Математические модели в экономике

Министерство  образования и  науки

Томский государственный  университет систем управления и

радиоэлектроники

Кафедра экономики

Контрольная работа

по дисциплине «Математические модели в экономике»

учебное пособие Сидоренко М.Г. «Математические  модели в экономике»

Вариант №9

Выполнил  студент  

специальности 80100 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Задание 1 

В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное  множество при векторе цен  Р=(4, 7, 3) и доходе Q=84. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества. 

Решение:

При данных значениях  вектора цен P и доходе Q бюджетное множество B(P, Q) есть пирамида OABC. Точка A имеет координату , точка B имеет координату , точка С имеет координату

Треугольник ABC является границей бюджетного множества, он перпендикулярен вектору цен. При увеличении Q граница бюджетного множества движется в направлении вектора цен.

Бюджетное множество  и его границу определяем с  помощью обычных равенств и неравенств:

Бюджетное множество  и его границу определяем с  помощью векторных неравенств:

Объем бюджетного множества равен объему пирамиды ОАВС. Его вычисляем по формуле:

, где - площадь основания пирамиды, h – ее высота

Итак, объем бюджетного множества равен 1176.

 

Задание 2 

Даны зависимости спроса D(p)=500-10р и предложения S(p)=50+5р от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку. 

Решение:

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения , т.е. D(p)=S(p)

500-10p=50+5p

15p=450

- равновесная цена

Выручка при  равновесной цене

При  цене объем продаж и выручка определяется функцией спроса, а при - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:

 

Для функции  максимум определяем через производную:

Выручка при данной цене равна W(p)=6250

Для функции  максимум определяем через производную:

Так как данная цена получилась отрицательная, то максимальная выручка имеет место быть при  цене p=25. 

Итак, максимальная выручка достигается не при равновесной цене. Она равна W(p)=6250 при цене p=25.

 

Задание 3

Найдите решение  матричной игры (оптимальные стратегии  и цену игры).  

Решение: 

1) Для начала  проверим наличие седловой точки  – ее нет. 

2) Пусть оптимальная  стратегия Первого  .

Оптимальная стратегия  Второго  .

Выигрыш Первого  есть случайная величина с распределением W(x,y):

4	-3	-2	4
xy	x(1-y)	(1-x)y	(1-x)(1-y)

  
 

Находим средний  выигрыш за партию Первого – мат.ожидание случайной величины W(x,y):

M(x,y)=4xy-3x(1-y) –  2y(1-x)+4(1-x)(1-y)=4xy-3x+3xy-2y+2xy+4-4x-4y+4xe=13xy-7x-6y+4=

=13x(y- )-6(y- )+ =

Следовательно, . Так как именно в этом случае . 

Значит оптимальная  стратегия Первого игрока .

Оптимальная стратегия  Второго  .

Цена игры равна  . 
Задание 4 

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.

    Y=  

Решение:

I способ

Найдем коэффициенты полных материальных затрат с помощью  формул обращения невырожденных матриц: 

1. Ищем матрицу  Е-А

E-A= =  

2. Вычисляем определитель этой матрицы:

=0.18 

3. Транспонируем эту матрицу:

 

4. Находим алгебраические дополнения для элемента матрицы  :

 

     

     

      
 

    

 

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

 

5. Находим матрицу полных затрат:

 

II способ:

Найдем коэффициенты полных материальных затрат приближенно:

   

Запишем матрицу  коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

 

Запишем матрицу коэффициентов 2-го порядка:

 

Таким образом, матрица коэффициентов  полных материальных затрат приближенно равна:

Элементы  матрицы B, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат выше 2-го порядка. 

Составляем  межотраслевой баланс:

Найдем  величины валовой продукции трех отраслей (вектор X):

 

Для определения  элементов первого квадранта  материального межотраслевого баланса  воспользуемся формулой: . Т.е. элементы первого столбца заданной матрицы А умножаем на 657,78; элементы второго столбца А на 898, 89; элементы третьего столбца – на 890.

Условно чистая продукция (третий квадрант) есть разница между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов первого квадранта. 

Производящие  отрасли	Потребляющие  отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	328,89	89,89	89	150	657,78
2	263,11	179,78	356	100	898,89
3	131,56	449,45	89	220	890
Условно чистая продукция	-65,79	179,79	356	470
Валовая продукция	657,78	898,89	890		2446,67

 
 
 
 
 

 

Задание 5 

Проверить ряд  на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания ( =0.1), представить результаты сглаживания графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на 3 шага вперед. Ряд данных: у=13, 11, 12, 14, 15, 16, 15, 14, 16, 17. 
 

Решение:

Для проверки ряда на наличие выбросов методом Ирвина воспользуемся формулой:

Среднеквадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

Найдем среднее  арифметическое

Среднеквадратическое  отклонение

Полученные значения в зависимости от t представлены в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	----	1.059	0.53	1.059	0.53	0.53	0.53	0.53	1.059	0.53

 

Сравнивая полученные нами значения со значениями из таблицы критерий Ирвина, видим, что все < . Следовательно, аномальных уровней в заданном нам ряду нет. 
 
 

Для сглаживания  воспользуемся методом простой  скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:

Следовательно, = 12, 12.33, 13.667, 15, 15.333, 15, 15, 15.667. 

При сглаживании  экспоненциальным методом с  =0.1 нулевое значение

= 12, 11.9, 11.91, 12.119, 12.407, 12.766, 12.99, 13.091, 13.382, 13.744.

Результаты сглаживания  графически выглядят следующим образом:

 
 

Определяем для  ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель):

Подставляя известные  нам значения в данную систему  уравнений получим:

  

Получаем, и

Линейная модель:  
 

Дадим точечный прогноз на три шага вперед. Точечные интервалы получим, подставляя в  уравнение модели значения t=11, t=12 и t=13:

 

Доверительный интервал для интервального прогноза определим по формуле:

Среднюю квадратическую ошибку прогнозируемого показателя определим:

Значения величины К для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда табулированы. По таблице выявили следующие значения К:

Для t=11, L=1, K=2.2524

Для t=12, L=2, K=2.3614

Для t=13, L=3, K=2.4827 

Результаты расчета  представлены в таблице:

Время t	Шаг L	Точечный прогноз	Нижняя граница доверительного интервала	Верхняя граница доверительного интервала
11	1	19.89	13.783	25.997
12	2	21.12	14.717	27.523
13	3	22.35	15.618	29.082