Контрольная работа по "Эконометрия"

Получаем модель вида:

Y=14,038+1,696*X3+0,084*X5-3,815*X6

Поскольку <  (4,10 < 33,821), уравнение регрессии следует признать адекватным.

Выберем наименьшее по модулю значение t-критерия Стьюдента, оно равно 0,069, сравниваем его с табличным значением, которые рассчитываем в Excel, уровень значимости берем равным 0,10, число степеней свободы n-m-1=40-4=36:  =1,688.

Поскольку 0,069 < 1,688 модель следует признать не адекватной.

Поскольку фактор X5 статистически не значим, то построим модель с учетом только факторов Х3 и Х6.

      Таблица 1.6

Регрессионная статистика
Множественный R	0,859112903
R-квадрат	0,73807498
Нормированный R-квадрат	0,723916871
Стандартная ошибка	27,05586127
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	2	76321,68	38160,84242	52,1309
Остаток	37	27084,73	732,0196288
Итого	39	103406,4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	14,04035138	18,8906	0,743245502	0,462027
X6(площадь кухни)	-3,759364352	2,080306	-1,807121155	0,07888
X3 (общая площадь квартиры)	1,696496871	0,17554	9,664443592	1,15E-11

 

Получаем модель вида:

Y=14,040+1,696*X3-3,759*X6

Поскольку <  (4,10 < 52,131), уравнение регрессии следует признать адекватным.

Выберем наименьшее по модулю значение t-критерия Стьюдента, оно равно 1,807, сравниваем его с табличным значением, которые рассчитываем в Excel, уровень значимости берем равным 0,10, число степеней свободы n-m-1=40-4=36:  =1,688.

Поскольку 1,807 > 1,688 модель следует признать адекватной.

Коэффициент парной корреляции независимых переменных X3 (общая площадь квартиры) и  X6 (площадь кухни) меньше 0,8 (см. табл. 1.1.) в исходных данных отсутствует мультиколлинеарность.

7. Оцените качество построенной модели.

Для оценки качества выбранной множественной модели Y_Т = 14,040+1,696*X3-3,759*X6 аналогично п.4 данной задачи используем коэффициент детерминации R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F - критерий Фишера.

Коэффициент детерминации R-квадрат выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Регрессионная статистика» для модели).

R² = 0,738, следовательно, вариация цены квартиры Y на 73,8% объясняется по данному уравнению вариацией общей площади квартиры Х₃ и площади кухни Х₆.

Используем исходные данные Y_i и найденные программой РЕГРЕССИЯ остатки Е_i (таблица «Вывод остатка» для модели). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение _отн.

Наблюдение	Предсказанное Y-цена квартиры, тыс. руб.	Остатки	Относительный остаток
1	107,1581806	7,841819	0,073179848
2	116,9166488	-31,9166	0,272986346
3	85,87075602	-16,8708	0,196466839
4	73,68304979	-16,683	0,226416385
5	122,5421597	62,05784	0,506420325
6	42,35200015	13,648	0,322251601
7	93,10992385	-8,10992	0,087100531
8	239,5670592	25,43294	0,106162095
9	94,09281115	-33,4428	0,355423658
10	139,079393	-9,07939	0,065282087
11	51,09257017	-5,09257	0,0996734
12	89,51461316	25,48539	0,28470644
13	78,50814138	-7,54814	0,096144696
14	43,94021208	-4,44021	0,101051221
15	46,55029192	32,34971	0,694941036
16	78,35202732	-18,352	0,234225303
17	139,3374787	-39,3375	0,282318003
18	77,50377888	-26,5038	0,341967569
19	138,9440368	18,05596	0,129951336
20	150,1735835	-26,6736	0,177618346
21	50,35982895	4,840171	0,096111745
22	102,7680466	-7,26805	0,070722826
23	79,5897478	-21,9897	0,276288698
24	72,75755744	-8,25756	0,113494154
25	130,4137234	-38,4137	0,294552769
26	112,2476712	-12,2477	0,10911292
27	67,54696358	13,45304	0,199165672
28	43,51644652	21,48355	0,493688139
29	88,56204957	21,43795	0,242067009
30	41,80804027	0,29196	0,006983339
31	98,59448255	36,40552	0,369244977
32	42,7837053	-3,18371	0,074413968
33	80,9509151	-23,9509	0,295869603
34	42,3113933	37,68861	0,890743693
35	72,75755744	-11,7576	0,161599122
36	109,7372194	-40,1372	0,365757576
37	221,9083298	28,09167	0,126591328
38	91,13386611	-26,6339	0,292249931
39	71,81690323	53,1831	0,740537316
40	116,1568363	36,14316	0,3111583
			25,46%

 

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение   _отн = 25,46% (с помощью функции СРЗНАЧ).

