Методологія і методи синтезу моделей соціально-економічних систем і структур управління ними

2.3 Синтез періодичних моделей соціально-економічних систем 

     Якщо  аналіз соціально-економічної системи  показав наявність деяких частот, що постійно присутні в різні моменти часу, коли проводився аналіз, то будуються періодичні моделі. Це такі моделі в яких присутні тригонометричні періодичні функції.

     В якості залежності наводиться наступна формула:

                           

                      (2.4)

х – аргумент;

у –  функція;

A – H – константи;

     В залежності від чисельних значень  констант, ця формула дає множину  кривих.

     Вирішення задачі визначення числових значень  коефіцієнтів такої моделі ускладнюється  тим, що не існує таких математичних перетворень, які б дозволили отримати значення констант A – H методом регресії. Тому для вирішення цієї задачі був застосований підхід, який враховує відсутність чи наявність знань про значення характерних частот чи періодів:

1. Встановити довільні значення констант A – H;
2. Для всіх значень аргументу і довільних значень констант розрахувати величину  у;
3. Для кожного значення функції розрахувати її фактичне значення, отримане за статистичними даними;

  Для знайдення коефіцієнтів A – H  рекомендується використання функції «Пошук рішення» з Excel. 
 
 
 

2.4 Синтез моделей методом нейронних сіток 

     При моделюванні економічних систем однією з найбільш складних задач  є вибір виду функції. Це пояснюється  тим, що часто характер залежності одного економічного параметра від іншого є невідомим.

     Фактично, знаючи певний набір значень вхідних  параметрів, потрібно віднести значення вихідного параметра до певного  класу чи значення. Для вирішення  цієї задачі найбільш прийнятним є  використання нейронних сіток. Нейронні сітки – це сітки, що складаються зі зв’язаних між собою простих елементів. Ядром використовуваних представлень є ідея про те, що прості елементи можна моделювати простими формулами, а вся складність процесу моделювання визначається зв’язками між елементами.

     Кожен зв'язок представляється як простий елемент. Для опису кожного елемента використовується проста і одна й та сама функція.

      Модель нейрона, як найпростішого  процесорного елемента, що виконує  обчислення  перехідної функції  від скалярного добутку вектора  вхідних сигналів хі  і вектора вагових коефіцієнтів w_i  описується наступною системою рівнянь:

                                                   net = ∑ x_iw_i                                            

                                                                                          +1, net > 0

                                                f (net) – sgn (net)        - 1, net < 0                        (2.5) 

     Функція   f (net) називається активізуючою. Тому в  штучних нейронних  мережах  використовують  інші функції активації, найбільш популярною з яких є так звана логістична уніполярна сигмоїдальна функція (сигмоїд).

                                               

                                          (2.6)

     Визначення  коефіцієнта w _iназивається  навчанням, тому існує задачник – набір прикладів із заданими відповідями. Ці приклади пред’являються  системі. Нейрони одержують по вхідних зв’язках сигнали «умови прикладу», перетворюють їх, кілька разів обмінюються перетвореними сигналами    і  

видають відповідь – також набір сигналів. Відхилення від правильної відповіді штрафується.

     Навчання  складається з мінімізації штрафу як неявної функції зв’язків. Неявне навчання приводить до того, що структура  зв’язків стає незрозумілою – не існує  іншого способу її прочитати, крім як запустити функціонування сітки.

     Стає  складно побудувати зрозумілу людині логічну конструкцію, що відтворює дії сітки.

     Режими  навчання нейронних сіток можуть бути різними, але найбільш ефективним є так зване «дельта – правило»:

• початкові ваги можуть бути будь-якими. Корекція проводиться пропорційно величині похідної по даній координаті. Похідна береться від функції активації. Підстроювання ваги для нейрона здійснюється за формулою:

∆w=η[d- f(net)] – f´(net)*x_i                                   (2.7)

d – очікуваний вихід.

  Після проведення корекції коефіцієнтів  моделі їм представляються наступні дані із «задачника». [8, 90-95] 

2.5 Оцінка адекватності апроксимації та якості прогнозування статистичних моделей 

     Адекватність  означає відповідальність моделі реальній соціально-економічній системі. Апроксимація (наближення) вихідних факторів моделі до реальних значень, які було отримано внаслідок статистичних спостережень.      Адекватність перевіряється для реальних значень входів і виходів соціально-економічної системи.

     Найбільш  зручним є перевірка за критерієм  Пірсона, яка проводиться у наступному порядку:

1. Для  перевірки адекватності апроксимації  проводиться розрахунок вихідних  значень математичної моделі, підставляючи  в неї реальні вхідні значення, за якими ця модель була  побудована. 

2. Для   кожного значення розраховується критерій «хі-квадрат».

                                                    

                                    (2.8)

3. Визначається  число ступенів свободи.

4. Знаходиться  теоретичне значення «хі-квадрат»  за наперед визначеною довірчою  ймовірністю. Ця довірча ймовірність має бути достатньо висока.

     Якщо  це значення  більше розрахованого, модель вважається адекватною з визначеною довірчою ймовірністю. В іншому випадку  модель не адекватна, тобто, погано описує процес.

