонения их случайных погрешностей составляют 6,06 и 4,76%. Таким образом, из заданных значений _еА = 6,06% и _еB = 4,76% следует, что ²_еА=6,06² = 37 и ²_еB = 4,76² = 23. Теперь предположим, что стандартное отклонение рыночного индекса у_I составляет 8%. Это подразумевает, что дисперсия рыночного индекса равняется 8², или 64. Значения дисперсии для ценных бумаг А и В:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

рис. 12. Риск и диверсификация 

      Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу. То есть рассмотрим портфель, в котором Х_А = 0,5 и ХВ = 0,5. Так как _AI= 1,2 и _BI = 0,8, то «бета» данного портфеля может быть вычислена с помощью уравнения:

pI = (0,5 х 1,2) + (0,5x0,8) = 1,0.

     Можно вычислить дисперсию случайного отклонения портфеля :

2_еp = (0,5² * 37) + (0,5² * 23) = 15

Из уравнения (8.11а) видно, что портфель будет иметь следующую дисперсию:

2_p = (1,0² х 64) + 15 = 79.

Данное выражение представляет общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг. 
 

2. модель марковица 

Определение структуры и местоположения эффективного множества 

      Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие2. бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. Метод  решения включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий (critical-line method).

      Рассмотрим портфель из трех акций. Проведем оценку вектора ожидаемых доходностей, обозначенного как ER, и ковариационной матрицы, обозначенной как VС:

          16,2                              146   187  145

ER =  24,6                   VC =  187   854  104

           22,8                              145  104   289 

     Затем через алгоритм определяется количество «угловых» портфелей, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель -- это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.

     Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью. Данный портфель соотносится с точкой S на рис. 1 и является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой доходностью. То есть если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он должен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Любой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже S.