Эконометрика

Обзор эконометрических прогнозных исследований свидетельствует, что многофакторные эконометрические модели, как правило, используются при разработке так называемых краткосрочных и в крайнем случае среднесрочных прогнозов. Для многих реальных социально-экономических процессов (спрос, производительность труда, выпуск продукции и т. п.) такие прогнозы разрабатываются на 5-10 временных точек (кварталов, лет – в зависимости от длины интервала (t, t+1)).

Эти рекомендации не относятся к прогнозам финансовых показателей, которые разрабатываются на основе моделей финансовой эконометрики. “Финансовые” прогнозы являются, как правило, краткосрочными (на один, два шага вперед), в то время как модели финансовой эконометрики формируются на основе достаточно длинных временных рядов исходных данных. Это связано с тем, что практически всегда имеется возможность получить “свежую” информацию о текущем уровне рассматриваемого процесса (данные с финансовых рынков становятся доступными без задержки), и на ее основе скорректировать построенную модель.

Достаточно очевидны и выводы, следствия, которые могут быть получены из эконометрических прогнозов, например, в сфере управления. В этой  связи заметим, что эконометрические прогнозы разрабатываются для оценки будущих состояний рассматриваемого процесса в зависимости от ожидаемых уровней, влияющих на него факторов. При этом, в общем случае факторы можно разделить на три группы: управляемые, неуправляемые и частично управляемые.

Если прогноз разрабатывается на основе неуправляемых факторов (погодные условия, состояние мировой экономики и т. п.), то и сам процесс является неуправляемым. Прогнозы таких процессов часто называют поисковыми (исследовательскими). В этом случае  система управления имеет возможность только приспособиться к его тенденциям прогнозируемого процесса, учесть их при обосновании управляющих мер для соответствующего объекта.

Если факторы являются управляемыми, то система управления может сознательно выбирать, формировать их уровни, определяя тем самым наиболее рациональную, “оптимальную” для объекта тенденцию развития процесса в прогнозном периоде. Такие прогнозы обычно называют нормативными.

При частично управляемых факторах, возможности регулирования развития процесса в прогнозный период являются ограниченными. Например, из-за того что в моделях присутствуют факторы обеих групп. Часто эти ограничения обусловлены имеющимися ресурсами (финансовыми, трудовыми, сырьевыми и т. п.).

В случае управляемых и частично управляемых факторов заметим, что эконометрические модели предоставляют исследователю фактически всю информацию относительно границ управления (диапазонах изменения факторов), эффективности их использования в управлении. При этом, показатель эффективности в некоторой степени может быть определен на основании значений коэффициентов эластичности переменной у по факторам хi (в части определения реакции у на изменения хi).

Другие составляющие эффективности (стоимость затрат на реализацию управления, результаты, выгоды, к которым оно приводит) выявляются на основе экономического анализа рассматриваемой проблемы.

В связи с проблемой управления также заметим, что эконометрические модели достаточно часто используются в разработках так называемых “прогнозов-предупреждений”. Результаты таких прогнозов являются нежелательными для объекта и реакция системы управления в этом случае состоит в определении мер, способных внести необходимые коррективы в тенденции развития процесса уt  в рассматриваемый период. Эти меры в данном случае выражаются в виде необходимых приростов независимых управляемых факторов.

Одной из важнейших характеристик качества прогноза является величина его доверительного интервала. Очевидно, что при прочих равных условиях, чем уже этот интервал, тем более обоснованным представляется и сам прогноз, и мероприятия по управлению рассматриваемым процессом.

В общем случае можно указать на два взаимодополняющих подхода к оценке доверительного интервала прогноза – эвристический и формальный. По своей сути эвристический подход предполагает расчет размера доверительного интервала как разницы между двумя возможными “экстремальными” значениями прогнозов переменной у, полученными при подстановке в уравнение эконометрической модели определяющих их “экстремальных” значений факторов. Часто такие значения и соответствующие им прогнозы называют “пессимистическим” и “оптимистическим”: где хопт и хпесс – оптимистические и пессимистические значения независимых факторов. Тогда ширина доверительного интервала прогноза определяется как разность уопт–упесс. Заметим, что рассчитанный таким образом “эвристический” доверительный интервал в большей степени характеризует возможный разброс прогнозируемого значения процесса в зависимости от разброса прогнозного фона, в свою очередь вызванного неопределенностью оценок его значений в перспективе.