     Для полегшення розрахунків можна звернутися до функції excel ХИ2ОБР(β,r), де β – довірча ймовірність, r – число степенів свободи. Функція повертає теоретичне значення розподілу «хі-квадрат» і дозволяє виконувати розрахунки за приведеним алгоритмом.   

2.6 Синтез динамічних моделей соціально-економічних систем 

     Якщо  при аналізі соціально-економічної  системи виявлено запізнювання та вираховані його параметри існує можливість синтезувати динамічні моделі, які  відрізняються від статистичних використанням диференційного та інтегрального  числення.

     У таких моделях вихідна змінна може бути представлена у вигляді її ідеального значення і її складової.

     Тому  при аналізі запізнювання і його впливу на поведінку елемента зручно розрізняти потенційні значення запізнювання вихідної змінної.

     Синтез  динамічної моделі залежить від форми зв’язку між входами і виходами  та від динамічних властивостей об’єкта.  Її вибір здійснюється на основі якісного аналізу спостереженого перехідного процесу, логічних міркувань, оцінки можливості отримання необхідної інформації.

     Перехідні режими в економічних системах надзвичайно складні і різноманітні. Тому вибір відповідної функції, що апроксимує ціле сімейство різних запізнювань, що виникають у системі, - завдання виключно важке, тим  

паче, що доводиться обмежуватися порівняно  простими моделями, доступними з погляду інформаційного забезпечення і математичної обробки.

     Найчастіше  модель запізнювання будується в  припущенні, що швидкість зміни виходу, що запізнюється, визначається величиною  його відставання від потенційного виходу.       

2.7 Синтез нечітких моделей 

     Існують описові моделі на звичайній мові, які дозволяють зрозуміти якісні характеристики соціально-економічної  системи. Але такі моделі не дозволяють отримати потрібні для їх вивчення, прогнозування і керування числові  характеристики.

     В такому випадку варто застосовувати  синтез нечітких моделей, який базується  на уявленні групи експертів про  функціональну діяльність системи.

     Нечіткі моделі базуються на поняттях нечітких множин, які представляють собою  множину можливих значень нечіткої величини у формі функції.

     Нехай Е – універсальна множина, х –  елемент Е, а R – певна властивість. Звичайна (чітка) підмножина А універсальної множини Е, елементи якої задовольняють властивість R, визначається як множина впорядкованої пари 

А = {μА(х)/х}, де  μА(х) – характеристична функція, що приймає значення 1, коли х задовольняє властивості R, і 0 – в іншому випадку.

     Нечітка підмножина відрізняється від звичайної  тим, що для елементів х з Е  немає однозначної відповіді  «ні» щодо властивості  R. У зв’язку з цим, нечітка підмножина А універсальної множини Е визначається як множина впорядкована парі  А = {μА(х)/х}, де  μА(х) – характеристична функція приналежності, що приймає значення в деякій впорядкованій множині М.

     Визначимо поняття нечітких множин. Нехай М = [0,1] і А – нечітка множина з множиною визначення М:

1. Величина  μА(х) називається висотою нечіткої  множини А. Нечітка множина  А  є нормальною, якщо її  висота дорівнює 1. 

2. Нечітка  множина є порожньою, якщо  хєЕ  μА(х) =0.

3. Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина з властивістю  μА(х) >0.

     Елементи  хєЕ, для яких  μА(х)= 0,5 називаються точками переходу множини А.

     Основні операції з функціями нечітких множин  зводяться до операцій з їх інтервалами  достовірності. А операції з інтервалами, у свою чергу, виражаються через операції з дійсними числами – межами інтервалів:

• операція «складання»:

[а1, а2] (+) [b1, b2] = [a1+b1, a2+b2]                        (2.9)

• операція «віднімання»:

[а1, а2] (-) [b1, b2] = [a1-b1, a2-b2]                          (2.10)

• операція «множення»:

[а1, а2] (*) [b1, b2] = [a1*b1, a2*b2]                        (2.11)

• операція «ділення»:

 

[а1, а2] (/) [b1, b2] = [a1/b1, a2/b2]                         (2.12)

   Аналізуючи  властивості нелінійних операцій з  нечіткими числами приходять до висновку, що форма функцій приналежності результуючих нечітких чисел часто близька до трикутної. Тобто, якщо ми вводимо опис трикутного числа набором абсцис вершин (а, b, с) то можна записати:

(а1, b1, с1) + (а2, b2, с2) = (а1+а2,  b1+ b2, с1+с2)            (2.13)

   На  такому принципі базується синтез моделі управління соціально – економічними системами.

   Основою для синтезу нечіткого логічного  управління є база правил, що містить  нечіткі вислови у формі «якщо-то»  і функції приналежності для відповідних лінгвістичних термінів (нечіткі множини, які визначають лінгвістичну змінну). При цьому повинні дотримуватися наступні умови:

1. Існує  хоч би одне правило для  кожної вихідної лінгвістичної  змінної;

2. Для  будь – якої вхідної змінної є хоча б одне правило, в якому ця змінна використовується як передумова.