Сравнение показывает, что 22,69% > 15%. Следовательно, точность модели неудовлетворительная.

С помощью F - критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «дисперсионный анализ» для модели ) F = 52,131.

С помощью функции FРАСПОБР найдем значение F_кр = 3,25 для уровня значимости α = 5%, и чисел степеней свободы k₁ = 2, k₂ = 37.

F = 61,01 > F_кр = 3,25, следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными Х₃ и Х₆.

Дополнительно с помощью t - критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.

t - статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в итогах программы РЕГРЕССИЯ. Для выбранной модели получены следующие значения (табл. 1.6).

Критическое значение t_кр найдено для уровня значимости α = 5% и числа степеней свободы k = 40 - 2 - 1 = 37. t_кр = 2,03 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

 

Для свободного коэффициента a= 14,04 определена статистика t(a) =        0,74.

|t(a)| = 0,74 < t_кр = 2,03, следовательно, свободный коэффициент a не является значимым, его можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии b₁ = -3,76 определена статистика  
t(b₁)= -1,81.

|t(b₁)| = 1,81 < t_кр = 2,03, следовательно, коэффициента регрессии b₁ не является значимым, его и фактор можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии b₂=1,696 определена статистика t(b₂)= 9,66.

|t(b₂)| = 9,66 > t_кр = 2,03, следовательно, коэффициента регрессии b₂ является значимым, его и фактор общей площади квартиры нужно сохранить в модели.

Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости α = 5%. Рассматривая столбец «P-значение», отметим, что свободный коэффициент a можно считать значимым на уровне 0,46 = 46%; коэффициент регрессии b₁ - на уровне 0,08 = 8%;, а коэффициент регрессии b₂ - на уровне 1,15E-11 = 0,0000000000115 = 0,0000000001%.

При добавлении в уравнение новых факторных переменных автоматически увеличивается коэффициент детерминации R² и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, хотя при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества однофакторной и выбранной множественной модели используем нормированные коэффициенты детерминации.

Модель	Нормированный R-квадрат
Y3=-13,109+1,542*X3	0,707456
Y=14,040+1,696*X3-3,759*X6	0,723916

 

Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора Х₆ качество модели улучшилось, что говорит в пользу сохранения фактора Х₆ в модели.

Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются  формулами Э_j = b_j * .

С помощью функции СРЗНАЧ найдем: = 69,208, = 10,055, = 93,65. Тогда Э₃ = 1,25,  Э₆ = -0,40 .

Следовательно, при изменении общей площади на 1% цена квартиры увеличится в среднем на 1,25%.

Увеличение площади кухни на 1% приводит к уменьшению цены квартиры в среднем на 0,40%.

Бета-коэффициенты определяются формулами β_j = b_j * .

С помощью функции СТАНДОТКЛОН найдем S_X3 = 28,224; S_X6 = 2,382;    S_Y = 51,492. Тогда

 β₃= 0,930 β₆= -0,174

Таким образом, при увеличении только фактора Х₃ на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,93 своего стандартного отклонения  S_Y, а при увеличении только фактора Х₆ на одно его стандартное отклонение - уменьшается на 0,174 S_Y.

Дельта-коэффициенты определяются формулами Δ_j = β_j * .

Коэффициенты парной корреляции r(Y, X₃) = 0,846, и  r(Y, X₆) = 0,277 найдены с помощью программы КОРРЕЛЯЦИЯ. Коэффициент детерминации R² = 0,738 определен для рассматриваемой двухфакторной модели программой РЕГРЕССИЯ.

Вычислим дельта-коэффициенты:

Δ₃ = 1,065;  Δ₆ =-0,065.

Поскольку Δ₆ < 0, то факторная переменная Х₆ выбрана неудачно и ее нужно исключить из модели.

Значит, по уравнению полученной линейной двухфакторной модели изменение результирующего фактора Y (цены квартиры) на 100% объясняется воздействием фактора Х₃ (общей площадью квартиры).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Эконометрика: Учебник/под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика,2002.
2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие/ И.И.Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Горденко и др..; под ред. И.И.Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2001.