Формальный подход к оценке ширины доверительного интервала прогноза предполагает расчет этой характеристики с использованием методов математической статистики. Для этого необходимо оценить дисперсию ошибки прогноза.

В общем случае ошибка эконометрического прогноза может быть определена как разность между фактическим значением рассматриваемого показателя уT+k в некоторый момент времени  Т+k  в будущем, которое, вообще говоря, неизвестно, и его значением k=1,2,...;

                                             (6)

При этом предполагается, что ошибка прогноза обладает следующими двумя свойствами:

1) несмещенности, т. е. что означает, что прогноз является несмещенной оценкой истинного значения уT+k;

2) эффективности, т. е. дисперсия ошибки   является минимальной среди дисперсий всех других возможных прогнозов, построенных с использованием данного эконометрического уравнения.

Далее, в предположении, что ошибка прогноза распределена согласно нормальному закону N(0, ), доверительный интервал для истинного значения прогноза может быть определен согласно следующему известному выражению:

                    (7)

где * – табличная константа, полученная для стандартизованного нормального распределения N(0,1) при заданном уровне доверительной вероятности p*.

Таким образом, при определении ширины доверительного интервала эконометрического прогноза с использованием формального подхода основной проблемой является оценка дисперсии рассчитанного прогнозного значения рассматриваемого процесса.

В общем случае такая оценка может быть получена, основываясь на информации, характеризующей степень неопределенности как в инструментарии прогнозирования (модели), так и в исходных данных – прогнозном фоне. Эта неопределенность обычно выражается характеристиками соответствующих ошибок. Так, неопределенность модели определяется ошибками ее параметров, характеристики которых заданы в виде их ковариационной матрицы  – Cov(a)).

В отношении прогнозного фона на практике обычно рассматривают два возможных варианта его неопределенности. Согласно первому из них прогнозный фон рассматривается как набор детерминированных показателей, т. е. предполагается, что значения независимых переменных определены точно с нулевой ошибкой. Такая ситуация возможна при разработке некоторых безусловных прогнозов, например, на основе моделей с лаговыми зависимыми переменными (5). Однако в большинстве случаев прогнозный фон нельзя считать детерминированным. В самом деле, для моделей авторегрессии (3) и (4), в частности, детерминированный эндогенный прогнозный фон имеет место только при разработке прогноза на момент Т+1. Значение используемое в расчете следующего прогнозного значения уже определено на основании выражения (3) с ошибкой.

Аналогично нет никаких гарантий, что и при экзогенном прогнозном фоне значения факторов хi,T+k, i=1,2,..., n; k=1,2,..., относящиеся к будущим моментам времени, определены абсолютно точно. Обычно эти значения также получают в ходе каких-либо прогнозных исследований (например, с использованием методов экспертного прогнозирования). В таких случаях обычно оцениваются и соответствующие характеристики ошибки их прогнозов.

2.1 Прогнозирование в Matlab

Пусть у нас имеются данные за некоторый период времени, описывающие какую-либо экономическую закономерность. Необходимо с помощью регрессионных моделей спрогнозировать поведение функции в следующие за наблюдаемым периоды.

Рассмотрим простейший пример.

Пусть зависимость описывается регрессионным уравнением вида: Y=aх+b+e, где а и b – коэффициенты регрессии, е – случайная компонента.

Тестовый пример:

Пусть имеются два массива данных:

x=[10 12 14 16 18];  

y=[50 59 53 65 70];

N=5; %определение переменной для цикла

e=rand(N,1); %случайная величина для учета случайных воздействий

%функция, Rand(m,n) формирует массив размера m*n нормально распределенных случайных величин в диапазоне от 0 до 1

e11=zeros(N,1); %формируется массив размера N*1 из нулей вспомогательный массив для формирования вектора случайных воздействий

     x_1= zeros(N,1);

d=max(x); %определение максимального элемента массива x

for i=1:N %начало цикла

    e11(i)=e(i)*0.05*d; %формирование случайного воздействия не превосходящего 5% максимального элемента массива x

    if e(i)>0.5 %начало условного оператора if для формирования отрицательных и положительных отклонений от x

        x_1(i)=x(i)-e11(i);

    else x_1(i)=x(i)+e11(i);

    end; %конец условного оператора

end;

a=polyfit(x,y,1); %формирование коэффициентов регрессионного уравнения

x11=10:2:22;

y11=polyval(a,x11);

plot(x,y,'-k',x11,y11,'-*'); %график регрессионного уравнения с прогнозом

Результаты:

x =

    10    12    14    16    18

y =

    50    59    53    65    70

x11 =

    10    12    14    16    18    20

y11 =

   50.2000   54.8000   59.4000   64.0000   68.6000   73.2000

Рисунок 1

Рассмотрим теперь, как поведет себя алгоритм на реальных данных.

Зависимость продаж от рекламы задана следующими статистическими данными

Используем разработанный ранее алгоритм:

x=[1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5];  

y=[3 13 25 35 40 45 48 50 52];

N=9; %определение переменной для цикла

e=rand(N,1); %случайная величина для учета случайных воздействий

%функция, Rand(m,n) формирует массив размера m*n нормально распределенных случайных величин в диапазоне от 0 до 1

e11=zeros(N,1); %формируется массив размера N*1 из нулей вспомогательный массив для формирования вектора случайных воздействий

     x_1= zeros(N,1);

d=max(x); %определение максимального элемента массива x

for i=1:N %начало цикла

   e11(i)=e(i)*0.05*d; %формирование случайного воздействия не превосходящего 5% максимального элемента массива x

    if e(i)>0.5 %начало условного оператора if для формирования отрицательных и положительных отклонений от x

        x_1(i)=x(i)-e11(i);

    else x_1(i)=x(i)+e11(i);

    end; %конец условного оператора

end;

a=polyfit(x,y,1); %формирование коэффициентов регрессионного уравнения

x11=10:2:22;

y11=polyval(a,x11);

plot(x,y,'-k',x11,y11,'-*'); %график регрессионного уравнения с прогнозом

Результаты:

x11 =

  Columns 1 through 6

    1.5000    2.0000    2.5000    3.0000    3.5000    4.0000

  Columns 7 through 10

    4.5000    5.0000    5.5000    6.0000

y11 =

  Columns 1 through 6

   10.3556   16.4056   22.4556   28.5056   34.5556   40.6056

  Columns 7 through 10

   46.6556   52.7056   58.7556   64.8056

Рисунок 2

Вывод: Мы видим, что предложенный метод позволяет прогнозировать лишь на незначительный промежуток времени в будущее, но дает достаточно близкий к реальным значениям прогноз, так как в нашем случае при затратах на рекламу, равных 6, продажи были равными 60.

3.                   Имитационное моделирование в среде Windows

Одним из видов компьютерного моделирования является имитационное моделирование. В  его основе  лежит  статистический  эксперимент (метод Монте-Карло), реализация  которого  практически  невозможна  без  применения  средств  вычислительной  техники. Поэтому любая имитационная модель представляет собой в конечном счете более или менее сложный программный продукт.

[Статистические испытания по методу Монте-Карло представляют собой простейшее имитационное моделирование при полном отсутствии каких-либо правил поведения. Получение выборок по методу Монте-Карло - основной принцип компьютерного моделирования систем, содержащих стохастические или вероятностные элементы. Зарождение метода связано с работой фон Неймана и Улана в конце 1940-х гг., когда они применили его к решению некоторых задач экранирования ядерных излучений. Этот математический метод был известен и ранее, но свое второе рождение нашел в Лос-Аламосе в закрытых работах по ядерной технике, которые велись под кодовым обозначением Монте-Карло. Применение метода оказалось настолько успешным, что он получил распространение и в других областях, в частности в экономике.]